人民幣利率期權(quán)定價(jià)模型研究

張震辰

摘要：在人民幣利率市場(chǎng)化步伐不斷加快的背景下，我國(guó)應(yīng)借鑒國(guó)際經(jīng)驗(yàn)，積極推動(dòng)人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品的發(fā)展。本文介紹了Hull-White短期利率模型在利率期權(quán)定價(jià)中的運(yùn)用，對(duì)利率模型參數(shù)校正這一實(shí)施中的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行了舉例說(shuō)明，并運(yùn)用解析公式、三叉樹(shù)模擬分別計(jì)算了利率期權(quán)的價(jià)格，以期為國(guó)內(nèi)市場(chǎng)提供相關(guān)參考。

關(guān)鍵詞：利率市場(chǎng)化 利率期權(quán)定價(jià) Hull-White利率模型 參數(shù)校正

近年來(lái)，我國(guó)利率市場(chǎng)化進(jìn)程有所提速，金融機(jī)構(gòu)貸款利率管制全面放開(kāi)，貸款基礎(chǔ)利率報(bào)價(jià)和發(fā)布機(jī)制正式運(yùn)行，同業(yè)存單在銀行間市場(chǎng)成功發(fā)行。2014年兩會(huì)期間，人民銀行行長(zhǎng)周小川表示，存款保險(xiǎn)制度有望在年內(nèi)推出，而人民幣存款利率的放開(kāi)很可能在最近一兩年就能夠?qū)崿F(xiàn)。

根據(jù)國(guó)際經(jīng)驗(yàn)，利率市場(chǎng)化會(huì)大幅增加利率的波動(dòng)幅度，從而推進(jìn)利率期權(quán)的發(fā)展，因?yàn)槔势跈?quán)是最能反映利率市場(chǎng)未來(lái)不確定性的工具，其隱含的波幅率是利率即期、利率遠(yuǎn)期和利率期貨所難以反映的。所以，在人民幣利率市場(chǎng)化步伐不斷加快的背景下，應(yīng)借鑒國(guó)際經(jīng)驗(yàn)，積極探討人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品的發(fā)展，進(jìn)一步豐富利率衍生產(chǎn)品體系，完善市場(chǎng)功能。

我國(guó)要發(fā)展人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品，一個(gè)非常重要的前提就是必須對(duì)人民幣利率期權(quán)產(chǎn)品進(jìn)行合理準(zhǔn)確的定價(jià)，這就需要建立一個(gè)適合中國(guó)市場(chǎng)的利率期權(quán)定價(jià)模型。國(guó)內(nèi)此前對(duì)利率期權(quán)的探討主要集中于理論層面，本文將從操作實(shí)踐層面來(lái)選擇適合人民幣利率期權(quán)定價(jià)的模型，并探討其在實(shí)踐中的應(yīng)用。

國(guó)際市場(chǎng)主要利率期權(quán)模型介紹

在國(guó)際市場(chǎng)上，利率期權(quán)定價(jià)模型大致可以分為Black模型、短期利率模型（Short Rate Model）和Libor市場(chǎng)模型三大類(lèi)。這三類(lèi)模型各有特點(diǎn)、各有所長(zhǎng)，金融機(jī)構(gòu)應(yīng)根據(jù)利率期權(quán)產(chǎn)品的特點(diǎn)，加以合理的選擇和運(yùn)用。

1976年，F(xiàn)ischer Black在Black-Scholes模型基礎(chǔ)上提出了Black模型，用于對(duì)期貨期權(quán)的定價(jià)，以及對(duì)債券期權(quán)、利率期權(quán)等衍生品的定價(jià)。Black 模型的計(jì)算公式較為直觀，并相對(duì)易于操作，在歐式利率上限期權(quán)（Interest Rate Caps）1、利率下限期權(quán)（Interest Rate Floors）2和利率互換期權(quán)（Swaption）3市場(chǎng)運(yùn)用廣泛。但由于該模型未能對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的演變進(jìn)行描述，因此其使用范圍受到限制，不能對(duì)美式利率期權(quán)4及奇異類(lèi)利率期權(quán)5進(jìn)行定價(jià)。

