現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的非均值模型：一個(gè)方法論角度的理論綜述

金玉國 金 戈

(山東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014)

一、引言

計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的數(shù)量依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，用于度量一個(gè)或一組變量(解釋變量或自變量向量，記為x)對被研究的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象(被解釋變量或因變量向量，記為y)的某種統(tǒng)計(jì)分布特征的影響，如邊際效應(yīng)、乘數(shù)、彈性系數(shù)等。社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)分布特征可以從不同側(cè)面進(jìn)行反映和度量，如均值、方差、分位數(shù)、條件分布等。按照模型反映的分布特征類型，可將計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型分為條件均值模型和非均值模型兩大類。

條件均值模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的最基本模型形式，因變量是被研究事物的條件均值，一般形式為E(y|x)=xβ，或等價(jià)的隨機(jī)形式：y=xβ+u(u是隨機(jī)誤差項(xiàng))?；貧w系數(shù)向量β表示y的條件均值對各解釋變量向量x變動(dòng)的平均響應(yīng)。條件均值模型應(yīng)用非常廣泛，但也存在較大的局限性：一方面，只能度量自變量對因變量條件均值的邊際效應(yīng)，不能度量自變量對因變量分布的其他特征(如方差特征、分位數(shù)特征等)的邊際效應(yīng)；另一方面，模型的假定過于嚴(yán)格，如隨機(jī)誤差項(xiàng)u需滿足同獨(dú)立同分布、零均值、同方差性等條件，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)往往很難完全滿足這些條件，限制了模型的適用性。為了彌補(bǔ)均值模型的缺陷，到20世紀(jì)七八十年代，計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型在傳統(tǒng)的均值模型基礎(chǔ)上，開始不斷向非均值模型拓展。

非均值模型關(guān)注的是變量的除條件均值以外的其他分布特征，如條件分位數(shù)、條件方差、條件概率等，根據(jù)反映的特征，產(chǎn)生了相應(yīng)的非均值模型，如分位數(shù)模型、方差模型、概率模型等。所以非均值模型是一個(gè)統(tǒng)稱，即一個(gè)“模型族(Models Family)”。非均值模型建模方法論突破傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法的局限，既是均值模型建模方法論的發(fā)展和延伸，又在模型設(shè)定、建模假定、估計(jì)方法、模型評價(jià)和模型應(yīng)用等方面有著很大的不同，極大地豐富了計(jì)量經(jīng)濟(jì)建模方法論的理論體系。

非均值模型建模方法論的出現(xiàn)引起了理論界的重視。早在1998年，K.Dotes就斷言，非均值模型的發(fā)展正在形成一種與傳統(tǒng)建模方法分庭抗禮的建模方法論。其后，D.Hallas(2005)從理論角度對部分非均值模型(方差模型、分位數(shù)模型)的建模方法進(jìn)行了歸納，并分析了非均值模型建模方法對傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法論的沖擊；K.Ginges、R. Donald(2010)分析了非均值模型在金融市場研究領(lǐng)域應(yīng)用的特點(diǎn)和對其他領(lǐng)域的影響。金玉國(2011)則看重這種建模方法的內(nèi)在一致性，將幾種常見的非均值模型歸為非經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的一個(gè)大類(其他還包括特殊數(shù)據(jù)模型、潛變量模型、非固定參數(shù)模型)，并簡單了分析了與經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法的不同之處。

盡管學(xué)術(shù)界對非均值模型有了一些研究，但大部分是針對某些特定模型的研究，從系統(tǒng)(或整體)角度對非均值模型建模方法論的研究還非常少見，對其建模理論和方法發(fā)展演化的規(guī)律性缺乏必要的歸納和梳理。有鑒于此，本文擬將非均值模型作為一個(gè)整體進(jìn)行系統(tǒng)研究。本文的研究思路如下，首先，劃分非均值模型的基本類型，回顧各種模型的產(chǎn)生與發(fā)展歷史、應(yīng)用領(lǐng)域及建模原理；其次，對各類非均值模型建模方法論進(jìn)行簡要?dú)w納；最后，總結(jié)非均值模型建模方法論的特點(diǎn)，并與均值模型建模方法論進(jìn)行比較。

