有限元／間接邊界元法求解浸水板振動(dòng)特性

劉 城，洪 明，2，劉曉冰

（1.大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連116024；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

有限元／間接邊界元法求解浸水板振動(dòng)特性

劉 城1，洪 明1，2，劉曉冰1

（1.大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連116024；2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

針對(duì)浸水板結(jié)構(gòu)振動(dòng)，考慮流體可壓縮特性，利用間接邊界元法計(jì)算附加質(zhì)量矩陣，包含計(jì)算中奇異邊界單元的處理。結(jié)合結(jié)構(gòu)有限元法求解無限域浸水板的振動(dòng)特性，通過編制的相應(yīng)計(jì)算機(jī)程序，對(duì)浸水懸臂矩形平板進(jìn)行了流體間接邊界元與結(jié)構(gòu)有限元耦合數(shù)值模擬；并對(duì)水下自由板進(jìn)行了模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算結(jié)果的可靠性。典型算例表明了流體介質(zhì)改變了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，在低頻段流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性影響甚微；推導(dǎo)的流固耦合數(shù)值方法對(duì)研究浸水結(jié)構(gòu)動(dòng)力和聲輻射研究有很好的參考價(jià)值。

有限元法；間接邊界元法；浸水板；附加質(zhì)量矩陣；矩形平板；固有頻率；流體可壓縮性；模態(tài)識(shí)別

當(dāng)振動(dòng)結(jié)構(gòu)周圍流體對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響不可忽略時(shí)，稱為強(qiáng)流固耦合問題，諸如關(guān)系到艦船結(jié)構(gòu)的減振降噪性能。流固耦合工程上廣泛遇到，但由于問題的復(fù)雜性，比如輕流體與重流體、可壓與不可壓流體以及系統(tǒng)振動(dòng)頻率的不同等，都會(huì)對(duì)耦合的物理分析模型有很大的差異。計(jì)算方法上也是包含解析、數(shù)值和實(shí)驗(yàn)，本文僅針對(duì)低頻段強(qiáng)耦合流固耦合系統(tǒng)振動(dòng)特性的邊界元／有限元數(shù)值分析研究。

在低頻階段，流體介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的作用可通過在結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程中加入附加質(zhì)量項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)流體固體耦合［1-9］。附加質(zhì)量的數(shù)值計(jì)算方法有很多種，如文獻(xiàn)［5］利用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)的附連水質(zhì)量進(jìn)行了研究，利用有限元法計(jì)算無界輻射聲場時(shí)，必須人為的截?cái)嗔黧w域，且計(jì)算量大；文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］利用直接邊界元法（direct boundary element method，DBEM）求解浸水結(jié)構(gòu)的附連水質(zhì)量，但此方法只適用于水下封閉結(jié)構(gòu)，對(duì)水下開口結(jié)構(gòu)無法進(jìn)行計(jì)算；對(duì)于無限大剛性障板中的板或者加筋板結(jié)構(gòu)，可以通過Rayleigh積分來計(jì)算流體對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，但實(shí)際工程中水下結(jié)構(gòu)多處于無限域或者具有自由液面的半無限域水域中，而非Rayleigh積分要求的具有剛性壁面的半無限域，所以該方法具有很大局限性；文獻(xiàn)［8］通過經(jīng)驗(yàn)公式并求解水下懸臂板的附加質(zhì)量，從而求解結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，該方法只適合水下懸臂板結(jié)構(gòu)，且對(duì)于不同的長寬比及厚寬比，懸臂板的附加質(zhì)量計(jì)算公式還有所不同，因此該方法也具有很大的局限性。

間接邊界元法（IBEM）是從直接邊界元法（DBEM）推導(dǎo)而來，它以結(jié)構(gòu)表面的壓力差（雙層勢）和壓力梯度差（單層勢）為未知變量，能同時(shí)計(jì)算內(nèi)場問題和外場問題，同時(shí)適用于無限域中的封閉和開口結(jié)構(gòu)。間接邊界元法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是它是通過變分原理推導(dǎo)出系統(tǒng)方程，得到的系統(tǒng)矩陣是對(duì)稱的，這種對(duì)稱性使其能夠更有效的與結(jié)構(gòu)有限元法相結(jié)合。本文根據(jù)文獻(xiàn)［9］利用FEM／DBEM計(jì)算水下封閉結(jié)構(gòu)的固有頻率的原理上，運(yùn)用間接邊界元法（IBEM）［10-11］推導(dǎo)在低頻段任意浸水結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣的數(shù)值算法，并考慮流體的可壓縮性對(duì)水下結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響［12］，通過編制 FORTRAN計(jì)算機(jī)程序，得到結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣，然后與基于有限元結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣相疊加，實(shí)現(xiàn)了浸水結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性數(shù)值模擬，并進(jìn)行了相關(guān)模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了本文算法的準(zhǔn)確性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 間接邊界元方程推導(dǎo)

