一種濾除衰減直流分量的全波傅里葉相角修正算法①

張 驍， 肖 嵐， 陳永華

(1.江蘇省新能源發(fā)電與電能變換重點實驗室(南京航空航天大學(xué))，江蘇省南京市 210016;2.國網(wǎng)電力科學(xué)研究院/南京南瑞集團公司，江蘇省南京市 210003)

0 引言

電力系統(tǒng)中，任何系統(tǒng)故障或者擾動都會存在衰減直流分量，同時也有可能存在恒定直流分量.在電力系統(tǒng)防護中，通過相關(guān)算法對采樣信號進行相關(guān)處理，從而得到信號的基波和各次諧波分量的值來實現(xiàn)系統(tǒng)故障檢測的功能.經(jīng)過處理的采樣信號是安全穩(wěn)定控制中判斷故障是否發(fā)生的出發(fā)點和主要依據(jù)[1].如果處理算法不夠精確或者迅速，很有可能引起整個電網(wǎng)的連鎖反應(yīng)，甚至導(dǎo)致大電網(wǎng)癱瘓.為了確保故障檢測的準(zhǔn)確性和快速性，相關(guān)算法必須同時具有高精度和快速響應(yīng)的能力[2～4].目前現(xiàn)有算法中廣泛使用離散傅里葉變換，而最為廣泛的就是全波傅氏變換.傳統(tǒng)的全波傅氏變換有著很強的濾波能力，能濾除絕大部分恒定直流分量和高次諧波.但是，對于信號中含有衰減直流分量的情況，傳統(tǒng)的全波傅氏變換就會受到影響，導(dǎo)致其基波與諧波周期分量的計算精度大大降低[5～6].

因此，尋求一種精度高而數(shù)據(jù)窗短的算法來濾除衰減直流分量，從而能精確地求出基波與諧波周期分量，保證電力系統(tǒng)穩(wěn)控裝置正確并且快速地動作，是十分必要的[7～8].通常的改進方法有:半波傅里葉算法，差分傅里葉算法，以及并聯(lián)補償傅氏算法.文獻[9]對半波傅里葉算法做了改進，略微增加了計算精度，但對于含有偶次諧波以及直流分量的信號，其計算精度還是很難保證.文獻[10]對并聯(lián)補償傅氏算法提出一種改進方法，精度提高了，但是大大增加了計算時間.文獻[11]提出一種通過一階差分構(gòu)造補償角來修正輸入信號的方法，此方法通過犧牲計算時間略微提升了計算精度.文獻[12]基于并聯(lián)補償傅氏算法，通過一種實部虛部之間的計算方法算出了衰減時間常數(shù)，提高了計算精度，但是計算繁瑣，時間過長.文獻[13]提出一種能算出衰減時間常數(shù)的方法，但是其中沒考慮恒定直流分量的影響，以至于計算精度不是很理想.

針對上述問題，本文提出了一種新的濾除衰減直流分量的全波傅里葉改進算法.此算法適用于電力系統(tǒng)故障電流中含有多個衰減直流分量以及恒定直流分量的情況，計算精度高，數(shù)據(jù)窗短，易于實現(xiàn).本文介紹了全波傅里葉算法，分析了幾種基本改進算法的優(yōu)缺點，并給出了改進算法的推導(dǎo)過程以及相角校正的方法，最后給出了仿真結(jié)果.

1 傅里葉算法

1.1 全波傅里葉算法

所謂全波傅里葉算法即是將一個周期的波形累加進行傅里葉分解，從而求得基波與各次諧波的幅值和相位.

設(shè)一個輸入信號為周期函數(shù):

式中，Ak和φk分別為k次諧波的幅值和相角，ω為基波分量的角頻率.ak和bk分別為各次分量的正弦項和余弦項的幅值.其中:

設(shè)基波周期為T，每周期等間隔采樣N點，得到序列 x(n)(n=1，…，N)，第 n 點時刻為 nΔT，將式(1)，(2)離散化后得:

式中:ΔT為采樣間隔，ΔT=T/N.

當(dāng)輸入信號不含衰減直流分量時，得到的ak與bk即是真實值.

1.2 衰減直流分量的影響

當(dāng)式(1)中不含衰減直流分量之時，式(3)與式(4)得到的值為真實值.以上全波傅式算法是基于被采樣信號是周期信號的前提下進行推導(dǎo)的，而對于式(1)中存在衰減直流分量的情況下進行計算，就會產(chǎn)生誤差，證明過程如下:

含有衰減直流分量的采樣信號如下:

將式(7)代入式中得:

同理可得:

其中:

從式(8)與式(9)中可以看出，含有衰減直流分量的周期信號經(jīng)過全波傅式算法的分解后，得到的a1k與b1k中除了應(yīng)有的ak與bk，還有衰減直流分量造成的誤差δa與δb.為了保證全波傅式算法的計算精度，必須對其進行改進，以消除誤差δa與δb對其造成的影響[14].

2 改進的全波傅里葉算法

2.1 改進算法原理

本文提出一種新的改進的全波傅里葉算法(以下簡稱改進算法)，不僅可以消除衰減直流分量對算法的影響，與其它改進算法不同的是，本算法將恒定直流分量對衰減直流分量計算的影響也考慮在內(nèi).