短期利率模型是一種通過(guò)模擬未來(lái)短期利率變動(dòng)，來(lái)描述未來(lái)利率期限結(jié)構(gòu)演變的利率模型。其中，較具有代表性的短期利率模型包括Hull-White利率模型（1990）、Black–Karasinski利率模型（1991）等。短期利率模型可以對(duì)歐式利率期權(quán)、美式利率期權(quán)、奇異類(lèi)利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。不少短期利率模型有利率期權(quán)的解析定價(jià)公式，且可以結(jié)合三叉樹(shù)6和蒙特卡洛模擬方法7使用，因此較為靈活。但由于隨機(jī)因子較少、選擇波幅率期限結(jié)構(gòu)時(shí)未給使用者足夠自由度等原因，短期利率模型對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的利率期權(quán)，如多種利率期權(quán)結(jié)構(gòu)的組合、路徑依賴(lài)型利率期權(quán)和提前終止權(quán)的組合等，在定價(jià)上有所不足。

Libor市場(chǎng)模型，又稱(chēng) BGM利率模型，是由Brace、Gatarek、Musiela于1997年提出的利率模型，目前已成為市場(chǎng)上對(duì)奇異類(lèi)利率期權(quán)等結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜利率期權(quán)定價(jià)的通用模型。Libor市場(chǎng)模型在波幅率期限結(jié)構(gòu)和隨機(jī)因子的設(shè)置方面具有更大的靈活度，通過(guò)對(duì)波幅率參數(shù)的校正后，結(jié)合蒙特卡洛模擬方法，可對(duì)各類(lèi)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的奇異類(lèi)利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，因此使用范圍較廣。但Libor市場(chǎng)模型無(wú)法結(jié)合三叉樹(shù)使用，只能結(jié)合蒙特卡洛模擬方法使用，其參數(shù)較多且校正過(guò)程較為復(fù)雜，特別是對(duì)帶有提前終止權(quán)的奇異類(lèi)期權(quán)，還需對(duì)蒙特卡洛模擬進(jìn)行修正和優(yōu)化，使計(jì)算過(guò)程更為復(fù)雜和耗時(shí)。

Hull-White利率模型在我國(guó)的適用性

實(shí)踐中，我國(guó)金融機(jī)構(gòu)在使用利率模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)利率模型的特點(diǎn)、適用范圍和實(shí)施過(guò)程中的便易程度，結(jié)合人民幣利率期權(quán)在中國(guó)的發(fā)展途徑進(jìn)行選擇。

縱觀世界各國(guó)利率期權(quán)發(fā)展的歷史，大都是沿著先簡(jiǎn)單后復(fù)雜的原則來(lái)發(fā)展的。我國(guó)目前尚未開(kāi)展利率期權(quán)，筆者認(rèn)為，未來(lái)我國(guó)發(fā)展人民幣利率期權(quán)類(lèi)衍生產(chǎn)品也應(yīng)遵循上述規(guī)律，循序漸進(jìn)，先從人民幣利率上限期權(quán)、人民幣利率下限期權(quán)和人民幣利率互換期權(quán)等普通歐式人民幣利率期權(quán)著手，逐步發(fā)展美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)8及奇異類(lèi)利率期權(quán)等復(fù)雜的期權(quán)產(chǎn)品。

Hull-White利率模型是短期利率模型中最具代表性的模型之一，彭博（Bloomberg）系統(tǒng)、Numerix系統(tǒng)、Summit系統(tǒng)等國(guó)際知名的資金業(yè)務(wù)系統(tǒng)供應(yīng)商，均將Hull-White利率模型作為主要的利率模型之一，用于對(duì)利率期權(quán)類(lèi)產(chǎn)品定價(jià)。該利率模型經(jīng)過(guò)系統(tǒng)供應(yīng)商多年的實(shí)施，已獲得市場(chǎng)的認(rèn)可，目前是利率期權(quán)定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理的主要工具。