設(shè)如圖1所示結(jié)構(gòu)處無限流體域中，S為結(jié)構(gòu)浸水表面，S兩側(cè)均有流體域。若結(jié)構(gòu)浸水表面存在振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)會(huì)引起周圍流體介質(zhì)的擾動(dòng)，從而在流體域中將產(chǎn)生輻射壓力場，而流體的擾動(dòng)也會(huì)反過來影響結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。對(duì)于無粘且可壓縮流體，在線性小擾動(dòng)的情況下，流體域中各點(diǎn)的壓力p滿足Helmholtz方程：

式中：p為計(jì)算場點(diǎn)聲壓，k＝ω／c定義為波數(shù)，其中ω為流體介質(zhì)運(yùn)動(dòng)圓頻率，c為聲波在流體介質(zhì)中的傳播速度。在浸水振動(dòng)結(jié)構(gòu)表面，流體壓力法向梯度與法向振動(dòng)速度滿足：

式中：n為結(jié)構(gòu)浸水表面法向（如圖1所示），vn為結(jié)構(gòu)表面法向振動(dòng)速度，ρ為流體介質(zhì)密度。

圖1 IBEM聲場域及邊界示意圖Fig.1 Representation of acoustic domain and boundary of IBEM

利用格林公式，壓力輻射域中Helmholtz微分方程（1）可轉(zhuǎn)為振動(dòng)結(jié)構(gòu)邊界上Helmholtz積分方程：

式中：S、Ω1和Ω2分別表示結(jié)構(gòu)表面、外域和內(nèi)域，Y為振動(dòng)結(jié)構(gòu)表面（源點(diǎn)），X為流體域中計(jì)算點(diǎn)（場點(diǎn)），對(duì)于無限域，G X，Y( )＝e-ikr／4πr為Y點(diǎn)處的基本解，r為源點(diǎn)到場點(diǎn)距離，C X()為影響系數(shù)，它與Y及結(jié)構(gòu)表面光滑度相關(guān)。

方程（3）為直接邊界元對(duì)應(yīng)的外場問題邊界積分方程，內(nèi)場問題邊界積分方程也有類似形式［9］。間接邊界元是從直接邊界元方程推導(dǎo)而來，它以結(jié)構(gòu)表面的聲壓差（雙層勢）和聲壓梯度差（單層勢）為未知變量，在邊界表面兩側(cè)分別對(duì)內(nèi)場問題和外場問題應(yīng)用上述直接邊界元內(nèi)外場的Helmholtz邊界積分方程，然后將兩方程相加，即可得聲場域內(nèi)任意點(diǎn)的聲壓：

式中：σ為結(jié)構(gòu)表面的法向壓力梯度差（單層勢），μ為結(jié)構(gòu)表面的聲壓差（雙層勢），其表達(dá)式為

假設(shè)結(jié)構(gòu)表面滿足Neumann邊界條件，由上述關(guān)系式，可得邊界條件與未知量的關(guān)系為

定義如下泛函［10］：

式中：泛函F（μ）具有超強(qiáng)奇異性，可通過下式改善其奇異性：

在邊界上對(duì)方程（10）進(jìn)行邊界元離散，利用變分原理，即可得到系統(tǒng)方程，求解此系統(tǒng)方程可求出結(jié)構(gòu)表面的聲壓差μ，然后利用式（4）即可求出流場中任意點(diǎn)的壓力。

1.2 間接邊界元方程的離散

本文以三結(jié)點(diǎn)三角形線性邊界單元在流體固體耦合邊界上對(duì)方程（9）進(jìn)行數(shù)值離散，最終可得到如下形式的表達(dá)式：

式中：Q（ω）為間接邊界元的對(duì)稱影響矩陣；μ為結(jié)構(gòu)表面結(jié)點(diǎn)上的未知變量壓力差列向量；A為結(jié)構(gòu)表面流體單元面積矩陣。矩陣Q和矩陣A的單元塊表達(dá)式如下：

