簡諧成分的盲源分離適用性研究

董建超，楊鐵軍，李新輝，代 路

（哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

簡諧成分的盲源分離適用性研究

董建超，楊鐵軍，李新輝，代 路

（哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

盲源分離問題（BSS）大多基于信源信號的獨立性假設(shè)或者時間結(jié)構(gòu)假設(shè)條件來展開研究，對信源的不當假設(shè)可能導致算法過學習，產(chǎn)生虛假的信源識別結(jié)果。針對機械系統(tǒng)中普遍存在的簡諧成分，研究了BSS方法應用于簡諧成分盲分離的適用性。簡要介紹了2種典型的BSS方法——獨立分量分析方法（ICA）和二階盲辨識方法（SOBI），通過峭度分析簡諧信號的非高斯性，發(fā)現(xiàn)當簡諧信號構(gòu)成傅里葉級數(shù)系時，有可能構(gòu)成非高斯性更強的信號。應用FastICA算法和SOBI算法進行簡諧信號盲分離的仿真研究以及簡支梁結(jié)構(gòu)模態(tài)識別的實驗研究。結(jié)果表明：當簡諧信號構(gòu)成傅里葉級數(shù)系時，ICA方法會優(yōu)先分離非高斯性更強的信號，導致方法過學習；而SOBI方法能確保簡諧成分的盲分離過程準確可靠。

盲源分離；獨立分量分析；二階盲辨識；峭度；模態(tài)識別；簡諧成分

大量船用機械設(shè)備趨于復雜化和聯(lián)合化，振動傳遞復雜，要得到具有真實物理特性的振源信號非常困難。如何從測得的混合信號中提取各個振源原始的振動信號并且確定設(shè)備近似的傳輸特性，成為船用設(shè)備故障診斷、振動噪聲控制與優(yōu)化設(shè)計中的首要問題。近年來，僅僅通過觀測信號估計源信號的盲源分離方法（blind source separation，BSS）在機械工程領(lǐng)域得到廣泛的應用［1-6］。G.Kerschen［7-8］、Zhou W［9］等在應用BSS方法進行弱阻尼條件下的結(jié)構(gòu)模態(tài)識別研究中，發(fā)現(xiàn)二階統(tǒng)計量方法（secondorder blind identification，SOBI）能夠得到更好的識別效果。文獻［10］提出了一種基于希爾伯特變換（Hilbert transform）的二階盲辨識方法，并與傳統(tǒng)的動力學分析方法—特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法（eigensystem realization algorithm，ERA）進行對比，研究復模態(tài)盲識別的有效性。文獻［11］提出了一種新的二階盲辨識方法（non-Hermitian joint approximate diagonalization，NoHeJAD）以解決激起的模態(tài)多于傳感器數(shù)目時，系統(tǒng)模態(tài)辨識的問題。以上研究針對機械系統(tǒng)盲問題展開了研究，但是并未對BSS方法與機械系統(tǒng)振動源統(tǒng)計特征的對應關(guān)系和適用條件進行深入地分析。BSS方法基于概率理論，嚴格依照信源的某種假設(shè)條件來估計統(tǒng)計意義上的信源信號。對信源統(tǒng)計特性的不當假設(shè)可能導致算法過學習，不同的BSS方法會得到大相徑庭的信源估計。實際船用機械設(shè)備的振動存在著大量的簡諧成分，具有明顯的線譜特征。當簡諧信號的頻率呈整數(shù)比關(guān)系時，它們之間滿足互不相關(guān)性但是不獨立［12］。針對簡諧信號的統(tǒng)計特征進行盲源分離適用性研究，能夠防止機械系統(tǒng)盲分離過學習情況的出現(xiàn)，對于船舶機械系統(tǒng)的振動源識別有著重要意義。在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，提出通過峭度來定量地評價簡諧信號的非高斯性并提出BSS方法的適用條件，應用基于獨立性假設(shè)條件的高階統(tǒng)計量方法與基于時間結(jié)構(gòu)假設(shè)條件的二階統(tǒng)計量方法，進行簡諧信號盲分離仿真研究與簡支梁結(jié)構(gòu)模態(tài)識別的實驗研究，分析BSS方法應用于簡諧成分盲分離的適用性，以確保機械系統(tǒng)盲分離過程準確可靠。

