八年級學生數(shù)學能力測評及教學建議
——基于八萬名學生幾何典型錯例分析

杜宵豐 吝孟蔚 黃 迪

八年級學生數(shù)學能力測評及教學建議
——基于八萬名學生幾何典型錯例分析

杜宵豐 吝孟蔚 黃 迪

錯例是一種重要的教育資源。分析學生在幾何題目中的錯誤作答，這有利于教師了解學生對幾何知識的掌握程度及其數(shù)學思維過程，從而做到有效教學，逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。本文基于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，對來自三個省市的83792名學生進行測試，將經(jīng)典的幾何錯例作為分析樣本，揭示出學生錯誤背后突顯出的數(shù)學能力問題，并為加強數(shù)學教學提出相應(yīng)的改進建議。

數(shù)學；幾何；錯例；能力問題；教學啟示

幾何是初中數(shù)學教學中的重要內(nèi)容之一?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）強調(diào)要注重發(fā)展學生的空間觀念和幾何直觀，要求學生能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，并能利用圖形描述和分析問題。在北京師范大學“區(qū)域質(zhì)量健康體檢”項目中，通過對三個地區(qū)的83792名學生進行測試，研究者發(fā)現(xiàn)，學生在幾何解題中存在很多問題，如思維混亂、審題思維不縝密、忽視隱含條件、幾何概念掌握不到位等。教師應(yīng)該充分認識中學生數(shù)學能力中存在的問題，從而采取適當?shù)慕虒W策略，幫助學生做出必要的改進。

一、問題的提出

分析學生在數(shù)學題目中的錯誤答案，能夠幫助教師更好地了解學生對幾何知識的掌握程度和數(shù)學思維過程，從而促進教學。本文基于《標準》對三個地區(qū)的83792名學生進行測試，詳細解析了幾何錯例，試圖揭示學生錯誤背后突顯出的數(shù)學能力問題，并提出相應(yīng)的教學建議。

二、測試內(nèi)容框架

本測試按照《標準》將考查內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個維度。由于實施測評的三個地區(qū)所用教材版本不同，因此，在選擇考查內(nèi)容時，課題組綜合了三個地區(qū)的相同知識點。三套試卷中共有15道圖形與幾何的題目，所考知識點依據(jù)表1。

表1 圖形與幾何測試框架表

三、測試能力框架

本評價項目基于《標準》，結(jié)合我國數(shù)學教育實際情況將能力框架劃分為“了解、理解、掌握、運用”四個層次。具體描述見表2。

表2 能力類別的指標及具體描述

四、測試題目類型

初中數(shù)學素養(yǎng)測評項目主要采用紙筆測試，力圖對學生數(shù)學知識技能、思想方法以及數(shù)學能力的發(fā)展狀況做較為全面的評價。試題結(jié)構(gòu)包括選擇題、填空題和解答題，其分數(shù)比例為2:1:2。不同的內(nèi)容類別中，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率所占比例約為5:3.5:1.5。試題中考查了解、理解、掌握、運用的題目比例約為2:3:3:2。測試題目難度在75%左右，難度水平1、水平2、水平3、水平4的題目比例3:5:2:0.5。試題既能照顧到知識覆蓋各層面的學生情況，又能充分地通過各種題型功能反映學生的認知水平、解題能力以及數(shù)學語言的正確靈活運用，同時也體現(xiàn)出學生在求解過程中的觀察、猜想、驗證、推理等數(shù)學活動。

測評選取的幾何題目分別從4個能力層次出發(fā)，考查學生幾何知識的掌握情況。調(diào)查顯示，學生的錯誤作答很有特點，能較好地反映出他們在數(shù)學學習中存在的一些問題。

