一道習(xí)題的分析與解答

溫正靈

《物理教學(xué)》總第267期第42頁刊發(fā)了一篇標(biāo)題為《這樣應(yīng)用動能定理錯在哪里？》的文章，原文如下：

有這樣一道習(xí)題：某消防員從一平臺上跳下，下落2米后雙腳著地，接著他用雙腿彎曲的方法緩沖，使自身重心又下降了0.5米，在著地過程中，試估算地面對他雙腳的平均作用力為他自身重力的多少倍？

許多學(xué)生或老師都解法如下：從人開始跳下到蹲下的整個過程，重力對人做正功，大小為WH = mg （h1+h2）；地面對人的作用力做負(fù)功，大小為WF =Fh2，因始末狀態(tài)人的動能均為零，由動能定理得 mg（h1+h2）- Fh2 = 0，解得平均作用力F= mg（h1+h2）/ h2=5mg。

此題對消防員運用動能定理共有兩處錯誤

其一：計算地面對人做功W=Fh2。由功的計算式W=FScosθ中S為力的作用點的位移，而地面對人作用力的作用點——腳底著地后并沒有位移，可見在下蹲過程中地面對人不做功。

其二：此題把消防員看成質(zhì)點應(yīng)用動能定理，而消防員著地后身體各部分速度不同，因此只能把消防員看成質(zhì)點組，對質(zhì)點組用動能定理時要考慮系統(tǒng)內(nèi)力做功，此題重力對人做正功，消防員自身內(nèi)力做負(fù)功，不涉及地面對人的作用力。

正確的解法是：

由運動學(xué)公式和運動定律解，從平臺上落下h1=2m

剛著地時速度v2=2gh

曲腿下降h2=0.5m，人做勻減速運動

設(shè)地面對人作用力為F，則加速度a=（F-mg）/m

再列出速度與位移關(guān)系式v2=2ah2

解得F=5mg

雖然錯解與正確答案完全一致，但物理過程卻完全不一樣。 在上述文章中，該作者認(rèn)為對消防員運用動能定理解答這道習(xí)題的第一種解法是錯誤的，應(yīng)該用柯尼希定理才能正確解答這道題，但是中學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)柯尼希定理，于是該作者轉(zhuǎn)而應(yīng)用了運動學(xué)公式（v2 = 2gh）和牛頓第二定律（a=（F-mg）/m）聯(lián)合解題，認(rèn)為第二種解法才是正確的。

筆者認(rèn)為，該作者未能充分理解和掌握高中物理教學(xué)特點，沒有正確認(rèn)識應(yīng)用勻變速直線運動的運動學(xué)公式和牛頓第二定律的前提條件。誠然，若純粹從動能定理應(yīng)用的角度來看，第一種解法是錯誤的，但若撇開動能定理而從運動學(xué)公式和運動規(guī)律得到的第二種解法也是錯誤的。因為嚴(yán)格而言，地面對人的作用力F是變力，人并非作勻減速運動，即a=（F-mg）/m是不成立的。那么，這道題應(yīng)如何解答才是正確的呢？這需要對動能定理有更深一層的理解。

在著地過程中，雙腳不動而身體下沉，故消防員已不能看作質(zhì)點，而應(yīng)看作質(zhì)點組。在靜止系中，對每一質(zhì)點的動能定理有：d（mvi2/2）=Fi（e）·dri+Fi（i）·dri，求和后得到d T=∑Fi（e）·dri+∑Fi（i）·dri，即質(zhì)點組動能的變化等于質(zhì)點組所受的外力和內(nèi)力做功之和，這稱為質(zhì)點組動能定理，但要注意的是內(nèi)力做功并不一定為零，只有當(dāng)運動時兩質(zhì)點間的距離保持不變（如剛體）的情況下，內(nèi)力做功才為零，一般情況下內(nèi)力做功不為零。題目中消防員自身內(nèi)力做負(fù)功?？履嵯６ɡ頌槲覀兲峁┝擞嬎阗|(zhì)點組動能的方法，即使用質(zhì)心的性質(zhì)和靜止系與質(zhì)心系的相互關(guān)系ri=rc+ri/ 可得T=1/2·mrc2+1/2·∑miri2 ，即質(zhì)點組的動能等于質(zhì)心的動能與各質(zhì)點對質(zhì)心的動能之和。

然而，如果我們用柯尼希定理來解答這道題，在高中物理教學(xué)中是不現(xiàn)實的，高中學(xué)生并沒有比較深入地接觸高等數(shù)學(xué)中的微分、導(dǎo)數(shù)、積分等相關(guān)知識，他們是無法理解和接受的。為此，我們應(yīng)當(dāng)立足于高中教學(xué)的特點，在課堂教學(xué)中牢記“求實、求活、求新”的教學(xué)三原則。在中學(xué)物理課本中，用科學(xué)方法建立物理概念、探索物理規(guī)律的內(nèi)容是很多的，如實驗觀察法、理想法、數(shù)學(xué)法、等效法等等。這道習(xí)題就可以在應(yīng)用等效法的前提下，使用動能定理來獲得正確答案。

所謂等效法，是指從同一事物的不同形式的物理過程出發(fā)來研究、分析和處理物理問題的思維形式、即從事物間的等同效果出發(fā)，通過聯(lián)想把陌生的、困難的、復(fù)雜的、用常規(guī)手段不易解決的問題化為一個較為熟悉或簡單問題的方法。等效法是物理研究中常用的思維方法之一，在高中物理中有著廣泛的應(yīng)用。例如：將電磁振蕩與機械振動進行等效類比；在驗證動量守恒實驗中用水平距離等效替代水平速度；建立等效力場代替電場與重力場；以及交流電的有效值、互成角度的力的合成，等等。

這道習(xí)題的解答，關(guān)鍵是要抓住所求的是“平均作用力”，即地面對人作用的變力的等效力。這里所求的“平均作用力”實質(zhì)上已體現(xiàn)出了等效性。因此，在此前提下，我們將“平均作用力”等效看作為恒力，才可認(rèn)為在曲腿下降h2的過程中人做勻減速運動，a=（F-mg）/m才成立。故在等效法應(yīng)用的前提下，解法二才是正確的。同時，我們發(fā)現(xiàn)，曲腿下降h2的過程中，消防員自身內(nèi)力之所以做負(fù)功，是由于質(zhì)點組中兩質(zhì)點間的距離發(fā)生了變化，而在宏觀上表現(xiàn)為地面對人的作用力F產(chǎn)生的阻礙效果，即消防員自身內(nèi)力所做的負(fù)功可等效為-Fh2 ，在此前提下由動能定理得mg（h1+h2）- Fh2 = 0，因此，在等效法應(yīng)用的前提下，這兩種解法都是正確的。而在動能定理與等效法的配套使用下，解法一顯然要簡單快捷得多。

又如：一個質(zhì)量為m的物體，從H高度自由下落，已知地對它的平均阻力為f，求它能進入地多深？

分析：既然地面對物體的等效作用力為平均阻力為f，則可利用等效法，應(yīng)用動能定理來處理。

解：整個過程物體的動能變化量為0

則由動能定理得： mg（H+h） -fh= 0

故：h= mgH /（f- mg）

可見，等效法的正確使用，不僅能使我們盡快揭示問題的物理圖景、正確建立物理模型、迅速找到問題的切入點，而且可使問題得到極大簡化。

責(zé)任編輯 羅峰endprint