NOD序列加權(quán)和的完全收斂性①

管 梅

(合肥學院數(shù)學與物理系，安徽合肥 230601)

Ebrahimi 和 Ghosh[1]于 1981 年引入了下面NOD(negatively orthant dependent)序列的概念.

定義 1 稱隨機變量序列 X1，X2，…，Xk是NUOD(negatively upper orthant dependent)的，如果對于任意實數(shù) x1，x2，…，xk有

稱 隨 機 變 量 序 列 X1，X2，…，Xk是NLOD(negatively lower orthant dependent)的，如果對于任意實數(shù) x1，x2，…，xk有

稱 隨 機 變 量 序 列 X1，X2，…，Xk是NOD(negatively orthant dependent)的，如果它既是NUOD的又是NLOD的.稱無窮隨機變量序列{Xn，n≥1}是NOD的，如果它的每一個有限子列X1，X2，…，Xn是 NOD 的.

Joag－ Dev和Proschan[2]指出任何NA隨機變量序列是NOD的，但NUOD或NLOD不能推出NA，并且給出了一個是NOD但不是NA的例子，說明了NOD是嚴格弱于NA的.

陳瑞林[3]研究了NA列加權(quán)和的強收斂速度，獲得了一些完全收斂性的結(jié)果，甘師信和陳平炎[4]將文獻[3]中的結(jié)論推廣到NOD序列情形.本文研究了NOD序列加權(quán)和的完全收斂性，豐富了前人的結(jié)論.

定義2 設(shè){Xn，n≥1}是隨機變量序列，稱其尾概率被隨機變量X一致控制，若存在非負常數(shù)C，使得對 ?x∈ R+，有

簡記為{Xn}?X以下不妨假定X為非負的.

本文一律以C記與n無關(guān)的正常數(shù)，且C在不同的地方可表示不同的值，即使在同一式中也如此.“＜ ＜”表示通常的大“O為證本文定理，先介紹以下引理.

引理1[5](1)設(shè) X1，X2，…，Xn是 NOD 序列，f1，f2，…，fn全部是單調(diào)增(或單調(diào)減)函數(shù)，則f1(X1)，f2(X2)，…，fn(Xn)是 NOD 的.

(2)設(shè) X1，X2，…，Xn是非負 NOD 序列，則

引理2(見文獻[6]中引理4.1.1) 設(shè)X是隨機變量，且滿足 X ≤1，a.s.則

引理3(Bonferroni不等式，見文獻[6]中引理4.1.2) 設(shè){Ai，1 ≤ i≤ m}是一列事件，令

則

P(Ai中至少有N個發(fā)生)≤qN

1 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè){Xn，n≥1}是均值為零的NOD序列，{X}? X，EXp＜ ∞，p ＞ 0，{a，1 ≤ k≤ n，n≥1}為實數(shù)陣列，且|ank|≤Cn－α對所有n≥1，k≥1成立，其中，特別當時，有成立，則對任意ε＞0，有

由tn的取法知，當n充分大時有tn≤nρ，也既有tnankXnk′≤1則有引理2知

由Markov不等式，tn的取法及(1)、(2)式有

而當p＞1時，有EXk=0及仍有

于是當p＞0時，總有(4)式成立.

當p＞2時，EX2＜∞ 注意到時顯然有

結(jié)合定理條件可得

而當0＜p≤2時，由EXp＜∞ 有

于是當p＞0時，也有(5)式成立.所以當n充分大時，由(3)，(4)，(5)式有

用－Xk代替Xk，同理可得

由ankX ＞ ε/N知ank＞ ε/(Nj)，結(jié)合ank≤Cn－α可知，n ＜ (jCN/ε)1/α，從而有 n ≤ φj，故由(6)式有

所以由(7)，(8)式可知

由v的取法可知αp－αv－1＞0，于是有

由(9)，(10)式及EXp＜∞ 得

由于

必至少存在N個k，使得n－p＜ ankXk≤ε/N，因此至少存在N個k，使得ankXk＞n－p，于是由引理3及定義1知

≤ nαp－2P(至少存在 N 個 k，使得 ankXk＞ n－p)

定理1證畢.

[1]Ebrahimi，N.，Ghosh，M.，Multivariate Negative Dependence，Communications in Statistics－ Theory and Methods，1981，10(4):307－337.

[2]Joag－ Dev K.，Proschan F.Negative Association of Random Variables with Applications[J].Ann Statist，1983，11:286－295.

[3]Chen R.L.Strong Convergence Rate of Sums for NA Sequences with Different Distributions[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2004，20(1):47－53(in Chinese).

[4]Gan S.X.，Chen P.Y.Strong convergence Rate of Weighted Sums for NOD Sequences[J].Acta Mathematica Scientia，2008，28A(2):283－290(in Chinese).

[5]Bozorgnia A.，Patterson R.F.，Taylor R.L.Limit Theorems for Dependent Random Variables[J].World Congress Nonlinear Analysts＇92，1996，11:1639－1650.

[6]Stout W.F.Almost Sure Convergence[M].New York:Academic Press，1974.