1 BSS概述

1.1 BSS數(shù)學模型

BSS是指源信號、傳遞通道特性未知的情況下，僅由觀測信號和源信號的一些先驗知識（如概率密度、時間結(jié)構(gòu)等特征）估計出源信號的過程。針對源信號不同的混合方式，如線性瞬時混合、線性卷積混合、非線性混合等，需要采用不同類型的BSS方法來進行混合通道的估計及信源分離。其中線性瞬時混合方式最為簡單，是研究BSS問題的基礎(chǔ)［4］。針對這種混合方式的算法最為成熟并且應用最廣。無噪聲的情況下，線性瞬時混合模型可描述為

其中，s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sN（t）］T是 N 維未知的源信號向量，x（t）＝［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T是M維觀測信號向量（M≥N），由信源信號經(jīng)矩陣A混合而成，A為未知滿秩的M×N維混合矩陣。

BSS的目的是尋找一個N×M的滿秩矩陣來恢復源信號：

式中：B是根據(jù)一定的判決準則得到的分離矩陣，y（t）為源信號的估計。在混合過程中，s（t）乘上任意的置換矩陣P與非奇異對角陣D，會導致幅值與次序的改變，這些變化可以通過混合矩陣A乘上PT與D-1而抵消，如：

所以信源的估計結(jié)果y（t）存在著幅值與順序的不確定性。由于信號的統(tǒng)計特征主要包含于波形中，這2種不確定性是可以接受的。

1.2 基于不同信源假設(shè)條件的BSS方法

按照信源的假設(shè)條件來分類，BSS方法大致分為2種［4-6］：1）假設(shè)信源在時間結(jié)構(gòu)上獨立同分布且具有非高斯性，利用高階統(tǒng)計量方法——獨立分量分析（independent component analysis，ICA）進行信源分離；2）假設(shè)信源具有一定的時間結(jié)構(gòu)特征，利用二階統(tǒng)計量的方法（second order blind identification，SOBI）進行信源分離。

基于信源滿足獨立同分布且非高斯的假設(shè)前提的ICA方法，其基本思想是在獨立性假設(shè)的前提下，尋求某種線性變換—分離矩陣，使得輸出信號盡可能地相互獨立。判定信號是否相互獨立的準則有很多種，如互信息測度、信息極大化、極大似然等。在此采用ICA固定點算法—FastICA算法［5］進行簡諧成分的盲分離仿真與結(jié)構(gòu)模態(tài)識別實驗研究，算法細節(jié)可參考文獻［4-5］。

對于具有時間結(jié)構(gòu)的信號來說，可以利用信源在不同時間延遲時刻處的自相關(guān)函數(shù)互不相同的特性，對混合信號的零時延協(xié)方差矩陣與不同時延的協(xié)方差矩陣進行聯(lián)合對角化［6］，實現(xiàn)信源分離。在時間延遲的選擇上，一般分為一步延遲方法（AMUSE算法）和多步延遲方法（SOBI算法）。當存在噪聲干擾時，單步延遲的時延協(xié)方差矩陣對角化會對噪聲非常敏感，而多步延遲的時延協(xié)方差矩陣聯(lián)合對角化的魯棒性更好［6］。相關(guān)文獻進行了附加噪聲情況下的仿真研究［8］，當噪聲標準差達到為信號的35%時，SOBI算法識別模態(tài)振型的模態(tài)置信準則仍不低于0.996，分離的模態(tài)響應與理論模態(tài)響應的標準均方誤差仍低于0.05，算法對噪聲干擾具有良好的魯棒性。本文的仿真與實驗研究中將采用SOBI算法，相關(guān)細節(jié)可參考文獻［13-15］。對比2種算法的分離結(jié)果，以此研究簡諧成分盲分離問題中不同BSS方法的適用性。

2 簡諧成分盲分離仿真

2.1 簡諧信號的非高斯性

機械設(shè)備的振動信號中大多含有簡諧成分，例如結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應，旋轉(zhuǎn)機械的振動等。對簡諧信號的統(tǒng)計特性進行預先研究，能夠幫助選擇更恰當?shù)姆椒?，實現(xiàn)振源信號的分離。

統(tǒng)計特征是針對隨機變量提出的，對于簡諧信號這樣的確定性信號來說，可以用振幅、頻率與相位進行精確描述，沒有必要分析它的統(tǒng)計量。如果假定相角為 ±π區(qū)間服從均勻分布的隨機變量，不同相位的簡諧信號集合便構(gòu)成了隨機過程，這樣可以從理論上分析簡諧信號的非高斯性，進而研究盲源分離方法應用于簡諧成分的適用性問題。在此采用峭度來評價簡諧信號的非高斯性。零均值情況下，信號s的峭度定義如下［6］：