如果想得到精確的i′(n)，必須先消除輸入信號中的衰減直流分量.但是如果輸入信號中同時含有恒定直流分量，便會對衰減直流分量的計算精度造成干擾.于是，必須同時把衰減直流分量與恒定直流分量一并消除掉.

以電流為例，設(shè)輸入信號為:

式中，I0為恒定直流分量，τ為衰減直流分量的時間常數(shù)，A0為其幅值，ω為基頻分量的角頻率，Ak和φk分別為k次諧波的幅值和相角.

設(shè)每周期等間隔采樣N點，得到序列i(n)(n=1，…，N，N+1，N+2)，第 n 點電流值為

其中，ak和bk分別為各次分量的正弦項和余弦項的幅值.

因為衰減直流分量可以看成一個等比數(shù)列，設(shè)

即一周期內(nèi)交流量值之和為零，則

此時可運用遞推公式

此時即可得到q的表達式

而

帶入式(24)中得

此時，式中 ΔT，S(1)，S(2)，S(3)，N 都為已知量，可輕易解出τ，x(1)，I0與q的值.

由于x(n)=x(1)×qn－1，此時便可得知任意采樣點時刻的電流衰減直流分量的值.

則消除衰減直流分量和恒定直流分量的電流表達式可表示為

文獻[15]中證明了N個衰減直流分量可等效為一個衰減直流分量的誤差.所以，之前的消除衰減直流分量的算法適合于含多個恒定直流分量與多個衰減直流分量的情況.

2.2 相角誤差校正

以上方法是通過一個反正切函數(shù)來計算各次諧波的相角，但是由于正切函數(shù)是一個周期函數(shù)，即對于任意的有理數(shù)，都有tan x=tan(x±kπ)，其中k為任意正整數(shù).所以有可能出現(xiàn)相角實際值為卻被當(dāng)成的情況，這種相角偏差會導(dǎo)致多次諧波疊加結(jié)果出錯.為了修正以上問題，此處采用如下方法校正相角:

設(shè)計算出k次諧波的幅值為Ak，相角為φk，φk′=φk+π，則第k次諧波的瞬時值為Akcos(wt+φk)或者Akcos(wt+φk′).將各次諧波瞬時值求和，其中每次諧波都有兩個值，即會有2k個結(jié)果.將每個結(jié)果與實際值進行比較，取最接近的那組數(shù)據(jù)，即確認(rèn)是使用 φk還是 φk′.

3 計算步驟

此方法需要至少連續(xù)的N+2個采樣點的數(shù)據(jù)，即n≥N+2.計算步驟6的時候都可以使用之前的結(jié)果進行簡化運算，從而大大減少運行時間.最后防止φnk與實際的角度相差180°，還可以添加一個校正步驟，即將計算出的結(jié)果以及計算出φnk+π的結(jié)果與原始數(shù)據(jù)進行比較，取相差最小的角度.

計算步驟如下:

8)相角校正

4 仿真結(jié)果分析

為了驗證改進全波傅式算法的精度，在MATLAB中進行如下仿真計算分析.

設(shè)輸入的信號為

其中:ω =100πrad/s，τ1=50ms，τ2=100ms，τ3=25ms.設(shè)置每周期采樣24個點，分別利用傳統(tǒng)全波傅式算法和本文改進算法計算i(t)中的基波及各次諧波的幅值和相角，結(jié)果見表1.

從表1中可以看出，傳統(tǒng)全波傅氏算法的精度受到衰減直流分量的影響非常大，很難做出精確的計算.而本文的改進算法基本沒有受到衰減直流分量的影響，計算精度很高，在多個衰減直流分量影響下依然能夠極高精度地計算基波跟諧波分量，最大誤差僅為0.0006%.

表1 改進算法對i1(t)的計算結(jié)果

5 結(jié)語

本文分析了衰減直流分量以及恒定直流分量對全波傅氏算法的影響，提出了一種濾除衰減直流分量高精度改進全波傅式算法.該算法具有以下特點:

(1)通過比原始全波傅式算法增加2個采樣點，利用N+2個采樣數(shù)據(jù)分別求出恒定直流分量與衰減直流分量的表達式，將其影響去除，從而得出了準(zhǔn)確的故障電流基波和各次諧波的幅值和相位.

(2)該算法僅需對采樣數(shù)據(jù)進行單次傅里葉變換，后一次的數(shù)據(jù)可以利用前一次的數(shù)據(jù)，大大減小了原有的計算量，加快了計算機的運算速度.

(3)該算法消除了分母為0的bug，并且對計算出的相角自動判斷需不需要增加，成功解決了可能會出現(xiàn)的與實際波形相差的情況，適應(yīng)力強.

(4)本算法適用于電力系統(tǒng)故障電流中含有多個衰減直流分量以及恒定直流分量的情況，經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和仿真證明，本算法能非常好地消除多個恒定直流分量以及衰減直流分量的影響.

綜上所述，該算法原理簡單，數(shù)據(jù)窗短.仿真結(jié)果表明，該改進算法具有高的精度與快速的計算速度.因此考慮將本算法應(yīng)用于安全穩(wěn)定控制裝置中對采樣信號進行分析計算，能精確地得出原始故障信號中的基波以及各次諧波的幅值和相角.

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