五、幾何錯例分析中突顯出中學生的數(shù)學能力問題

1.幾何審題思維不縝密

審題是做對題目的開端，它需要一定的數(shù)學知識為基礎(chǔ)，更需要有良好的數(shù)學思維和數(shù)學意識為保證。著名數(shù)學家波利亞說：“最糟糕的情況是學生沒有弄清問題就進行演算和作圖?！币虼?，審題思維是否縝密，直接影響到學生思考問題的條理性、深刻性以及問題解決的能力。初中生正處于具體形象思維向抽象形象思維轉(zhuǎn)變的過渡階段，由于所學知識不系統(tǒng)、不全面，他們很容易在審題過程中因思維不周密而出現(xiàn)解題錯誤，也容易導致思維的片面性。下文以測試B卷第17題為例，展示了學生思維不縝密的表現(xiàn)。

如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，若重疊部分構(gòu)成菱形，則重疊部分周長的最小值是____________．

本題是一道體現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)換思想的題目，能力層次為理解，綜合考查了學生對菱形和正方形的區(qū)分與聯(lián)系。

經(jīng)過訪談?wù){(diào)查筆者了解到，回答錯誤的學生主要是將問題中求解重疊部分周長的最小值看作是求解重疊部分面積的最小值。該部分學生對于菱形和正方形的掌握比較到位，解題思路也比較清晰，但由于審題不清，不能分辨信息的有效性，從而得出錯誤答案。由此可見，提高學生的解題、審題、分析能力尤為重要。

2.幾何概念掌握不到位

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡明、概括的反映。概念是數(shù)學知識體系的基本單位。《標準》明確指出：“有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題?！?/p>

當前的數(shù)學教學存在著把概念與性質(zhì)、公式、定理和生活實際割裂開來，甚至對立起來的問題。一部分數(shù)學教師認為講清概念就是讓學生熟記定義，忽視了學生對概念內(nèi)涵和外延的理解。重解題、輕概念的教學現(xiàn)象一定程度上仍然在延續(xù)，這也是學生對數(shù)學概念掌握不到位、概念應(yīng)用意識差的主要原因。在解題中，概念掌握不到位就會導致錯誤不斷，如測試B卷第20題。

一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.如圖，第一個四邊形為面積是1的箏形．依次連接該箏形各邊中點得到第2個四邊形，然后再依次連接這個四邊形各邊中點得到第3個四邊形.按照此方法繼續(xù)下去，請回答下列各題：

（1）第2個四邊形是什么圖形？面積是多少？

（2）第3個四邊形是什么圖形？面積是多少？

（3）第10個、第11個四邊形是什么圖形？面積是多少？

該題給出了新的四邊形的定義“一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形”，再要求學生進行圖形規(guī)律的討論，能力層次是運用。在分析學生的作答情況時筆者發(fā)現(xiàn)，學生錯答的原因主要表現(xiàn)為幾何概念不明確、幾何思維缺乏邏輯性等方面。筆者對學生作答情況進行了編碼、統(tǒng)計，約68.1%的學生在第（1）（2）問作答中完全正確，而在錯誤作答中，約15.5%的學生僅能正確判斷圖形，約3.9%的學生只能正確求出面積。第（3）問完全回答正確的學生比率為38.8%。

該題以學生不熟悉的箏形為背景，借助中位線，又涉及到矩形、菱形的判定，對概念及性質(zhì)理解掌握不到位的學生就容易出現(xiàn)錯誤判斷。由題目中的條件學生僅能推得第2個四邊形對邊平行且相等、鄰邊垂直的結(jié)論，因此，部分學生則判斷圖形為正方形。出現(xiàn)這種結(jié)論的原因在于：一是學生混淆了正方形與矩形的概念，二是學生對箏形的概念進行了擴充，有意或無意地添加了“箏形兩條對角線相等”的條件。

對于特殊四邊形如平行四邊形、矩形、菱形、正方形，學生雖在生活中有所接觸，但轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言后他們經(jīng)常會混淆部分特殊四邊形的概念。在對圖形進行加工后，學生如果思考不充分則很容易主觀地增添或忽視某些條件和性質(zhì)。