二、非均值模型的基本分類

目前比較成熟的非均值模型包括以下四個(gè)基本類型：條件分位數(shù)模型、方差模型、概率模型(包括離散選擇模型、持續(xù)時(shí)間模型)和分布函數(shù)模型。

(一)條件分位數(shù)模型

傳統(tǒng)的條件均值模型反映的是自變量對因變量的條件均值的邊際效應(yīng)或乘數(shù)(如果變量為對數(shù)形式，則為彈性系數(shù)或半彈性系數(shù))，其假設(shè)是不同分布點(diǎn)上邊際效應(yīng)或乘數(shù)是相同的，所以不能反映分布的細(xì)部特征。而且這個(gè)假定往往是不合理的，尤其是因變量數(shù)據(jù)分布偏態(tài)時(shí)更是如此。而條件分位數(shù)模型的出現(xiàn)，在很大程度上彌補(bǔ)了條件均值模型的上述缺陷。

分位數(shù)模型起源于18世紀(jì)中后期Bosccovich、Edgeworth對中位數(shù)線性回歸問題的研究。由于中位數(shù)其實(shí)是分位數(shù)的一個(gè)特例，所以他們的研究為分位數(shù)模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。1978年，Koenker 和Bassett系統(tǒng)地提出線性分位數(shù)回歸模型的理論。

分位數(shù)模型關(guān)注的是因變量的條件分位數(shù)，是指因變量的條件分位數(shù)與自變量建立的回歸模型，其目的是觀察分布中不同分位點(diǎn)上解釋變量對被解釋變量的不同邊際效應(yīng)?；拘问綖椋?/p>

yi=xiβτ+ετi其中， yi為被解釋變量，xi是k維行向量，表示k個(gè)解釋變量中第i個(gè)觀察值，βτ是k維列向量，分別表示對應(yīng)于被解釋變量第τ分位數(shù)的各解釋變量的回歸系數(shù)，εθi是符合有關(guān)古典假定的隨機(jī)誤差項(xiàng)。給定解釋變量x時(shí)，被解釋變量y的第τ個(gè)條件分位數(shù)為Qτ(yi|xi)=xiβτ。參數(shù)βτ在被解釋變量的條件分布中的不同分布點(diǎn)之間可以是不同的，相當(dāng)于給定幾個(gè)分位點(diǎn)，就有幾個(gè)對應(yīng)的回歸方程。因此，分位數(shù)回歸模型可以反映出位置情況和分布形狀，對變量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系進(jìn)行更詳細(xì)的特征描述。所以，分位數(shù)模型是對是均值模型的細(xì)部化，目前分位數(shù)模型已發(fā)展成為描述樣本分布細(xì)部特征的有力工具，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、教育、環(huán)境科學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。

(二)條件方差模型

對有些經(jīng)濟(jì)問題，傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型——條件均值模型無法反映事物之間的聯(lián)系。以金融市場為例，根據(jù)有效市場假說，條件均值模型對金融產(chǎn)品的價(jià)格走勢沒有預(yù)測效果。而且條件均值模型往往假定方差不變，但金融市場的波動(dòng)受到政局、消息、政策等因素的影響，往往呈現(xiàn)“波動(dòng)聚集性”。實(shí)際上，由于市場波動(dòng)性和收益性之間存在聯(lián)系，我們更加關(guān)注的是市場的波動(dòng)問題。而變量的波動(dòng)性，可以用方差反映出來，所以，條件方差模型應(yīng)運(yùn)而生，被廣泛應(yīng)用于具有波動(dòng)集聚性的時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模。方差模型主要包括自回歸條件異方差模型(ARCH族模型)和隨機(jī)波動(dòng)模型，其中，尤以ARCH族模型應(yīng)用最廣。一般ARCH模型的基本形式如下：

(1)

(2)