從實(shí)踐應(yīng)用來(lái)看，Black 模型的計(jì)算公式雖然較為直觀，并相對(duì)易于操作，在歐式利率上限、利率下限和利率互換期權(quán)市場(chǎng)應(yīng)用廣泛，但該模型不能對(duì)美式利率期權(quán)以及奇異類(lèi)利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，因此其使用范圍受到限制。Libor市場(chǎng)模型雖然使用范圍最為廣泛，但只能結(jié)合蒙特卡洛模擬方法使用，其參數(shù)和隨機(jī)因子較多且校正過(guò)程復(fù)雜，定價(jià)過(guò)程較為復(fù)雜和耗時(shí)，若使用在普通利率期權(quán)或結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的奇異利率期權(quán)定價(jià)上，則顯得過(guò)于占用和浪費(fèi)資源。

相比之下，Hull-White利率模型的使用范圍雖不如Libor市場(chǎng)模型，但廣于Black 模型，可對(duì)普通利率期權(quán)和結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的奇異類(lèi)利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，且定價(jià)過(guò)程相對(duì)Libor市場(chǎng)模型較為簡(jiǎn)捷和省時(shí)。具體來(lái)看，對(duì)于普通利率期權(quán)，可根據(jù)Hull-White利率模型下有關(guān)利率期權(quán)的解析公式進(jìn)行定價(jià)；對(duì)于提前終止型利率期權(quán)，可根據(jù)Hull-White利率模型結(jié)合三叉樹(shù)方法進(jìn)行定價(jià)；對(duì)于路徑依賴(lài)性利率期權(quán)，可根據(jù)Hull-White利率模型結(jié)合蒙特卡洛模擬方法進(jìn)行定價(jià)。

綜上，筆者認(rèn)為，Hull-White利率模型即可滿足普通利率期權(quán)的定價(jià)，又具有一定的前瞻性。因此，至少在人民幣利率期權(quán)市場(chǎng)發(fā)展初期，Hull-White利率模型將更適合中國(guó)市場(chǎng)使用。

Hull-White利率模型在利率期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

（一）Hull-White利率模型公式

1990年，Hull White在Vasicek模型的基礎(chǔ)上建立了一種能夠與當(dāng)前利率期限結(jié)構(gòu)相匹配的短期利率模型，被稱(chēng)為Hull-White利率模型。其模型具體如下：

（1）

其中，為短期瞬時(shí)利率；和為正常數(shù)；，為當(dāng)前市場(chǎng)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率；為布朗運(yùn)動(dòng)。

（二）Hull-White利率模型中的利率上限期權(quán)解析公式

在Hull-White利率模型中，利率上限期權(quán)的定價(jià)公式如下：

（2）

其中，為名義本金；為執(zhí)行價(jià)格；為定價(jià)日；為標(biāo)的利率的重置時(shí)間，為到期日；為零息債券價(jià)格；，和為正常數(shù)，；；；是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù)。

（三）Hull-White利率模型在利率上限期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

下面，筆者以美元利率上限期權(quán)定價(jià)為例，對(duì)Hull White利率模型在實(shí)踐中的應(yīng)用進(jìn)行介紹，過(guò)程包含對(duì)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的采集、參數(shù)的校正（Calibration）等實(shí)踐應(yīng)用中的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)。

1.市場(chǎng)數(shù)據(jù)的采集

對(duì)利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的前提條件是獲取波幅率、零息利率等市場(chǎng)數(shù)據(jù)。