歸一化后的峭度κs為

定義簡諧信號s＝sin（t+θ）的隨機相角θ服從均勻分布，其概率密度函數(shù)p（θ）：

經(jīng)過推導［12］，得到簡諧信號的概率密度函數(shù)p（s）：

計算簡諧信號s的歸一化峭度：

圖1（a）所示為簡諧信號的概率密度函數(shù)曲線，圖中離散桿圖為簡諧信號的概率密度曲線，虛線為標準正態(tài)分布概率密度曲線。可見，簡諧信號的概率密度曲線比高斯概率密度曲線更平坦［2］，且具有負峭度，說明具有隨機相位的簡諧信號為亞高斯信號。

實際機械結(jié)構(gòu)的振動噪聲信號往往由許多簡諧成分耦合疊加而成，由傅里葉級數(shù)理論可知，當一組簡諧信號的頻率與幅值呈一定關(guān)系時，它們能夠疊加組成非簡諧的周期函數(shù)。工程中常見的方波信號就是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成。定義方波信號f（t+θ）的周期為2π，幅值為1，隨機相位θ服從均勻分布，該信號可以展成如下形式：

其概率密度p（f）：

根據(jù)中心矩的比例性與線性［4-5］，方波信號的歸一化峭度κf計算如下：

圖1（b）所示為方波信號的概率密度函數(shù)曲線，圖中離散桿圖為方波信號的概率密度曲線，虛線為標準正態(tài)分布概率密度曲線。該信號集中在 ±1的位置，并且峭度κf小于簡諧信號的峭度κs，可知具有隨機相位的方波信號是非高斯性更強的亞高斯信號。

圖1 信號概率密度曲線Fig.1 Probability density function curves of signals

當簡諧信源信號構(gòu)成式（9）所示的傅里葉級數(shù)系時，能夠疊加產(chǎn)生非高斯性更強的方波信號，這時如果使用基于獨立性假設(shè)的ICA方法進行盲源分離，會導致算法過學習，產(chǎn)生虛假的信源分離結(jié)果。

2.2 ICA與SOBI信源分離對比

本節(jié)應用FastICA算法與SOBI算法，針對一組頻率呈整數(shù)比的簡諧信號進行BSS仿真。信源s定義為6個正弦信號，頻率分別為1、3、5、7、9、11Hz，初始相位均為零。信源經(jīng)6×6維隨機矩陣A到混合信號x，A的條件數(shù)為14.41，為非奇異陣。簡諧信源信號及混合信號如圖2所示。

圖2 簡諧信號及混合信號Fig.2 Harmonic signals and mixed signals

圖3 FastICA分離的信源Fig.3 Separated sources using FastICA

圖4 SOBI分離的信源Fig.4 Separated sources using SOBI

圖5 分離信源的峭度Fig.5 Kurtosis of separated sources

由于獨立性的假設(shè)，當信源能構(gòu)成非高斯性更強的信號，ICA方法會優(yōu)先將其作為虛假信源分離出來，盲源分離過程失效。而二階統(tǒng)計量方法僅利用了信號時延協(xié)方差矩陣的信息來代替高階統(tǒng)計量，所以能夠得到準確的信源。

3 BSS應用于模態(tài)識別

模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動力學分析應用最為廣泛的一種方法，然而在某些特定場合，傳統(tǒng)的模態(tài)分析技術(shù)受到一定的限制。例如針對某些大型結(jié)構(gòu)或特殊系統(tǒng)進行模態(tài)分析時，人為施加激勵幾乎難以實現(xiàn)；又如在工作條件下進行結(jié)構(gòu)的工作模態(tài)識別，實際載荷往往未知。因此，基于BSS的機械結(jié)構(gòu)參數(shù)辨識技術(shù)以其特有的優(yōu)勢（僅僅利用響應信號）逐漸得到了應用［7-11］。G.Kerschen［7-8］等人最先將結(jié)構(gòu)振型與混合矩陣列向量進行聯(lián)系，并將結(jié)構(gòu)模態(tài)響應視作“虛擬信號源”。本節(jié)將應用FastICA與SOBI算法進行結(jié)構(gòu)模態(tài)識別實驗研究，以分析方法的適用性。

