基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理

劉宗民，梁立孚，樊濤

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

基于基面力的非保守系統(tǒng)有限變形問(wèn)題是一個(gè)新興的課題。基面力作為一種描述應(yīng)力狀態(tài)的新方法，較傳統(tǒng)的應(yīng)力張量表示方法簡(jiǎn)單[1]。利用基面力，各種應(yīng)力張量都可以由表征位移的協(xié)變矢基的并矢來(lái)表示，可以得到彈性力學(xué)基本方程(平衡方程、邊界條件、本構(gòu)關(guān)系)的簡(jiǎn)潔表達(dá)式。基面力具有傳統(tǒng)的二階應(yīng)力張量無(wú)法比擬的優(yōu)越性，尤其是將基面力應(yīng)用于有限變形問(wèn)題，這種特點(diǎn)就顯得十分明顯。有限變形的勢(shì)能原理可以和小變形情況類(lèi)似的建立起來(lái)。但是，有限變形的余能原理經(jīng)歷了近百年，卻未給出適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式。高玉臣利用基面力作為基本未知量，給出了保守系統(tǒng)有限變形余能原理的適當(dāng)表達(dá)形式[2]。

對(duì)于非保守系統(tǒng)，國(guó)外以L(fǎng)eipholz為代表，提出廣義自共軛的概念，建立了廣義的Hamilton原理，給出了著名的Leipholz桿模型[3]。我國(guó)學(xué)者也作了大量工作，提出并完善了各類(lèi)擬變分原理。劉殿魁提出了彈性非保守系統(tǒng)的一般擬變分原理[4]。梁立孚、宋海燕研究了非保守系統(tǒng)彈性靜(動(dòng))力學(xué)兩類(lèi)變量的廣義擬變分原理[5-6]。

對(duì)于有限變形問(wèn)題，系統(tǒng)也常常是非保守的。文獻(xiàn)[7]對(duì)非線(xiàn)性非保守系統(tǒng)彈性力學(xué)擬變分原理作了系統(tǒng)的研究。但是，由于有限變形中“裂隙函數(shù)”[8]的存在，使得對(duì)于有限變形非保守系統(tǒng)擬變分原理的研究變得困難。本文以基面力和位移梯度為基本未知量，“裂隙函數(shù)”自動(dòng)消失了，采用變積法建立了類(lèi)似于小變形情況的彈性動(dòng)力學(xué)時(shí)域邊值問(wèn)題的有限變形非保守系統(tǒng)三類(lèi)變量的廣義擬Hamilton原理。本文研究的非保守系統(tǒng)專(zhuān)指“伴生力”系統(tǒng)，即作用于系統(tǒng)的非保守力隨物體的變形而變化。

1 基本方程

按照文獻(xiàn)[9-11]，基于基面力的有限變形時(shí)域邊值問(wèn)題的基本方程為平衡方程:

幾何方程:

本構(gòu)關(guān)系:

時(shí)域邊值條件:

式中:Ti為基面力，gi為位移梯度，u為位移，ū為給定位移，mi為變形前面元單位法矢量分量，τ-0為變形前應(yīng)力邊界上的面力，f為單位質(zhì)量物體所受的體力，R為動(dòng)量矢量，V為速度矢量，ρ0為變形前的密度，VP為變形前的基容，A為單位質(zhì)量的應(yīng)變能，B為單位質(zhì)量的余能，Sσ為給定面力的邊界，Su為給定位移的邊界，ū0為t0時(shí)刻位移，ū1為t1時(shí)刻位移,為對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

2 三類(lèi)變量的廣義擬Hamilton原理

應(yīng)用變積方法[12-13]，根據(jù)廣義力和廣義位移之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將式(1)～(6)和式(8)乘上相應(yīng)的虛量，然后積分并代數(shù)相加，再對(duì)時(shí)間域積分，可得

應(yīng)用Green定理:

及分部積分公式:

將式(13)和(14)代入式(12)，并按慣例在時(shí)域邊界處取δu=0，經(jīng)整理后可將式(12)變換為

上式可進(jìn)一步表示為

將式(16)簡(jiǎn)記為

式中:

式(17)稱(chēng)為基于基面力的非保守系統(tǒng)有限變形三類(lèi)變量廣義擬Hamilton原理。

如果應(yīng)用Green定理:

及分部積分公式:

將式(20)和(21)代入式(12)，并將式中各項(xiàng)改變符號(hào)，并按慣例在時(shí)域邊界處取δR=0，經(jīng)整理后可將式(12)變換為

上式可進(jìn)一步表示為

將式(23)簡(jiǎn)記為

式中:

式(24)稱(chēng)為基于基面力的非保守系統(tǒng)有限變形三類(lèi)變量廣義擬余Hamilton原理。

由以上的推導(dǎo)過(guò)程可見(jiàn)，泛函 δΓH3+δQH+δPH=0是 δΠH3- δQH- δPH=0的對(duì)偶形式[14]。

3 正確性的驗(yàn)證

按照基本變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理轉(zhuǎn)化為以第二類(lèi)P-K應(yīng)力張量和Green應(yīng)變張量為基本變量的有限變形廣義擬Hamilton原理。進(jìn)而證明本文建立的基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理的正確性。

基面力Ti與第二類(lèi)P-K應(yīng)力張量Σ，以及位移梯度gi與Green應(yīng)變張量εG之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示為[9-10]

圖1表示變形前與變形后的位置關(guān)系。如圖1所示，位移u和位移梯度gi可以表示為式中:F為變形梯度，P和Q分別代表一點(diǎn)變形前和變形后的矢徑，Pi和Qi分別為變形前和變形后的協(xié)變基矢，Pi和Qi分別為變形前和變形后的逆變基矢。

圖1 位移和變形Fig.1 Displacement and deformation

將位移梯度gi表示成在標(biāo)架Pj中的分量形式，可得

式中:tij為基面力Ti在標(biāo)架Qj上的分量.

將式(29)～(31)代入式(32)，可得

考慮式(27)、(28)、(31)和(33)，式(25)中等號(hào)右端第4項(xiàng)的變分式、以及等號(hào)右端第5項(xiàng)可以分別表示為[11，15-16]

式中:Σij為第二類(lèi)P-K應(yīng)力張量Σ的分量，Eij為Green應(yīng)變張量εG的分量.

考慮式(27)，(28)，(33)，(34)和(35)，式(17)和(24)可以分別改寫(xiě)為

式中:

式(36)為以第二類(lèi)P-K應(yīng)力張量和Green應(yīng)變張量為基本變量非保守系統(tǒng)有限變形三類(lèi)變量廣義擬Hamilton原理。

式中:

式(37)為以第二類(lèi)P-K應(yīng)力張量和Green應(yīng)變張量為基本變量非保守系統(tǒng)有限變形三類(lèi)變量廣義擬余Hamilton原理。式中，vk，rk，F(xiàn)-k和P-k分別表示為速度分量，動(dòng)量分量，體力分量和面力分量。

式(36)和(37)的表達(dá)式與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果是一致的，從而證明本文建立的基于基面力的有限變形廣義擬Hamilton原理的正確性。

4 結(jié)束語(yǔ)

以基面力和位移梯度為基本變量，應(yīng)用變積法建立了有限變形非保守系統(tǒng)三類(lèi)變量的廣義擬Hamilton原理。當(dāng)把基面力和位移梯度作為基本變量時(shí)，“裂隙函數(shù)”自動(dòng)消失了，繁冗的公式得以簡(jiǎn)化，建立有限變形的擬變分原理就變得比較容易。本文建立的有限變形的廣義擬Hamilton原理，具有和小變形情況一樣的結(jié)構(gòu)形式。本文的工作表明，應(yīng)用基面力理論解決有限變形問(wèn)題，接近于彈性小變形問(wèn)題的理論和方法，這不僅使得有限變形理論和應(yīng)用變得較為容易，而且對(duì)借鑒較為成熟的彈性小變形問(wèn)題的理論和方法來(lái)解決有限變形的理論和應(yīng)用問(wèn)題提供了方便。

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