例析數(shù)形結(jié)合思想的恰當(dāng)應(yīng)用

劉威

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想不僅是解決數(shù)學(xué)問題的一種策略和思想，而且也是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。本文結(jié)合自己的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，闡述了如何恰當(dāng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，從而也進(jìn)一步的提高了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化 化歸

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（c）-0101-01

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面?！皵?shù)”與“形”兩者之間并非是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系。根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，就是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面：（1）借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；（2）借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確；同時(shí)也充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想。

1 由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化

例1：如圖1所示，已知P是直線3x+4xy+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為。

分析：在同一坐標(biāo)系中畫出直線與圓，作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的面積S四邊形PACB=S△PAC+S△PBC=2S△PAC。把S四邊形PACB轉(zhuǎn)化為2倍的S△PAC。（見圖4）

解：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則|PC|=，由勾股定理及|AC|=1，得|PA|==，從而S四邊形PACB=2S△PAC=2·|PA|·|AC|=|PA|=，從而欲求S四邊形PACB最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2=（x-1）2+（y-1）2的最小值，即定點(diǎn)C（1，1）與直線上動(dòng)點(diǎn)（x，y）距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)C（1，1）到直線3x+4y+8=0的距離的平方，這個(gè)最小值d2=2=9，∴S四邊形PACB最小值==2。

從以上例題不難看出，在題設(shè)情境為圖像時(shí)，常需進(jìn)行“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，即將形所含的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)和式的表達(dá)式和關(guān)系式，然后推理求解。

2 由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化

例2：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=3（y≥0），m=，b=2x+y，求證：（1）≤m≤；（2）-2≤b≤。

分析：m可看作兩點(diǎn)（x，y）與（-3，-1）連線的斜率，b可看作直線y=-2x+b在y軸上的截距。（見圖5）

證明：（1）m可看作過半圓x2+y2=3（y≥0）上的點(diǎn)M（x，y）和定點(diǎn)A（-3，-1）的直線的斜率。

由圖2可知k1≤m≤k2（k1，k2分別為直線AM1，AM2的斜率），k1==，圓心到切線k2x-y+3k2-1=0的距離為：d==，k2=（舍去負(fù)值），∴≤m≤。

（2）b可看作斜率為-2，過半圓x2+y2=3（y≥0）上一點(diǎn)P （x，y）的直線在y軸上的截距。

由圖3可知n2≤b≤n1，P2C的方程為y=-2（x+），令x=0，y=n2=-2，∵圓心到切線P1B：2x+y+c=0的距離d==，∴c=±（舍負(fù)值），n1=，∴-2≤b≤。

在本題中，條件中的數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，反之，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想能將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用可提高解題速度，優(yōu)化解題過程。

參考文獻(xiàn)

[1] 傅夢(mèng)生.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用策略研究[J].科技咨詢導(dǎo)報(bào)，2007（11）：245.

[2] 張連延.談數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中的巧用[J].教育革新，2007（10）：55-56.