在分析機械結(jié)構(gòu)的動力學特性時，需要把連續(xù)分布的實際系統(tǒng)簡化成離散化模型。線性n自由度系統(tǒng)的運動方程為

式中：M、C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F(xiàn)（t）為激勵力向量，和x（t）分別表示系統(tǒng)的加速度、速度和位移向量。

應用模態(tài)疊加理論進行分析，n自由度系統(tǒng)的自由振動響應可表示為式中：ξi、ωi和φi分別表示第i階模態(tài)的阻尼比、固有頻率和相位；Ai為常數(shù)，由初始條件決定；ψi為第i階模態(tài)振型向量，表示各階模態(tài)對響應的貢獻率，數(shù)學意義可理解為加權(quán)系數(shù)。式（13）用矩陣形式可表示為

式中：Ψ＝ [ψ1，ψ2，…ψn]為振型矩陣，由n階振型列向量ψi組成；q（t）＝ [q1（t），q2（t），…qn（t）]T為模態(tài)響應向量，qi（t）＝Aie-ξitcos（ωit+φi）為第i階模態(tài)響應向量。欠阻尼情況下，模態(tài)響應是一系列以各階模態(tài)頻率振蕩的指數(shù)衰減的簡諧振動。系統(tǒng)的響應x（t）由模態(tài)響應q（t）經(jīng)過振型矩陣Ψ線性疊加而成。將式（1）與BSS問題聯(lián)系起來，模態(tài)響應q（t）可視為“虛擬信號源”，振型矩陣對應為混合矩陣。應用BSS方法，僅利用響應x（t）就可以進行機械系統(tǒng)的模態(tài)識別分析。

當各階模態(tài)頻率不為整數(shù)比時，模態(tài)響應q（t）是相互獨立的，不構(gòu)成傅里葉級數(shù)系，此時應用ICA方法可以實現(xiàn)模態(tài)識別。但是一些簡單結(jié)構(gòu)，例如簡支邊界條件下的等截面細直桿的縱向振動、等截面直圓軸的扭轉(zhuǎn)振動、等截面細直梁的彎曲振動等［16］，其模態(tài)頻率都呈整數(shù)比關(guān)系。而且對于某些結(jié)構(gòu)復雜的機械系統(tǒng)，模態(tài)非常密集，其頻率近似呈整數(shù)比的情況難以避免，這時模態(tài)響應構(gòu)成了傅里葉級數(shù)系，相互之間不再獨立，若采用ICA方法會導致過學習，使得模態(tài)識別結(jié)果失效。此時需要利用模態(tài)響應的時間結(jié)構(gòu)特性，應用SOBI方法進行模態(tài)識別分析。

4 實驗研究

本節(jié)應用BSS方法進行了兩端簡支約束的鋼梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別實驗研究。簡支梁實驗臺如圖6所示。梁的材料為 45號鋼，尺寸為0.64 m× 0.056 m×0.008 m。應用力錘對簡支梁施加瞬態(tài)的沖擊力，在梁上布置6個加速度傳感器拾取響應信號。實驗臺架如圖 6所示。傳感器型號為B＆K4382型壓電式加速度傳感器，拾取的結(jié)構(gòu)響應信號經(jīng)PULSE3560D型信號分析系統(tǒng)采集存儲，信號時長2 s，采樣頻率為8 192 Hz。

激勵點與測點位置的選取原則是避開前六階模態(tài)的節(jié)點，以此保證前六階的結(jié)構(gòu)模態(tài)被激勵起來，并且傳感器能拾取到模態(tài)響應。定義圖5中的梁左端為坐標原點，前六階模態(tài)振型的乘積（歸一化并取絕對值）如圖7所示，圖中打星號位置為各階模態(tài)振型的節(jié)點，選取激勵點及測點時應避開這些位置。實驗中激勵點位置選為0.40 m，測點布置在0.08、0.18、0.28、0.36、0.46、0.56 m。

圖6 簡支梁實驗臺Fig.6 The simply supported beam experiment rig

本實驗中，不能保證響應信號對各階模態(tài)響應都進行了整周期地采集，而且模態(tài)響應是指數(shù)衰減的簡諧信號，因此峭度不再適合作為分離的門限標準。文獻［10］中利用識別的頻率與阻尼比人為構(gòu)造簡諧衰減信號，通過計算分離信號與構(gòu)造信號之間的標準均方誤差來評價結(jié)果的準確度。本文通過估計的模態(tài)振型與理論模態(tài)振型之間的模態(tài)置信準則MAC（modal assurance criterion）［7］，來定量評價振型識別的準確程度。兩階模態(tài)振型ψi和ψj之間的MAC（ψi，ψj）計算如下：

