橋梁斷面氣動導數識別的模態(tài)參數插值方法研究①

董雙虎

(同濟大學橋梁工程系，上海 200092)

0 引言

氣動導數是描述橋梁結構氣動性能的重要參數，對橋梁顫抖振分析都必不可少.目前，氣動導數的識別有自由振動法，強迫振動法和CFD方法，其中自由振動法因試驗裝置簡單，應用較多.

1971年，Scanlan等人提出了最早的氣動導數識別的節(jié)段模型自由振動方法[1]，該方法分狀態(tài)識別氣動導數，工作量大且識別精度不高.1984年，謝霽明發(fā)展了基于Karman濾波器的初脈沖耦合振動法[2]，方法中采用了非定常自激力模型，通過比較非定常自激力模型和Scanlan自激力模型建立自激力系數矩陣和Scanlan氣動導數之間的關系求得氣動導數.1994年，Sarkar提出了氣動導數識別的MITD法[3]，通過迭代來減小參數識別精度，但未能解決時延參數選取的問題.二十世紀九十年代，日本學者Yamada和Iwamoto也先后在橋梁氣動導數的識別中應用了耦合自由振動方法[4～5].1998 年，張若雪提出了橋梁斷面氣動導數識別的總體最小二乘法[6]，該方法用交叉迭代進行總體最小二乘擬合.2001年，丁泉順針對總體最小二乘法的不足提出了修正總體最小二乘法[7]，提高了高折減風速下氣動導數識別的穩(wěn)定性.

上述氣動導數識別的自由振動法均采用了傳統(tǒng)處理方法[8]，即計算與豎彎有關的氣動導數時采用頻率w1，計算與扭轉有關的氣動導數時采用頻率w2.為克服該傳統(tǒng)氣動導數識別方法中的缺陷，丁泉順提出了一種模態(tài)參數插值求氣動導數的方法并給出了數值驗證[9].在此基礎上，本文主要探討了一種由歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數的方法，數值算例驗證表明該方法是可行的，從而保證了模態(tài)參數插值求氣動導數的可行性.

先介紹氣動導數識別的模態(tài)參數插值方法.

1 氣動導數識別的模態(tài)參數插值方法

考慮自激力作用的兩自由度橋梁節(jié)段模型的運動方程為:

其中h為豎向位移，α為扭轉角，m為單位長質量，I為單位長質量慣矩，Lse和Mse是氣動升力和升力矩.

根據Scanlan的顫振理論，升力和升力矩可寫成如下形式:

其中U為風速，B為模型寬度，ρ為空氣密度，折減頻率K=ωB/U(i=1，2，3，4)是氣動導數.

將(3)(4)式代入(1)(2)中，移項并令

圖1 不同初始激勵下橋梁斷面的位移響應時程

則方程(1)(2)變?yōu)?/p>

取x(t)=[h(t)α(t)]T，則方程(7)(8)可寫為

式中

設方程的解為x(t)=Ψeλt，其中λ和Ψ依次為系統(tǒng)(包括結構和自激力)的復特征值和復特征向量，且λ=(－ζ+i)ω=(ζ為復模態(tài)的阻尼比，ω為圓頻率)，由此可得出上述控制方程的特征方程為

已知同一折減風速下的八個氣動導數，對式(11)進行系統(tǒng)的復特征分析可以得到該折減風速下的一組模態(tài)參數，反之，由同一折減風速下的一組模態(tài)參數可求得該折減風速下的八個氣動導數.為了確定包含氣動導數的系統(tǒng)自激力矩陣，式(11)可進一步寫成

也即

每一個i值對應兩組共軛的復特征值和復特征向量，八個方程可求得八個氣動導數.因此，氣動導數的求解轉化為同一折減風速下的模態(tài)參數的識別.

圖2 橋梁斷面系統(tǒng)振動模態(tài)參數識別值與理論值的比較

2 模態(tài)參數提取方法

系統(tǒng)的自由振動響應在物理坐標系中可表示為

其中 cr，為由初始條件決定的常數，且成共軛對的形式出現(xiàn).令λr= αr+βir，λ*r= αr－ iβr，代入上式可得

這里采用總體最小二乘法獲取低試驗風速下系統(tǒng)模態(tài)參數[6]，而高試驗風速下系統(tǒng)模態(tài)參數采用傳統(tǒng)最小二乘法按單一模態(tài)擬合，由于模態(tài)振型參數和初始激勵有關，建議一種歸一化方法提取與初始激勵無關并可直接插值的模態(tài)參數，較式

(14)和(15)不難得出如下對應關系

式中，r=1，2分別對應豎彎模態(tài)和扭轉模態(tài).