首先，選取美元利率上限期權(quán)市場(chǎng)隱含波幅率，如2014年3月24日，美元利率上限期權(quán)市場(chǎng)隱含波幅率如圖1所示。

圖1 美元利率上限期權(quán)市場(chǎng)隱含波幅率

接著，選取美元市場(chǎng)利率價(jià)格。當(dāng)日，美元市場(chǎng)利率及由市場(chǎng)利率生成的零息利率如表1所示。

表1 美元市場(chǎng)收益率曲線數(shù)據(jù)（單位：%）

到期日 市場(chǎng)利率 零息利率

06/26/2014 0.23285 0.23285

07/16/2014 0.242 0.24474

08/20/2014 0.245 0.24547

09/17/2014 0.26 0.25283

10/15/2014 0.259 0.25376

11/19/2014 0.274 0.25875

12/17/2014 0.288 0.2661

03/18/2015 0.356 0.28937

06/17/2015 0.488 0.33172

09/16/2015 0.69 0.39454

12/16/2015 0.932 0.47413

03/16/2016 1.202 0.56817

06/15/2016 1.498 0.6756

09/21/2016 1.787 0.7989

12/21/2016 2.067 0.91702

03/15/2017 2.326 1.02794

06/21/2017 2.539 1.157

03/26/2018 1.46841 1.48504

03/26/2019 1.83513 1.86604

03/26/2020 2.14135 2.18915

03/26/2021 2.3849 2.44977

03/28/2022 2.58126 2.66263

03/27/2023 2.7414 2.83849

03/26/2024 2.87602 2.98823

2.參數(shù)的校正

模型參數(shù)的校正是利率模型在實(shí)踐應(yīng)用中重要的難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)。以Hull-White利率模型為例，需要對(duì)參數(shù)和進(jìn)行校正，即選取合適的和，使得模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場(chǎng)價(jià)格間的差異最小化。

一個(gè)名義本金為1000美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的市場(chǎng)隱含波幅率為50.70%（見(jiàn)圖1），結(jié)合市場(chǎng)零息利率（見(jiàn)表1）構(gòu)建的收益率曲線，通過(guò)Black模型可以計(jì)算出該利率上限期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。接下來(lái)，需選取合適的和，結(jié)合市場(chǎng)零息利率構(gòu)建的收益率曲線，運(yùn)用Hull-White利率模型下對(duì)于利率上限期權(quán)的解析公式[見(jiàn)公式（2）]計(jì)算該利率上限期權(quán)的價(jià)格，使得模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場(chǎng)價(jià)格間的差異最小化。

由于利率上限期權(quán)由一系列利率期權(quán)元構(gòu)成，因此，筆者將估算參數(shù)和的準(zhǔn)則定為非線性最小二乘法，即選取合適的和，使得模型計(jì)算的利率期權(quán)元與市場(chǎng)利率期權(quán)元間差異的平方和最小化，具體如下所示：

（3）

其中，為運(yùn)用Hull-White利率模型計(jì)算的利率期權(quán)元價(jià)格，為利率期權(quán)元的市場(chǎng)價(jià)格。

接下來(lái)，運(yùn)用復(fù)雜的優(yōu)化算法9來(lái)求解公式（3）中的參數(shù)、。筆者選取、作為模型參數(shù)的預(yù)估值，由此可計(jì)算出公式（3）的值，并在此基礎(chǔ)上，通過(guò)不斷調(diào)整、的值來(lái)獲取公式（3）的最小值。在經(jīng)過(guò)計(jì)算模擬和逐次迭代后，當(dāng)、時(shí)，公式（3）獲得最小值，Hull-White利率模型的校正效果較為理想，模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格間的差異最小化，如表2、圖2所示。

表2 利率上限期權(quán)元校正情況表（單位：美元）

到期日 利率期權(quán)元市場(chǎng)價(jià)格 利率期權(quán)元校正價(jià)格

2014年9月 0.0000 0.0016

2014年12月 0.0000 0.0221

2015年3月 0.0001 0.0723

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權(quán)元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權(quán)定價(jià)

在完成參數(shù)的校正后，接下來(lái)對(duì)一個(gè)2014年3月24日起息、名義本金為1000萬(wàn)美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。

