不同邊界條件正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)分析

張愛國，李文達(dá)，杜敬濤，代路，楊鐵軍

(哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

彈性圓柱殼作為一個(gè)基本的典型構(gòu)件，因其具有特殊的幾何特性、優(yōu)良的受力性能和便于加工等特點(diǎn)，在航空航天、潛艇結(jié)構(gòu)和石油化工等工程領(lǐng)域得到極其廣泛的應(yīng)用。近年來，隨著材料科學(xué)與工程的迅速發(fā)展，各種復(fù)合材料呈現(xiàn)出明顯的正交各向異性，為此，深入開展正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性具有重要理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

Nosier和Reddy[1]采用考慮剪切變形的Donnell殼體理論以及經(jīng)典的Donnell殼體理論，對(duì)多種邊界條件下的圓柱殼的穩(wěn)定性和自由振動(dòng)進(jìn)行了分析。Carrera[2]基于經(jīng)典的 Flügge 殼體理論，對(duì)于多層、各向異性圓柱殼體給出了面內(nèi)穩(wěn)定和振動(dòng)的方程，并對(duì)橫向剪切變形以及所有的旋轉(zhuǎn)慣量進(jìn)行考慮，最后推導(dǎo)出了經(jīng)典Love和Donnell理論的方程。Paliwal和Pandey[3]對(duì)正交各向異性圓柱殼的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，分析了軸向和周向波數(shù)、正交各向異性對(duì)于3個(gè)自振頻率的影響。

李學(xué)斌[4]對(duì)正交各向異性圓柱殼的靜動(dòng)態(tài)特性做了大量研究。他從 Flügge殼體理論出發(fā)，推導(dǎo)出在靜水壓力作用下正交各向異性圓柱殼的平衡方程，把彈性失穩(wěn)問題轉(zhuǎn)化成為了求解廣義特征值的問題，并且討論了正交各向異性、長徑比(L/R)、厚度半徑比等因素對(duì)臨界失穩(wěn)壓力的影響以及該方法的實(shí)際應(yīng)用。并使用解析法，根據(jù) Flügge殼體理論，從正交各向異性圓柱殼在靜水壓力作用下的自由振動(dòng)方程出發(fā)，推導(dǎo)出在簡支邊界下圓柱殼自由振動(dòng)的特征方程[5]，討論了正交各向異性圓柱殼的自由振動(dòng)特性以及靜水壓力對(duì)其自由振動(dòng)頻率的影響，詳細(xì)分析了殼體材料的特性參數(shù)和具體幾何參數(shù)對(duì)于自振頻率的影響，得到了最低自由振動(dòng)頻率隨長徑比變化的包絡(luò)線。同時(shí)，他從 Flügge殼體理論出發(fā)，使用振型疊加方法，分析了在靜水壓力作用下正交各向異性圓柱殼受到徑向沖擊時(shí)的瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)問題，并且討論了結(jié)構(gòu)尺寸的變化以及材料特性對(duì)響應(yīng)量的影響。

此外，已有學(xué)者推導(dǎo)出簡單邊界條件下的正交各向異性圓柱殼自由振動(dòng)的精確特征方程[5]，如文獻(xiàn)[6]對(duì)復(fù)雜邊界條件的圓柱殼自由振動(dòng)進(jìn)行了分析，但其所用方法需要對(duì)每一種復(fù)雜邊界條件先列出約束方程再進(jìn)行后續(xù)推導(dǎo)。事實(shí)上，邊界條件作為一種重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)于圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為特性具有重要影響[7-8]。最近，文獻(xiàn)[9-10]提出一種二維改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法，分別完成了彈性約束邊界條件下矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)與彎曲振動(dòng)特性分析。隨后，這種二維改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法進(jìn)一步拓展至各向同性圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析中，并得到了良好的預(yù)報(bào)效果[11]。本文將首先簡單介紹二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法，隨后采用能量原理并結(jié)合瑞利-里茲方法獲得正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣方程，最后，給出數(shù)值算例，并同文獻(xiàn)中其他預(yù)報(bào)方法結(jié)果進(jìn)行比較，對(duì)本文所提出方法的正確性與可行性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 理論推導(dǎo)