由式(16)可知，只要確定模態(tài)中某種運動的幅值和相位，則另一種運動的幅值和相位也相應確定，可直接插值的模態(tài)參數也即相應確定.以扭轉模態(tài)為例

不妨令uα2－iv2α=1，則可按如下方法提取可直接插值的模態(tài)參數.

不難證明，變換后的參數與初始激勵無關.同理可提取可直接插值的豎彎模態(tài)參數.對不同風速下的模態(tài)參數進行線性插值，即可得到同一折減風速(或折減頻率)下的一組模態(tài)參數，進而由式(13)可求得氣動導數.

圖3 橋梁斷面氣動導數識別值與理論值的比較

3 算例分析

方便起見，本文采用一組特殊形式的氣動導數獲得響應時程對上述方法進行驗證.

取兩自由度橋梁節(jié)段模型斷面寬B=0.5m，單位長度質量m=10kg/m，單位長度質量慣矩Im=0.2kg·m2/m，空氣密度 ρ=1.225kg/m3，豎彎和扭轉固有頻率依次為 12.0rad/s，18.0rad/s.阻尼比均取為0.005.氣動導數表達為

風速從零開始每級增加1m/s直至18m/s.用matlab進行系統(tǒng)非線性時域分析求得結構的動力響應時程.給系統(tǒng)不同的初始激勵，可以得到不同激勵下平板振動的位移響應時程.本文以三組5m/s時程為例，驗證歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數的可行性.

用總體最小二乘法獲取上述三組不同激勵下橋梁斷面板的阻尼，頻率，幅值等識別參數并歸一化處理得到模態(tài)參數.以豎彎模態(tài)為例，表1為計算結果.(注:h0，a0為初始激勵豎彎位移和扭轉角).

表1 不同初始激勵下模態(tài)參數提取結果

由表1可知，不同初始激勵下得到的可直接插值的模態(tài)參數是和初始激勵無關的常數，即驗證了歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數方法的可行性.

為了進一步驗證上述模態(tài)參數提取的歸一化方法，本文進行了兩自由度系統(tǒng)的模態(tài)參數和氣動導數的識別.時程信號由上述三種不同的初始激勵通過時域分析得到.圖2給出了各風速下系統(tǒng)振動模態(tài)參數的識別結果，其中實線為理論值，圓點為識別值，兩者高度吻合.圖3給出了各氣動導數的識別結果，其中實線為理論值，圓點為識別值，除了H2*個別點由于插值誤差稍有偏差外，氣動導數識別值均與理論值吻合較好，從而表明上述識別參數

歸一化處理提取模態(tài)參數的方法是可行的.

4 結語

由系統(tǒng)復模態(tài)的特征分析發(fā)現(xiàn)，同一折減風速(或折減頻率)下的模態(tài)參數和該折減風速(或折減頻率)下的氣動導數是一一對應的.基于該思想可建立系統(tǒng)振動模態(tài)參數確定橋梁斷面氣動導數的方法.該方法的關鍵是獲取同一折減風速(或折減頻率)下的模態(tài)參數.在此基礎上，本文主要探討了一種歸一化提取可直接插值的模態(tài)參數的方法.數值算例驗證發(fā)現(xiàn)，模態(tài)參數識別結果和理論值完全吻合，在此基礎上用插值模態(tài)參數求得的氣動導數也與理論值吻合較好，從而驗證了該方法的可靠性和適用性.

[1]Scanlan R H.et al.Airfoil and Bridges Deck Flutter Derivatives[J].EM6，1971，ASCE:1717－1733.

[2]謝霽明.識別非定常氣動力模型的初脈沖耦合振動法[J].空氣動力學學報，4(3)，1986年第9期.

[3]Sarker P.P.et al.Identification of Aeroelastic Parameters of Flexible Bridges[J].EM8，1994，ASCE:1718－1741.

[4]Yamada H.，Miyata T.，Ichikawa H.Measurement of Aerodynamic Coefficients by System Identification Methods[J].Journal of Wind Engrg.and Industrial Aerody.，Vol 41－ 44，1992:1255－1263.

[5]Iwanmoto M.，F(xiàn)ujino Y.Identification of Flutter Derivatives of Bridge Deck from Free Vibration Data[J].Journal of Wind Engrg.and Industrial Aerody.，Vol 44－45，1995:55－63.

[6]張若雪.橋梁結構氣動導數識別的理論和試驗研究[D].上海:同濟大學，1998.

[7]丁泉順，陳艾榮，項海帆.橋梁斷面氣動導數識別的修正最小二乘法[J].同濟大學學報，2001，(1).

[8]項海帆，等.《現(xiàn)代橋梁抗風理論與實踐》[M].北京:人民交通出版社，2005.

[9]丁泉順，王景，朱樂東.橋梁斷面顫振導數識別的耦合自由振動方法[J].振動與沖擊，2012，(24).