首先選取市場(chǎng)波幅率報(bào)價(jià)50.70%，運(yùn)用Black 模型計(jì)算利率期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。經(jīng)計(jì)算后，利率上限期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格為43.85萬(wàn)美元（見(jiàn)表3）。

表3 利率上限期權(quán)定價(jià)情況

市場(chǎng)價(jià)格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹(shù)模擬

價(jià)格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運(yùn)用Hull-White利率模型來(lái)對(duì)利率上限期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在Hull-White利率模型下，解析公式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.05萬(wàn)美元，運(yùn)用三叉樹(shù)模擬方式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.06萬(wàn)美元，兩者間的計(jì)算結(jié)果非常接近。

將Hull-White利率模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過(guò)0.48%，顯示利率模型的定價(jià)效果良好。

（四）對(duì)人民幣利率期權(quán)的借鑒意義

隨著人民幣利率市場(chǎng)化步伐的加快，預(yù)計(jì)利率期權(quán)將有望在近期推出，市場(chǎng)流動(dòng)性將不斷加強(qiáng)，人民幣利率期權(quán)的市場(chǎng)隱含波幅率也會(huì)自然產(chǎn)生。屆時(shí)，即可在選取人民幣市場(chǎng)數(shù)據(jù)并對(duì)參數(shù)進(jìn)行校正后，運(yùn)用Hull-White利率模型來(lái)對(duì)人民幣利率上限期權(quán)、利率下限期權(quán)、利率互換期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三叉樹(shù)、蒙特卡洛模擬等方法來(lái)對(duì)人民幣美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)及奇異利率期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)。

注：

1.利率上限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率上限水平，期權(quán)賣(mài)方向買(mǎi)方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場(chǎng)參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買(mǎi)方支付市場(chǎng)利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場(chǎng)利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣(mài)方無(wú)任何支付義務(wù)。

2.利率下限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率下限水平，期權(quán)賣(mài)方向買(mǎi)方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場(chǎng)參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買(mǎi)方支付市場(chǎng)利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場(chǎng)利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣(mài)方無(wú)任何支付義務(wù)。

3.利率互換期權(quán)是基于利率互換的期權(quán)，期權(quán)買(mǎi)方在支付期權(quán)費(fèi)后，獲得在未來(lái)某個(gè)確定時(shí)間與期權(quán)賣(mài)方以事先確定的價(jià)格進(jìn)行利率互換的權(quán)利。

4.美式利率期權(quán)是指在成交后，買(mǎi)方在期權(quán)有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權(quán)。

5.奇異類(lèi)利率期權(quán)是指比常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式利率期權(quán)）更為復(fù)雜的利率期權(quán)。

6.三叉樹(shù)是一種基于格狀的計(jì)算模型，被用于金融數(shù)學(xué)中期權(quán)的定價(jià)。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)，通過(guò)使用隨機(jī)數(shù)來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的計(jì)算方法。

8.百慕大利率期權(quán)是指在成交后，買(mǎi)方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時(shí)間行權(quán)的利率期權(quán)。

9. 關(guān)于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場(chǎng)業(yè)務(wù)中心

責(zé)任編輯：牛玉銳 劉穎

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權(quán)元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權(quán)定價(jià)

在完成參數(shù)的校正后，接下來(lái)對(duì)一個(gè)2014年3月24日起息、名義本金為1000萬(wàn)美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。

首先選取市場(chǎng)波幅率報(bào)價(jià)50.70%，運(yùn)用Black 模型計(jì)算利率期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。經(jīng)計(jì)算后，利率上限期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格為43.85萬(wàn)美元（見(jiàn)表3）。

表3 利率上限期權(quán)定價(jià)情況

市場(chǎng)價(jià)格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹(shù)模擬

價(jià)格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運(yùn)用Hull-White利率模型來(lái)對(duì)利率上限期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在Hull-White利率模型下，解析公式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.05萬(wàn)美元，運(yùn)用三叉樹(shù)模擬方式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.06萬(wàn)美元，兩者間的計(jì)算結(jié)果非常接近。