3．幾何思維缺乏邏輯性

邏輯思維是運用概念、判斷、推理等思維形式所進行的思考活動，是一種有條件、有步驟、有根據(jù)、漸進式的抽象思考方式。它是重要的數(shù)學能力之一，數(shù)學教學目標中就十分強調(diào)培養(yǎng)學生思維的邏輯性。

幾何解題中，學生如果缺乏邏輯思維能力，就無法識別出題目所考查的知識點，也容易思維混亂，對題目結(jié)論進行主觀臆斷。此外，思維邏輯性的缺失也會使學生無法充分結(jié)合圖形，挖掘題目中的隱含信息，從而造成學生思考不深入、不全面以及淺嘗輒止的后果，如測試B卷第20題。

在分析中筆者發(fā)現(xiàn)，該部分學生將第2個四邊形判斷為平行四邊形，他們僅利用了中位線的性質(zhì)，未運用題目中所給箏形的概念得出進一步的結(jié)論，說明思維邏輯性的欠缺導致了學生在解題過程中的思考不夠深入。然而，該部分學生在第（2）問中的解答卻是正確的，其將平行四邊形四邊中點連線形成的四邊形判斷為菱形，顯然，這些學生的推斷是不合理的。在學生訪談中筆者也發(fā)現(xiàn)，有些學生僅憑直觀的圖形呈現(xiàn)（題目中的圖形更像是菱形），繼而判斷其他圖形也是菱形，由此可見，他們在得出正確答案的過程中存在主觀臆斷、思維不嚴密的問題。

第20題前兩問要求學生求解出圖形面積，第3問得根據(jù)對前兩問的求解總結(jié)歸納出規(guī)律，以避免繁復的計算。探索規(guī)律的題目需要有假設(shè)猜想，但學生首先需要理解其中蘊含的變化趨勢，在這類題目中，學生往往容易忽視對題目的分析。教師應(yīng)引導學生重點分析題目中的已知信息，在此基礎(chǔ)上進行合理構(gòu)思和猜想。從上述錯例來看，學生對復雜圖形中的中點四邊形計算尚未達到靈活運用的水平。在教學中，教師可以利用剪拼、方格紙或軟件引導學生發(fā)現(xiàn)任意四邊形與其中點四邊形面積之間的關(guān)系，讓學生對該問題有較為直觀的認識，然后再從數(shù)學上作出分析。對于學有余力的學生，教師還可以將此類問題一般化，考察第n個圖形的情況。

4．空間觀念不強

《標準》中強調(diào)的空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?？臻g觀念對初中數(shù)學，特別是初中幾何的學習起著至關(guān)重要的作用。

許多初中學生在學習幾何時表示感到困難，無法在頭腦中想象出物體的形狀，缺乏空間表象能力，空間組合復雜時不能順利建立映像。而導致這種現(xiàn)象的原因除了幾何課程自身的特點，日常教學中對學生空間想象力訓練的不足也是主要原因?？臻g觀念不強嚴重影響了學生分析問題、解決問題的能力。下文以測試B卷第5題為例進行分析。

如圖，在一張三角形紙片ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D、E分別是AC、AB的中點，現(xiàn)把紙片沿DE剪開．那么能拼成幾種不同形狀的四邊形？（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本題的能力層次為了解，主要考查各類四邊形的概念。學生需根據(jù)題目中的條件，進行合理拼接。正確拼法如下所示。