由此可見，條件方差模型把當(dāng)期隨機(jī)項(xiàng)的方差假定為以前各期誤差項(xiàng)平方的線性函數(shù)，描述了隨機(jī)項(xiàng)的方差的“記憶性”特征，與均值模型結(jié)合起來，有助于全方位的反映變量的波動(dòng)規(guī)律。

繼Engle后，很多學(xué)者從不同的角度推廣了ARCH模型，進(jìn)一步拓展了ARCH模型的應(yīng)用領(lǐng)域，產(chǎn)生了所謂的“ARCH族模型”，包括GARCH( Bollerslev，1986)、ARCH-M (Engle，Lilien，Robbins，1987)、TARCH(Zakoizn，1990)、EGARCH (Nelson，1991)等一系列條件方差模型。

條件方差模型可以很好的刻畫隨機(jī)變量波動(dòng)的集群性和方差的時(shí)變性，尤其是刻畫金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，所以不但應(yīng)用于金融市場的期貨交易、風(fēng)險(xiǎn)控制、投資組合風(fēng)險(xiǎn)管理策略等領(lǐng)域，還被廣泛應(yīng)用于與波動(dòng)性有關(guān)的經(jīng)濟(jì)理論驗(yàn)證、政策研究及季節(jié)性分析等領(lǐng)域。

(三)條件概率模型

其中F(·)是隨機(jī)誤差項(xiàng)u的分布函數(shù)，原則上，任何適當(dāng)?shù)摹⑦B續(xù)的、定義在實(shí)軸上的概率分布函數(shù)都可以選用。對于連續(xù)隨機(jī)變量來說，概率密度函數(shù)的積分代表概率的大小，也就是說，連續(xù)隨機(jī)變量的(累積)分布函數(shù)(CDF)都可以滿足因變量值域?yàn)閇0,1]的要求。在實(shí)際建模過程中，F(xiàn)(·)通常選用Logistic分布函數(shù)和正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，分別生成了Logit和Probit模型，這就是最基本的條件概率模型。

條件概率模型包括離散選擇模型(二元選擇模型、多元排序選擇模型、無序選擇模型等)和持續(xù)時(shí)間模型。前者研究的是自變量對某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率的邊際效應(yīng)；后者研究的是自變量對某活動(dòng)持續(xù)時(shí)間長度的概率的邊際效應(yīng)，但二者的因變量都是隨機(jī)變量的概率特征。條件概率模型的估計(jì)方法和應(yīng)用研究主要發(fā)展于1960-1970年代，經(jīng)過Marchark、Marley和McFadden等人的發(fā)展，目前已經(jīng)成為微觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要方法之一。

(四)分布函數(shù)模型

分布函數(shù)模型的建模對象是概率分布函數(shù)，主要用于分析變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)。目前最為典型的分布函數(shù)模型是Copula函數(shù)模型，它是一種將聯(lián)合分布與它的邊緣分布連接在一起的函數(shù)。Copula理論由統(tǒng)計(jì)學(xué)家Sklar于 1959年最早提出，隨后Genest和Mackay(1986)、Joe(1993)將Copula理論進(jìn)一步發(fā)展，使其成為構(gòu)造多元聯(lián)合分布和分析多變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)的重要工具?；舅枷胧牵?/p>

對于具有邊緣分布F1(x1),…,FN(xN)的聯(lián)合分布函數(shù)F，如果存在一個(gè)函數(shù)C，滿足:

F(x1,x2,…,xN)=C(F1(x1),F2(x2),…,FN(xN))

則稱C(·)為Copula函數(shù)。Copula函數(shù)其實(shí)就是一個(gè)邊緣分布到聯(lián)合分布的映射。其應(yīng)用意義在于， Copula密度函數(shù)實(shí)際上表示了各變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，不僅是構(gòu)建多維分布的工具，同時(shí)也是研究隨機(jī)變量之間相依結(jié)構(gòu)的工具，用Copula模型可以測得兩者之間的相關(guān)關(guān)系及尾部相關(guān)性，對此均值模型無能為力。Copula函數(shù)與GARCH模型、極值理論等結(jié)合，發(fā)展出了一些新的模型，而且研究還在深入。這種模型目前不但被普遍用于金融領(lǐng)域的計(jì)量研究，而且在保險(xiǎn)、生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、氣象、地質(zhì)地質(zhì)、海洋等領(lǐng)域都有所應(yīng)用。