利用變分原理，根據(jù)方程（15）可以得到間接邊界元的表達(dá)式：

由此可以看出，影響矩陣Q（ω）為振動(dòng)頻率ω的函數(shù)，根據(jù)式（13）求出結(jié)構(gòu)表面聲壓差后，任意點(diǎn)的壓力由式（4）即可求得。

而對(duì)無粘、不可壓流體，流體中聲度c→∞，則k＝0，聲場中任意點(diǎn)的壓力p滿足Laplace方程［12］：

與可壓縮流體中的推導(dǎo)類似，流體的控制方程最終可寫成

從上述推導(dǎo)中可以看出，可壓縮流體與不可壓縮流體中，最終得到的流體方程均可表達(dá)成式（16）的形式。需要注意的是，可壓縮流體中的影響矩陣Q（ω）與頻率有關(guān)，而不可壓縮流體中的影響矩陣Q′與頻率無關(guān)。

1.3 結(jié)構(gòu)有限元與流體間接邊界元耦合描述

考慮流體與結(jié)構(gòu)振動(dòng)的耦合影響時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程的有限元形式為

式中：M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；Cd為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；u為結(jié)構(gòu)有限元結(jié)點(diǎn)的位移向量，F(xiàn)s為結(jié)構(gòu)上作用外激勵(lì)向量，F(xiàn)a為結(jié)構(gòu)與流體耦合面上流體作用在結(jié)構(gòu)上流體動(dòng)壓力向量。

結(jié)構(gòu)表面兩側(cè)均有流體介質(zhì)時(shí)（如浸水非封閉結(jié)構(gòu)），流體動(dòng)壓力可表示為

式中：T為方向余弦轉(zhuǎn)換陣，A為結(jié)構(gòu)表面流體單元面積矩陣，μ為結(jié)構(gòu)表面結(jié)點(diǎn)壓力差向量。

假設(shè)結(jié)構(gòu)為簡諧振動(dòng)，則滿足關(guān)系a＝iωv，v和a為結(jié)構(gòu)振動(dòng)的速度和加速度。流體變量和結(jié)構(gòu)變量之間的幾何關(guān)系如下：

方程（18）中的流體動(dòng)壓力項(xiàng)可以轉(zhuǎn)化為

低頻時(shí)忽略流體阻尼效應(yīng)，流體動(dòng)壓力最終轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量效應(yīng)項(xiàng)：

根據(jù)前面的推導(dǎo)可知，可壓縮流體中附加質(zhì)量陣Ma與頻率有關(guān)，而不可壓縮流體中附加質(zhì)量陣Ma與頻率無關(guān)，在計(jì)算過程中需注意兩者的區(qū)別。

計(jì)算出流體的附加質(zhì)量陣后，水下結(jié)構(gòu)流固耦合作用下的動(dòng)力學(xué)方程的有限元形式變?yōu)?/p>

對(duì)應(yīng)的廣義特征值問題為

即

式中：Mc＝M+Ma為耦合的質(zhì)量矩陣。

求解上述廣義特征問題，即可求得浸水結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。

基于上述有限元和間接邊界元理論，本文基于FORTRAN語言編寫了相關(guān)的計(jì)算程序，其具體的程序流程如圖2和圖3所示。

圖2 FEM／IBEM流固耦合動(dòng)力分析主程序流程圖Fig.2 Flow chart of the fluid-structure interaction dynamic analysis program

圖3 IBEM計(jì)算附加質(zhì)量陣子程序流程圖Fig.3 Flow chart of the added mass matrix program

從流程圖中可以看出，首先利用有限元知識(shí)構(gòu)造結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣；然后利用間接邊界元理論，根據(jù)式（21）得到結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量矩陣；最后將結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量陣和結(jié)構(gòu)本身的質(zhì)量陣相疊加，得到耦合的質(zhì)量陣，然后求解廣義特征值問題，計(jì)算出浸水結(jié)構(gòu)的模態(tài)。

由間接邊界元推導(dǎo)出的附加質(zhì)量矩陣如式（21）所示，從式（21）的求解形式可以看出，附加質(zhì)量矩陣是一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣，且結(jié)構(gòu)本身的質(zhì)量陣也是一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣，故耦合的質(zhì)量矩陣為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣。為了與間接邊界元耦合方便，結(jié)構(gòu)有限元也是采用三角形三結(jié)點(diǎn)殼單元，在求得結(jié)構(gòu)的剛度陣和耦合的質(zhì)量陣后，即可求得結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，此類問題都可歸結(jié)為求解形如式（24）所示的高階廣義特征值問題，本文應(yīng)用子空間迭代法來求解此類廣義特征值問題。