由分析可知，學生在三角形中位線和各類四邊形知識的掌握上不夠熟練，在平時的學習中較少使用“拼接”這樣的分析思路，因此，學生難以在具體題目中靈活地運用，從而遺漏一些重要的隱含信息。選擇A選項的學生主要集中在拼法（2），說明學生僅達到對圖形“補”的程度，而“拼”的意識還比較薄弱。選擇B選項的學生之所以拼出了兩種圖形，是因為這一部分學生通過條件“D、E分別是AC、AB的中點”，拼出（2）和（3）；另一部分學生能拼出（1）和（2），原因是（1）和（2）是對稱圖形，比較直觀；還有少部分學生拼出（1）和（3）。上述學生無法找全3個圖形的原因在于，學生在解題時無法在頭腦中形成清晰的幾何圖形，只是利用題目中的已知條件進行簡單的拼接，空間觀念較差。也有一部分學生拼出了4種或多于4種的情況，這是因為該部分學生忽略了題目中拼出四邊形的限定條件。還有些學生做題取巧，認為正確答案往往是最多的一項，他們在答題中出現(xiàn)了態(tài)度不認真的情況，雖然對知識脈絡(luò)比較清晰，能較好地運用知識來進行推理，但在解題過程中，卻忽略了題目中的限定條件。

5．幾何過程性探究能力不足

《標準》明確規(guī)定了以“經(jīng)歷”、“體驗”、“探索”為標志的過程性目標，希望學生在學習幾何課程時“經(jīng)歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過程”。不難看出，新標準要求學生對幾何有一定的過程性探究能力。

在目前的數(shù)學教學中，一部分教師不太重視學生的學習過程，認為學生掌握了知識點就達到了教學的目的，忽略了讓學生體驗和探究知識的過程，忽視了學生之間的交流與合作，從而導致學生對數(shù)學知識的認識局限于表象，最終在解題過程中，他們只會機械地生搬硬套，無法靈活運用所學知識解決問題。詳見B卷第11題。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以三條邊為斜邊做三個等腰直角三角形，若三個等腰直角三角形的直角邊分別記為a，b，c，則a，b，c的關(guān)系是（ ）．

A.a+b＜c B.a2+b2＞c2

C.a+b=c D.a2+b2=c2

本題的能力層次為掌握，主要考查學生對勾股定理的進一步應(yīng)用。學生普遍熟知勾股定理的內(nèi)容，并能利用它解決直角三角形的計算問題，但本題的情境相對復雜，在直角三角形ABC外部又有新的圖形，這三個新的圖形實為相似圖形。在這樣的背景下，學生需要將新圖形的邊長與三角形ABC的邊長建立起聯(lián)系，以便利用三角形ABC三邊關(guān)系表示新圖形的邊長關(guān)系。19.3%的學生選擇了B項，訪談?wù){(diào)查顯示，該類學生主要是從視覺上判斷a+b＞c，因而得出a2+ b2＞c2的結(jié)論，說明學生對勾股定理的認識只限于結(jié)論，忽視了過程性的探究。

六、教學建議

1．重視學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)

我們應(yīng)該從關(guān)注學生的主體性著手，重視學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累，基于“動態(tài)數(shù)學觀”，引導學生經(jīng)歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過程，培養(yǎng)學生的空間觀念和邏輯思維能力從而促進知識的動態(tài)生成，并挖掘?qū)W生數(shù)學思維的深度。學生只有具備敏銳的數(shù)學眼光，才能識別出題目中的有效信息，與此同時，細致耐心的作題態(tài)度也是不能或缺的。學生在平時的學習中要有意識地注重細節(jié)，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣。此外，教師應(yīng)培養(yǎng)學生有理有據(jù)地思考，而非對題目進行主觀臆造，幫助學生認識到數(shù)學的嚴謹性和邏輯性。

在解題時，數(shù)學教師要積極地引導學生做到不漏字、不添字，及時抓住題目中的關(guān)鍵字、詞，仔細認真推敲，準確理解題意。在此基礎(chǔ)上，教師要注重知識的系統(tǒng)性和全面性，培養(yǎng)學生形成系統(tǒng)的知識體系，同時有針對性地訓練學生的審題能力，提高學生分析問題的能力，并有意識地訓練學生的數(shù)學思維方法，幫助他們掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，增強學生學好數(shù)學的愿望與信心，從而養(yǎng)成良好的數(shù)學素養(yǎng)。