三、非均值模型建模方法論

(一)條件分位數(shù)模型

相對于傳統(tǒng)的均值模型中，分位數(shù)模型中的參數(shù)估計(jì)、顯著性假設(shè)檢驗(yàn)以及模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法要復(fù)雜得多。目前，分位數(shù)模型大致可以分為參數(shù)模型、非參數(shù)模型、半?yún)?shù)模型這三類，每種模型都有其各自的估計(jì)方法。我們僅以參數(shù)模型為例加以說明。

一般的分位數(shù)回歸模型形式為：

yi=xiβτ+ετi

參數(shù)估計(jì)一般采用最小二乘法，即加權(quán)絕對離差最小(Weighted Least Absolute，WLA)準(zhǔn)則，其表達(dá)式為：

上述參數(shù)估計(jì)方法稱為最小絕對離差法(LAD)。這種方法對模型中的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不需做任何分布的假定，參數(shù)估計(jì)量具有穩(wěn)健性、耐干擾性和良好的漸進(jìn)性質(zhì)。

分位數(shù)模型的參數(shù)顯著性檢驗(yàn)一般采用Tw(τ) 和TL R(τ)統(tǒng)計(jì)量。二者在原假設(shè)下都服從χ2(q)。Koenker 與Machado (1999)還依據(jù)均值模型中擬合優(yōu)度R2的計(jì)算思想，基于殘差絕對值的加權(quán)和，設(shè)計(jì)了分位數(shù)模型擬合優(yōu)度的計(jì)算方法，用于度量在某個(gè)具體的分位點(diǎn)(τ)下模型的擬合效果。

(二)方差模型

ARCH模型常用的估計(jì)方法是極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood，ML)方法。下面以最簡單的ARCH模型為例，說明其建模方法。

假定均值模型是：

yt=xtβ+ut

其中 β= (β0β1, …, βk-1)′, xt= (1 x1, …, xk -1)(xt的分量也可以包括yt的滯后變量)，假定估計(jì)參數(shù)所用的時(shí)間序列長度(樣本容量)為T。如果假定ut～ARCH (q)，可以記為：

其中，vt| xt～i.i.d(0,1)，ht= α0+α1ut -12+α2ut -22+ … + αqut-q2。所以有σt2=E(ut2)=ht，E(ut) = 0。假定yt服從正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為

據(jù)此，構(gòu)造對數(shù)似然函數(shù)：

(三)條件概率模型

在條件概率模型建模過程中，極大似然估計(jì)(ML)方法是估計(jì)參數(shù)的最常用方法。下面以二元選擇模型中的Logit模型為例介紹概率模型的建模原理。

對于Logit模型的一般形式為：

對于給定的xi，E(y|xi)表示y=1的條件概率pi，相應(yīng)地， y=0的條件概率是(1-pi)。所以有：

但在樣本中，pi的信息是觀測不到的。我們只能得到對于xi的既定值，因變量yi取值為0或1的信息。極大似然估計(jì)的思路就是以樣本觀測值最有可能發(fā)生為條件，利用多元函數(shù)極值原理求得系數(shù)β的估計(jì)值。在樣本中，如果被觀察到了n次，y=0被觀察到了N-n次，則似然函數(shù)是

以使其最大化為條件，便可求到參數(shù)向量β的極大似然估計(jì)值。對概率模型的檢驗(yàn)可以采用基于ML的一系列χ2檢驗(yàn)。

(四)概率分布函數(shù)模型

建立Copula函數(shù)模型的主要問題為確認(rèn)各變量的邊緣分布和找到合適的Copula函數(shù)表達(dá)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。Copula函數(shù)的構(gòu)造方法較多，比較常見的Copula函數(shù)主要分為三類：橢圓型Copula(如正態(tài)Copula 函數(shù)，Student-t Copula 函數(shù))，阿基米德型(如Gumbel-Copula函數(shù)、Frank-Copula函數(shù))以及極值型(Galambos-Copula函數(shù))。