2 數(shù)值算例分析

對(duì)如圖4所示的浸沒于無限水域中的懸臂矩形彈性平板結(jié)構(gòu)，平板長為0.406 4 m，寬為0.203 2 m，厚為2.67 mm，材料泊松比為0.3，楊氏模量為1.95× 1011N／m2，密度為7 700 kg／m3。分別將流體視為可壓縮流體和不可壓縮流體，比較流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

圖4 矩形懸臂板單元剖分示意圖Fig.4 Representation of mesh discretization for the cantilever plate

2.1 結(jié)構(gòu)有限元與流體間接邊界元耦合描述

假設(shè)流體不可壓縮，流體的密度為1 000 kg／m3，浸水懸臂板前四階固有頻率如表1所示。

表1 空氣與不可壓流體中懸臂板固有頻率計(jì)算結(jié)果Table 1 Natural frequency of the cantilever plate in theair and incompressible fluid Hz

從表1的計(jì)算結(jié)果可以看出，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］的計(jì)算結(jié)果是相吻合的。

2.2 可壓縮流體中懸臂板振動(dòng)計(jì)算

從前面的理論推導(dǎo)中可知，在可壓流體中結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量矩陣是振動(dòng)頻率的函數(shù)，在不可壓流體中與計(jì)算頻率無關(guān)。假設(shè)流體的密度1 000 kg／m3，聲速1500 m／s，分別計(jì)算振動(dòng)頻率為10、100、500和1 000 Hz時(shí)結(jié)構(gòu)的前四階固有頻率，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 可壓縮流體中附加質(zhì)量計(jì)算頻率對(duì)固有頻率的影響Table 2 Impact of the added mass matrix frequency on natural frequency of the plate in the incompressible fluid Hz

從計(jì)算結(jié)果可以看出，附加質(zhì)量計(jì)算振動(dòng)頻率在低頻范圍內(nèi)變化對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率影響非常小，僅當(dāng)增大到高頻范圍時(shí)才對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率有較明顯的影響。因此計(jì)算可壓縮流體中板的固有頻率時(shí)，低頻段附加質(zhì)量計(jì)算頻率的大小對(duì)結(jié)果影響不大。

2.3 流體可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響

將流體分別視作可壓縮與不可壓縮2種模型下計(jì)算出的板的各階固有頻率進(jìn)行對(duì)比，考慮流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，表3分別給出了結(jié)構(gòu)在空氣中、不可壓流體和可壓流體中的前四階固有頻率對(duì)比，其中可壓流體中附加質(zhì)量陣計(jì)算頻率為10 Hz，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 流體可壓縮性對(duì)固有頻率的影響Table 3 Impact of fluid compressibility on the structure natural frequency Hz

從表3結(jié)果可以看出，結(jié)構(gòu)在不可壓縮與可壓縮流體中的計(jì)算結(jié)果相差非常小，流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率影響極其微小。因此可以說，在分析結(jié)構(gòu)流固耦合自由振動(dòng)頻率時(shí)，可以忽略流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。

3 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的流固耦合數(shù)值方法與所編寫程序的正確性，本文對(duì)水下全自由矩形鋼板進(jìn)行了模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)證明了數(shù)值計(jì)算結(jié)果的可靠性。

3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c儀器簡介

本實(shí)驗(yàn)采用的是一塊長為0.6 m、寬為0.25 m、厚為2.0 mm的矩形鋼板。為模擬出無限大水域的自由場環(huán)境，該實(shí)驗(yàn)在消聲水池中進(jìn)行，消聲水池采用長470 mm、底徑直徑50 mm的橡膠尖劈密排，可用空間為7.0 m×4.5 m×4.0 m。實(shí)驗(yàn)測量的主要儀器有東華DH5922動(dòng)態(tài)信號(hào)測試分析儀、YE1311掃頻信號(hào)發(fā)生器、JZK系列激振器和ICP加速度傳感器。在實(shí)驗(yàn)過程中，用4根彈簧吊起矩形鋼板放入消聲水池中，這樣可以模擬鋼板的全自由邊界條件，實(shí)驗(yàn)示意圖如圖5所示。

圖5 水下自由板模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.5 Representation of modal identification experiment for the free submerged plate