2．加強幾何概念、公式、定理的聯(lián)系和應(yīng)用的教學

概念是數(shù)學知識體系的基本單位，從錯例分析中，我們可以看出學生在學習知識時，對相似的概念和性質(zhì)容易混淆。對幾何概念、公式和定理掌握得不到位是影響學生解題的癥結(jié)所在。

由此可見，數(shù)學教師要注重概念的教學，給學生打下一個扎實的基礎(chǔ)，并在日常教學中對各個概念、公式和定理進行串聯(lián)、總結(jié)，引導學生與其他知識發(fā)生多向聯(lián)系，幫助他們理清相關(guān)知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而做到對定理、公式的透徹理解和靈活運用。比如，在學習中位線時，教師可以通過幾何畫板或具體實物模型，以形象直觀的方式演示中位線的形成過程，讓學生對中位線的本質(zhì)屬性有更深刻的理解。此外，我們還可以通過創(chuàng)設(shè)包含著能緊扣教學內(nèi)容的數(shù)學信息，并承載相應(yīng)的數(shù)學概念、公式、定理或思想方法的有效情境，激勵和啟發(fā)學生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進而探究問題、解決問題，從而促進學生數(shù)學思考能力和創(chuàng)新能力的不斷發(fā)展。

3．加強初中幾何的過程性教學

傳統(tǒng)結(jié)果取向的評價觀念容易導致數(shù)學教學中存在重結(jié)果、輕過程的現(xiàn)象，伴隨而來的教學結(jié)果是，學生對數(shù)學知識的認識局限于表象，難以變通、難于轉(zhuǎn)化。幾何教學的重心不在于公式的幾何證明，也不在于公式的識記，而是重在過程。教師應(yīng)該指導學生經(jīng)歷對幾何問題探索的全過程，讓學生在參與數(shù)學活動的過程中理解與提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系。結(jié)合具體的幾何內(nèi)容，數(shù)學教師可以采用“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開教學，讓學生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，在此過程中，學生收獲最多的并非是對幾何知識的認識，而是問題探究過程中感悟的數(shù)學思想和方法。

運用所學知識去解決問題是學生必須掌握的技能之一，但知識與解題脫節(jié)的現(xiàn)象屢屢出現(xiàn)，那么，教師應(yīng)引導學生發(fā)現(xiàn)知識、習題以及實際問題之間的聯(lián)系，從而運用所學知識解決數(shù)學問題。比如，在課堂上，教師應(yīng)與學生積極交流題目中的信息，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)隱含條件、判斷考查知識點的能力。數(shù)學教學還應(yīng)該為學生補充許多模型，讓學生在多個圖形中探尋問題的解題規(guī)律。在問題解決的過程性教學中，學生首先要具備的就是閱讀能力和觀察能力。其中，閱讀能力體現(xiàn)在對題意的理解上，觀察能力體現(xiàn)在對圖形特征的把握上。雖然我們希望學生具備幾何問題代數(shù)化的意識，但首要的是建立幾何直觀并分析幾何關(guān)系本質(zhì)，這是能夠幫助學生進行下一步的猜想或推導的。

責任編輯/雷 熙

G40-058.1

A

1674-1536（2014）12-0035-05

本文是北京師范大學教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心“區(qū)域質(zhì)量健康體檢項目”的子項目“中學數(shù)學學業(yè)質(zhì)量診斷與反饋”（項目編號：105006）的研究成果。

杜宵豐/北京師范大學數(shù)學科學學院碩士生，研究方向為數(shù)學教育。（北京 100875）

吝孟蔚/北京師范大學教育學部碩士生，研究方向為數(shù)學課程與教學論。

黃 迪/北京師范大學教育學部碩士生，研究方向為數(shù)學課程與教學論。