將Hull-White利率模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過(guò)0.48%，顯示利率模型的定價(jià)效果良好。

（四）對(duì)人民幣利率期權(quán)的借鑒意義

隨著人民幣利率市場(chǎng)化步伐的加快，預(yù)計(jì)利率期權(quán)將有望在近期推出，市場(chǎng)流動(dòng)性將不斷加強(qiáng)，人民幣利率期權(quán)的市場(chǎng)隱含波幅率也會(huì)自然產(chǎn)生。屆時(shí)，即可在選取人民幣市場(chǎng)數(shù)據(jù)并對(duì)參數(shù)進(jìn)行校正后，運(yùn)用Hull-White利率模型來(lái)對(duì)人民幣利率上限期權(quán)、利率下限期權(quán)、利率互換期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三叉樹(shù)、蒙特卡洛模擬等方法來(lái)對(duì)人民幣美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)及奇異利率期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)。

注：

1.利率上限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率上限水平，期權(quán)賣(mài)方向買(mǎi)方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場(chǎng)參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買(mǎi)方支付市場(chǎng)利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場(chǎng)利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣(mài)方無(wú)任何支付義務(wù)。

2.利率下限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率下限水平，期權(quán)賣(mài)方向買(mǎi)方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場(chǎng)參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買(mǎi)方支付市場(chǎng)利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場(chǎng)利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣(mài)方無(wú)任何支付義務(wù)。

3.利率互換期權(quán)是基于利率互換的期權(quán)，期權(quán)買(mǎi)方在支付期權(quán)費(fèi)后，獲得在未來(lái)某個(gè)確定時(shí)間與期權(quán)賣(mài)方以事先確定的價(jià)格進(jìn)行利率互換的權(quán)利。

4.美式利率期權(quán)是指在成交后，買(mǎi)方在期權(quán)有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權(quán)。

5.奇異類(lèi)利率期權(quán)是指比常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式利率期權(quán)）更為復(fù)雜的利率期權(quán)。

6.三叉樹(shù)是一種基于格狀的計(jì)算模型，被用于金融數(shù)學(xué)中期權(quán)的定價(jià)。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)，通過(guò)使用隨機(jī)數(shù)來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的計(jì)算方法。

8.百慕大利率期權(quán)是指在成交后，買(mǎi)方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時(shí)間行權(quán)的利率期權(quán)。

9. 關(guān)于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場(chǎng)業(yè)務(wù)中心

責(zé)任編輯：牛玉銳 劉穎

2015年6月 0.0067 0.1737

2015年9月 0.0688 0.3422

2015年12月 0.255 0.5926

2016年3月 0.6113 0.9238

2016年6月 1.1355 1.3794

2016年9月 1.6832 1.8295

2016年12月 2.2187 2.2958

2017年3月 2.7425 2.7393

2017年6月 3.3206 3.2552

2017年9月 3.4275 3.3445

2017年12月 3.9774 3.8406

2018年3月 4.3522 4.1712

2018年6月 4.4727 4.2823

2018年9月 4.7649 4.5392

2018年12月 5.2694 5.0024

2019年3月 5.539 5.2434

圖2 利率上限期權(quán)元校正情況圖（單位：美元）

3.利率上限期權(quán)定價(jià)

在完成參數(shù)的校正后，接下來(lái)對(duì)一個(gè)2014年3月24日起息、名義本金為1000萬(wàn)美元、期限5年、執(zhí)行價(jià)格為1.5%的利率上限期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。

首先選取市場(chǎng)波幅率報(bào)價(jià)50.70%，運(yùn)用Black 模型計(jì)算利率期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格。經(jīng)計(jì)算后，利率上限期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格為43.85萬(wàn)美元（見(jiàn)表3）。