3.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄?shù)值分析

運(yùn)用本文編寫的流固耦合動(dòng)力分析程序來計(jì)算矩形鋼板的自由模態(tài)，計(jì)算中取材料泊松比為0.3，楊氏模量為2.1×1011N／m2，密度為7 850 kg／m3；消聲水池中水介質(zhì)視為可壓縮流體，密度為1 000kg／m3，水中聲音傳播速度為1 500 m／s；附加質(zhì)量陣計(jì)算頻率取為10 Hz，鋼板的單元剖分示意圖如圖6所示。

圖6 矩形平板單元剖分示意圖Fig.6 Representation of mesh discretization for the rectangular plate

3.3 模型的實(shí)驗(yàn)測量

本實(shí)驗(yàn)在消聲水池中進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)測量中，用4根彈簧吊起鋼板放入消聲水池中，采用激振器作為激勵(lì)源，鋼板上布置了15個(gè)加速度傳感器，傳感器的布置示意圖如圖7所示。

圖7 水下自由板模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?shí)物圖Fig.7 Model of modal identification experiment

3.4 結(jié)果對(duì)比

對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行了耦合模態(tài)數(shù)值分析和模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)后，兩者得到的結(jié)果如表4所示。

表4 空氣中與水中自由板前三階固有頻率實(shí)驗(yàn)值與數(shù)值解對(duì)比Table 4 Natural frequency of the free plate in the air and in the water

從表4結(jié)果可以看出，運(yùn)用本文所推導(dǎo)的方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相吻合的。說明本文推導(dǎo)的計(jì)算方法與所編寫程序的正確性。圖8表示的是空氣中和水中全自由鋼板的前3階振型，從圖中可以看出，由于流體附加質(zhì)量的影響，減小了結(jié)構(gòu)的固有頻率，但對(duì)結(jié)構(gòu)的振型影響很小。

圖8 空氣中和水中全自由矩形鋼板的前三階振型Fig.8 The first three mode shapes in the air and water

4 結(jié)論

本文在間接邊界元理論下，推導(dǎo)出低頻段水下結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量矩陣，編寫相應(yīng)的FEM／IBEM流固耦合動(dòng)力分析程序，考慮流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響，分析了水下懸臂矩形平板的動(dòng)力特性；并針對(duì)水下全自由矩形鋼板進(jìn)行了模態(tài)識(shí)別實(shí)驗(yàn)，得到如下結(jié)論：

1）本文的間接邊界元求解附加質(zhì)量的方法簡單有效且具有可靠的精度，并為求解水下結(jié)構(gòu)物的振動(dòng)模態(tài)提供了一定的依據(jù)。本文方法的最大優(yōu)點(diǎn)是能同時(shí)計(jì)算內(nèi)場和外場問題，適合無限域中任意形狀的復(fù)雜結(jié)構(gòu)；

2）在低頻段，流體對(duì)結(jié)構(gòu)的影響可以忽略流體阻尼的影響，僅考慮流體的附加質(zhì)量效應(yīng)，及將流體作用簡化為結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量項(xiàng)；而隨著頻率的增大，流體的附加質(zhì)量效應(yīng)減小，流體的阻尼作用增大，此時(shí)不能忽略流體阻尼作用的影響；

3）在低頻段，流體的可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)的影響甚微，在計(jì)算中可以忽略流體可壓縮性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)的影響。

［1］錢勤，黃玉盈，劉忠族.求附連水質(zhì)量的一種直接方法［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1996，18（5）：19-21.

QIAN Qin，HUANG Yuyin，LIU Zhongzu.A direct solution method for the add water matrix［J］.Mechanics and Practice，1996，18（5）：19-21.

［2］王基盛，楊慶山.流體環(huán)境中結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的計(jì)算［J］.北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，27（1）：40-43.

WANG Jisheng，YANG Qingshan.Calculation of add mass matrix of submerged structure［J］.Journal of Beijin Jiaotong University，2003，27（1）：40-43.

［3］王基盛，楊慶山，武岳，等.薄膜結(jié)構(gòu)附加質(zhì)量的計(jì)算方法［J］.空間結(jié)構(gòu)，2003，9（3）.38-41.

WANG Jisheng，YANG Qingshan，WU Yue，et al.Calculation of add mass matrix of thin plate structure［J］.Space Structure，2003，9（3）：38-41.