對分離矩陣求逆陣，得到估計的混合矩陣，其列向量對應為各階模態(tài)振型。MAC的值介于0和1之間，數(shù)值越大說明2個模態(tài)振型的相關(guān)度越高。

圖8為各個響應信號xi及其頻譜xfi，由于篇幅所限，圖中僅顯示0～0.1 s時間段內(nèi)的信號及0～2 kHz頻段內(nèi)的頻譜。由頻譜可知，各個響應信號基本都包含6個頻率成分，說明至少有六階結(jié)構(gòu)模態(tài)被激發(fā)出來，并且均被傳感器拾取。

圖8 響應信號及頻譜Fig.8 Response signals and their spectrum

圖9 FastICA識別的模態(tài)響應Fig.9 Identified modal responses using FastICA

圖10 SOBI識別的模態(tài)響應Fig.10 Identified modal responses using SOBI

圖11 估計振型與理論振型對比Fig.11 Comparison between estimated and theoretical modes

表1 模態(tài)頻率及模態(tài)置信準則Table 1 Natural frequencies and MAC

實驗中，部分模態(tài)未能識別的原因分析如下：簡支梁各階固有頻率呈整數(shù)比，比值為1∶4∶9∶…，模態(tài)響應構(gòu)成了傅里葉級數(shù)系，因此ICA方法識別出虛假的模態(tài)，只是完成了部分低階模態(tài)的識別。另外，模態(tài)頻率的識別存在誤差是由于：傳感器安裝在結(jié)構(gòu)上帶來了附加質(zhì)量，使得結(jié)構(gòu)的固有頻率降低。

5 結(jié)束語

本文通過峭度定量地評價簡諧信號的非高斯性，發(fā)現(xiàn)當簡諧信號構(gòu)成傅里葉級數(shù)系時，存在能構(gòu)成非高斯性更強的信號的可能性。應用2種典型的BSS算法進行了相關(guān)仿真與實驗研究，結(jié)果表明：基于非高斯性假設(shè)的ICA方法在簡諧信號頻率呈比例的情況下，會優(yōu)先將非高斯性更強的信號作為虛假的信源分離出來，出現(xiàn)過學習情況，從而導致信源分離失效；而利用信源信號的時間相關(guān)性與空間不相關(guān)性，采用二階統(tǒng)計量的SOBI方法能正確穩(wěn)定地實現(xiàn)簡諧成分的盲分離。

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Research on the applicability of the blind source separation of harmonic components

DONG Jianchao，YANG Tiejun，LI Xinhui，DAI Lu

（Power and Energy Engineering College，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Most blind source separation（BSS）problems are solved on the basis of the independence assumption of signals or the assumption of time structure.Inappropriate assumptions may result in algorithm overlearning，and furthermore lead to spurious identification of the signal source.The aim of this paper is to exploit the applicability of BSS methods used in blind separation of harmonic components，which are ubiquitous in mechanical systems.Firstly，two BSS methods，namely independent component analysis（ICA）and second order blind identification（SOBI），are described；then，the non-Gausianity of the harmonic signals is analyzed by kurtosis，finding that a signal with more intense non-Gausianity may be formed when the harmonic signals constitute a Fourier series；finally，the FastICA algorithm and SOBI algorithm are applied to the simulation of the blind separation of harmonic signals and the experimental research of mode identification of the simple-support structure.The results show that when the harmonic signals constitute a Fourier series，with the ICA method，the signal with more intense non-Gausianity will be separated in priority，which will lead to overlearning of the algorithm.However，the SOBI method may assure the accuracy and reliability of a blind separation process of the harmonic components.

blind source separation；independent component analysis；second order blind identification；kurtosis；mode identification；harmonic components

10.3969／j.issn.1006-7043.201306082

O328，TK421.6

A

1006-7043（2014）04-0413-07

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306082.html

2013-06-28. 網(wǎng)絡出版時間：2014-03-15 20：42：58.

國家自然科學基金資助項目（51375103）.

董建超（1985-），男，博士研究生；楊鐵軍（1972-），男，教授，博士生導師。

楊鐵軍，E-mail：yangtiejun＠hrbeu.edu.cn.