1.1 模型描述

如圖1所示，考慮一個(gè)長度為L、半徑為R、厚度為h的正交各向異性圓柱殼，在該圓柱殼上建立柱坐標(biāo)系，圓柱殼的軸心線與坐標(biāo)系中x軸重合，且長度方向與x軸同向。

圖1 正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.1 Analysis model of orthotropic cylindrical shell structure

為了統(tǒng)一處理圓柱殼結(jié)構(gòu)的邊界約束條件，此處采用4種邊界約束彈簧來進(jìn)行模擬，這樣，各種邊界條件便可以通過將邊界約束彈簧剛度系統(tǒng)為無窮大或零進(jìn)而得到。

1.2 位移場函數(shù)展開

正交各向異性圓柱殼在軸向、周向和徑向3個(gè)方向上的振動(dòng)位移以傅里葉級(jí)數(shù)的形式:

式中:λm=m π/L，ξ1(x)和 ξ2(x)是面內(nèi)位移輔助函數(shù)，ζ1(x)、ζ2(x)、ζ3(x)和 ζ4(x)為彎曲位移輔助函數(shù)。此處，在標(biāo)準(zhǔn)二維傅里葉級(jí)數(shù)上引入這些輔助函數(shù)的目的在于消除3種殼體位移及其相應(yīng)空間導(dǎo)數(shù)在結(jié)構(gòu)邊界上的不連續(xù)性，進(jìn)而提高傅里葉級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)值求解域內(nèi)的收斂速度和求解精度。理論上，這些輔助函數(shù)的形式可以不唯一，為了簡便相關(guān)數(shù)學(xué)推導(dǎo)步驟，輔助函數(shù)在這里分別構(gòu)造為[11]

容易證明:

通過在標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉級(jí)數(shù)中引入輔助函數(shù)，可以改進(jìn)解的收斂性和精確性，此處，構(gòu)造的輔助函數(shù)形式將有助于簡化后續(xù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。

1.3 能量原理

為了確定正交各向異性圓柱殼振動(dòng)位移改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)中所有的未知系數(shù)，將采用能量原理對(duì)圓柱殼系統(tǒng)自由振動(dòng)進(jìn)行描述，進(jìn)而利用瑞利-里茲方法進(jìn)行求解。正交各向異性圓柱殼的系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為

式中:V和T分別為系統(tǒng)的總勢能和總動(dòng)能。

總勢能V包括應(yīng)變能和邊界約束彈簧的彈性勢能2部分，它可以表示為

式中:A11、A12、A22和A21是拉伸剛度，表達(dá)式分別為

A66是剪切剛度，其表達(dá)式為

D11、D12、D22和 D21是彎曲剛度，它們的表達(dá)式分別為

D66是剪切剛度，其表達(dá)式為

圓柱殼系統(tǒng)振動(dòng)引起的總動(dòng)能T為

式中:u、v和w分別為正交各向異性圓柱殼在3個(gè)方向上的振動(dòng)位移函數(shù)分布，ρ、h和R分別表示圓柱殼結(jié)構(gòu)的質(zhì)量密度、厚度和半徑。

1.4 系統(tǒng)特征方程

將所構(gòu)建的正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)3個(gè)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)振動(dòng)位移分量函數(shù)(式(1)～(3))代入系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)(式(14)，(15)，(26))中，利用瑞利-里茲方法對(duì)位移函數(shù)中的傅里葉表達(dá)式中的各個(gè)系數(shù) Amn、an、bn、Bmn、cn、dn、Cmn、en、fn、gn和hn分別求導(dǎo)取極值，在實(shí)際計(jì)算過程中，改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行有限截?cái)鄊=M，n=N，從而可以得到關(guān)于所有傅里葉系數(shù)的系統(tǒng)特征矩陣方程:

式中:

顯然，正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率參數(shù)可以通過求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問題而全部得到。如果需要求解圓柱殼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)于外部激勵(lì)的振動(dòng)響應(yīng)，僅需在正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)(式(14))中包含外力的做功項(xiàng)，最終將會(huì)在矩陣方程(式(27))的右端出現(xiàn)外力激勵(lì)向量。

2 數(shù)值結(jié)果與討論分析

本節(jié)中將采用MATLAB科學(xué)計(jì)算語言對(duì)上述理論推導(dǎo)模型進(jìn)行編程數(shù)值仿真，將計(jì)算所得到的不同邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率與文獻(xiàn)[6]中方法所給出的結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)而驗(yàn)證所提出預(yù)測模型的正確性與優(yōu)越性，同時(shí)對(duì)于相關(guān)參數(shù)對(duì)于圓柱殼結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)影響進(jìn)行討論分析。如前文所述，本文模型中邊界條件可以通過將邊界約束彈簧剛度系數(shù)設(shè)置為零或無窮大來進(jìn)行模擬(在數(shù)值計(jì)算中采用1×1011表示無窮大)。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)截?cái)鄶?shù)采用M=N=9時(shí)，即可得到精確頻率參數(shù)。為了便于同文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，無量剛頻率參數(shù)Ω定義為

表1～8中分別列出了簡支-固支、簡支-自由、固支-固支、自由-自由邊界條件下，采用本文方法得到了正交各向異性圓柱殼的無量綱頻率參數(shù)與文獻(xiàn)[6]中方法得到的無量綱頻率參數(shù)的對(duì)比。

表1 簡支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù) Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 1 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with simply supported and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表2 簡支-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 2 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with simply supported and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表3 固支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 3 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表4 自由-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 4 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表5 固支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:Ex/Ey=2，L/R=10Table 5 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，L/R=10

表6 自由-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:Ex/Ey=2，L/R=10Table 6 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，L/R=10

表7 固支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:h/R=0.01，L/R=5Table 7 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which h/R=0.01，L/R=5

表8 自由-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)的無量綱頻率參數(shù)Ω，其中:h/R=0.01，L/R=5Table 8 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which h/R=0.01，L/R=5

通過2種方法所得到的無量綱頻率參數(shù)的絕對(duì)值對(duì)比，可以看出:對(duì)于各種邊界條件與物理參數(shù)情況下，本文方法能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)模態(tài)特性。由于在本文模型中所采用的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法在整個(gè)求解域內(nèi)充分連續(xù)，同時(shí)模型邊界條件采用彈性約束彈簧進(jìn)行模擬，上述結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性。與文獻(xiàn)[6]中方法相比，本文方法采用統(tǒng)一建模，當(dāng)邊界條件等各種結(jié)構(gòu)或物理參數(shù)改變時(shí)，無須對(duì)理論公式進(jìn)行推導(dǎo)或重新編寫計(jì)算程序，表現(xiàn)出更好的通用性，將更便于人們分析邊界約束條件對(duì)此類正交各向異性圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的影響。

3 結(jié)束語

本文采用一種二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法研究了不同邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性，即圓柱殼在圓周、軸向和徑向3個(gè)方向上的振動(dòng)位移場函數(shù)均采用標(biāo)準(zhǔn)二維傅里葉余弦級(jí)數(shù)附加多項(xiàng)式與單傅里葉級(jí)數(shù)形式進(jìn)行展開，用以克服位移函數(shù)導(dǎo)數(shù)在邊界處不連續(xù)問題。然后，基于能量原理和瑞利-里茲方法對(duì)所有未知傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)進(jìn)行求解，得到包含所有模態(tài)頻率參數(shù)的系統(tǒng)特征方程矩陣表達(dá)式。

采用MATLAB語言編制仿真程序，通過與文獻(xiàn)[6]中方法的不同邊界條件下正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了本文方法和所編制程序的正確性和有效性。本模型中邊界條件修改時(shí)，不需要對(duì)理論模型重新推導(dǎo)和進(jìn)行程序的重新編寫，更加適用于正交各向異性圓柱殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的邊界影響分析。

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