［4］蘇海東，黃玉盈.求半無限域流場中附連水質(zhì)量的一種簡便解法［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)：城市科學(xué)版，2003，20（4）：14-16.

SU Haidong HUANG Yuying.Novel numerical method for solving added mass of structure embedded in semi-infinite liquid field［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology：Urban Science Edition，2003，20（4）：14-16.

［5］金占禮，王宗利，李紅云，等.結(jié)構(gòu)在無限流體域中振動(dòng)時(shí)附連水質(zhì)量的數(shù)值計(jì)算方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，34（8）：1079-1082.

JIN Zhanli，WANG Zongli，LI Hongyun，et al.Numerical calculation method of the add water mass of vibratory structure in infinite fluid domain［J］.Journal of Shanghai Jiao Tong University，2000，34（8）：1079-1082.

［6］安小同，洪明，李艮田.基于FEM／BEM計(jì)算浸水結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性［J］.船海工程，2011，40（6）：55-58.

AN Xiaotong，HONG Ming，LI Yintian.Calculation of vibration characteristics of submerged plates based on FEM／BEM［J］.Naval Architecture and Ocean Engineering，2011，40（6）：55-58.

［7］李華東，朱錫，羅忠，等.附連水質(zhì)量的邊界元法求解［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21（2）：45-49.

LI Huadong，ZHU Xi，LUO Zhong，et al.Calculation of the added water mass based on boundary element method［J］.Journal of Naval University of engineering，2009，21（2）：45-49.

［8］LIANG Chochung，LIAO Chingchao，TAI Yuhshiou，et al.The free vibration analysis of submerged cantilever plates［J］.Ocean Engineering，2001，28（9）：1225-1245.

［9］EVERSTINE G C.Prediction of low frequency vibrational frequencies of submerged structures［J］.Journal of Vibration and Acoustics，1991，113（2）：187-191.

［10］ALIA A，SOULI M，ERCHIQUI F.Variational boundary element acoustic modelling over mixed quadrilateral-triangular element meshes［J］.Communications in Numerical Methods in Engineerging，2006，22（7）：767-780.

［11］WANG Weiping，ATALLA N.A numerical algorithm for double surface integrals over quadrilaterals with a 1／R singularity［J］.Communications in Numerical Methods in Engineerging，1997，13（11）：885-890.

［12］張升明.流體的可壓縮性對(duì)彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響［J］.水動(dòng)力學(xué)研究與進(jìn)展，1994，9（4）：429-436.

ZHANG Shengming.The impacts on vibration characteristics of submerged structures of fluid compressibility［J］.Journal of Hydrodynamics，1994，9（4）：429-436.

［13］JEANS R A，MATHEWS I C.Solution of fluid-structure interaction problems using a coupled finite and variational boundary element technique［J］.J Acoust Soc Am，1990，88（5）：2459-2466.

The solution for vibration characteristics of submerged plates by applying FEM／IBEM

LIU Cheng1，HONG Ming1，2，LIU Xiaobing1

（1.School of Naval Architecture Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China；2.State Key Laboratory of Structure Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）

With a focus on the structural vibration of a submerged plate and consideration for the compressibility of fluid，the added mass matrix was calculated by utilizing the indirect boundary element method（IBEM）in this paper，including the treatment for the singularity boundary element in the calculation.In combination with the finite element method（FEM）for structure，the vibration characteristics of a submerged plate in the infinite fluid field were calculated.Through the use of corresponding programming，a numerical analysis of the coupling between the indirect boundary element of the fluid and the finite element of the structure was conducted for the submerged cantilever rectangular plate；in addition，a mode identification experiment was conducted on the underwater free plate.The experiment results verify the reliability of the numerical calculation results.The typical numerical example shows that the fluid medium changed the dynamic characteristics of the structure.At a low frequency band，the compressibility of the fluid had little impact on the dynamic characteristics of the fluid.The deduced numerical method for the fluid-structure coupling has excellent reference value for the dynamic research on a submerged structure and the research on acoustic radiation.

finite element method；indirect boundary element method；submerged plate；added mass matrix；rectangular plate；natural frequency；fluid compressibility；modal identification

10.3969／j.issn.1006-7043.201303052

O326

A

1006-7043（2014）04-0395-06

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201303052.html

2013-03-21. 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014-03-15 20：44：29.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51079027）.

劉城（1987-），男，碩士研究生；洪明（1959-），男，教授，博士生導(dǎo)師.

洪明，E-mail：mhong＠dlut.edu.cn