Copula模型的參數(shù)估計(jì)方法可以分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法，最常用的方法大都基于極大似然估計(jì)法，比如完全極大似然估計(jì)法、兩階段極大似然估計(jì)法、偽極大似然估計(jì)法等。運(yùn)用Copula函數(shù)建模過程中的關(guān)鍵一步就是選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)，這是國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，但仍沒有被廣為接受的檢驗(yàn)方法，常用的有圖形診斷法、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)(包括AIC、SC、χ2檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)等)。

四、非均值模型建模方法論特點(diǎn)及其對計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的影響

為了更加清楚地反映非均值模型建模方法的論特點(diǎn)，可以將各類計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法論的特點(diǎn)歸納如下表：

表1 各類計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法論的特點(diǎn)比較

由此可見，各類非均值模型的特點(diǎn)不同，但他們之間又相互聯(lián)系和滲透。非均值模型的出現(xiàn)，拓展了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究范圍，豐富了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的建模方法論，為經(jīng)濟(jì)問題的實(shí)證研究提高了更加有效的工具和更為適用的方法。非均值模型建模方法論對計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的影響具體體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：

1.非均值模型建模對象更復(fù)雜多樣。如分位數(shù)回歸將唯一的的條件均值回歸，擴(kuò)展到任意分位數(shù)；ARCH模型將建模對象擴(kuò)展為方差(波動(dòng))特征；離散選擇模型和持續(xù)時(shí)間模型的建模對象為概率；分布函數(shù)模型將研究對象擴(kuò)展到概率分布函數(shù)。因此，只要現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題對建模方法提出了新的要求，現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)都能提供有效的工具和科學(xué)的方法，體現(xiàn)了其較強(qiáng)的包容性和“彈性”特征。

2. 非均值模型隨機(jī)項(xiàng)的假定更靈活。為了進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論，傳統(tǒng)的均值模型要滿足經(jīng)典線性模型假定(古典假定)，而分位數(shù)回歸不做任何假定，其他非均值模型中有的只是假定服從正態(tài)分布，有的還擴(kuò)展到Logistic分布等。模型假定的“松動(dòng)”，有助于克服傳統(tǒng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的局限性，使得新建模方法的引入成為可能，為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模方法發(fā)展提供了空間。

3.估計(jì)方法和檢驗(yàn)方法更加多樣化。非均值模型一方面沿用了均值模型中的ML等估計(jì)方法，另一方面發(fā)展出了GMM、LAD、IFM及偽ML等方法；針對非均值模型的特點(diǎn)，模型檢驗(yàn)拓展到擬LR檢驗(yàn)、BDS檢驗(yàn)、Wald檢驗(yàn)、K-S檢驗(yàn)等。這些估計(jì)與檢驗(yàn)方法成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)建模方法的重要組成部分，充實(shí)壯大了現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的建模方法論體系。

4. 非均值模型適用領(lǐng)域廣泛，拓展了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用范圍。非均值模型彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的均值模型解決不了的問題，比如方差模型研究與波動(dòng)性相關(guān)的領(lǐng)域；分布函數(shù)模型對尾部相關(guān)性研究尤為有效；持續(xù)時(shí)間模型研究事件的持續(xù)期間的長度等；分位數(shù)模型解決了隨機(jī)項(xiàng)出現(xiàn)異方差或不服從正態(tài)分布問題，等等，從而推動(dòng)了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)證研究和解決現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用。

5. 從不同層面發(fā)展了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)科體系。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是一個(gè)開放的學(xué)科體系，非均值模型建模方法大大完善了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)科體系，出現(xiàn)了一些新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)科分支，例如，在分位數(shù)模型和離散選擇模型基礎(chǔ)上，發(fā)展了微觀計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，在方差模型基礎(chǔ)上發(fā)展了金融計(jì)量學(xué)，等等。

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