表3 利率上限期權(quán)定價(jià)情況

市場(chǎng)價(jià)格（Black模型） Hull-White模型解析公式 Hull-White模型三叉樹(shù)模擬

價(jià)格（美元） 438456.77 440509.19 440566.61

誤差（%） - 0.47 0.48

再運(yùn)用Hull-White利率模型來(lái)對(duì)利率上限期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。在Hull-White利率模型下，解析公式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.05萬(wàn)美元，運(yùn)用三叉樹(shù)模擬方式計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格為44.06萬(wàn)美元，兩者間的計(jì)算結(jié)果非常接近。

將Hull-White利率模型計(jì)算的利率上限期權(quán)價(jià)格與其市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)二者十分接近，誤差不超過(guò)0.48%，顯示利率模型的定價(jià)效果良好。

（四）對(duì)人民幣利率期權(quán)的借鑒意義

隨著人民幣利率市場(chǎng)化步伐的加快，預(yù)計(jì)利率期權(quán)將有望在近期推出，市場(chǎng)流動(dòng)性將不斷加強(qiáng)，人民幣利率期權(quán)的市場(chǎng)隱含波幅率也會(huì)自然產(chǎn)生。屆時(shí)，即可在選取人民幣市場(chǎng)數(shù)據(jù)并對(duì)參數(shù)進(jìn)行校正后，運(yùn)用Hull-White利率模型來(lái)對(duì)人民幣利率上限期權(quán)、利率下限期權(quán)、利率互換期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三叉樹(shù)、蒙特卡洛模擬等方法來(lái)對(duì)人民幣美式利率期權(quán)、百慕大利率期權(quán)及奇異利率期權(quán)等進(jìn)行定價(jià)。

注：

1.利率上限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率上限水平，期權(quán)賣(mài)方向買(mǎi)方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場(chǎng)參考利率高于協(xié)定的利率上限，則向買(mǎi)方支付市場(chǎng)利率高于協(xié)定利率上限的差額部分；如果市場(chǎng)利率低于或等于協(xié)定的利率上限，賣(mài)方無(wú)任何支付義務(wù)。

2.利率下限期權(quán)是指交易雙方確定一個(gè)利率下限水平，期權(quán)賣(mài)方向買(mǎi)方承諾，在規(guī)定期限內(nèi)，如果市場(chǎng)參考利率低于協(xié)定的利率下限，則向買(mǎi)方支付市場(chǎng)利率低于協(xié)定利率下限的差額部分；如果市場(chǎng)利率高于或等于協(xié)定的利率下限，賣(mài)方無(wú)任何支付義務(wù)。

3.利率互換期權(quán)是基于利率互換的期權(quán)，期權(quán)買(mǎi)方在支付期權(quán)費(fèi)后，獲得在未來(lái)某個(gè)確定時(shí)間與期權(quán)賣(mài)方以事先確定的價(jià)格進(jìn)行利率互換的權(quán)利。

4.美式利率期權(quán)是指在成交后，買(mǎi)方在期權(quán)有效期內(nèi)任何一天都可執(zhí)行的利率期權(quán)。

5.奇異類(lèi)利率期權(quán)是指比常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)的歐式或美式利率期權(quán)）更為復(fù)雜的利率期權(quán)。

6.三叉樹(shù)是一種基于格狀的計(jì)算模型，被用于金融數(shù)學(xué)中期權(quán)的定價(jià)。

7.蒙特卡洛模擬方法是一種以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)，通過(guò)使用隨機(jī)數(shù)來(lái)解決很多計(jì)算問(wèn)題的計(jì)算方法。

8.百慕大利率期權(quán)是指在成交后，買(mǎi)方可以在到期日前所規(guī)定的一系列時(shí)間行權(quán)的利率期權(quán)。

9. 關(guān)于非線性最小二乘法優(yōu)化算法的具體內(nèi)容，讀者可在有關(guān)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中查閱，筆者在此不再贅述

作者單位：交通銀行總行金融市場(chǎng)業(yè)務(wù)中心

責(zé)任編輯：牛玉銳 劉穎