重視常見錯題的分析提高學(xué)生解題才能

張李斌 呂玉娟

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的基本區(qū)別在于：學(xué)生學(xué)習(xí)形式中的抽象思維開始由從經(jīng)驗型占主導(dǎo)向理論型占主導(dǎo)的轉(zhuǎn)變。教師在教學(xué)過程中除了要傳授科目內(nèi)容的“重點”的“難點”外，還需要向?qū)W生傳授解題應(yīng)該必須的技能、技巧；同時，還應(yīng)該在智力、能力、情感、價值觀等方面感染學(xué)生。因而，教師必須重視學(xué)生每次的作業(yè)質(zhì)量，構(gòu)建學(xué)生個人檔案，進(jìn)行整理和歸納，做到“目中有人”“心中有人”，提高學(xué)生的解題才能。筆者通過連續(xù)幾年來認(rèn)真觀察、分析學(xué)生解題過程的各類差錯，總結(jié)出以下幾種常見的情況。

一、目中無題

有些學(xué)生在解題過程中往往馬虎大意，在并未看清、看透題目的時候，憑空依照經(jīng)驗主義動筆亂做，往往事倍功半，甚至勞而無功。究其原因，并非該錯之題，卻總是失分。

例1：設(shè)M={x|y=2x，x∈R}，N={x|y=x2，x∈R}，則（ ）。

A.M∩N={2，4} B.M∩N={（2，4）}，（4，16）}

C.M=N D.M？埭N

析：本題考查集合間關(guān)系，屬于基本題，雖然簡單，但是總存在部分學(xué)生會誤解為元素是兩函數(shù)圖像的兩個相交點，導(dǎo)致了錯誤。

二、概念不清

題目源于書本中定義、定理、性質(zhì)。各類題目是由基本知識點在各個方面的具體考查。因而，學(xué)生解題應(yīng)該從考查的本源出發(fā)，來鞏固書本知識點，多做題目，僅僅是從多個方面來了解學(xué)科重難點，提高自身解題的辨別能力和技巧。有時，盲目解題，會誤入只求數(shù)量、不求質(zhì)量的情形。因此，學(xué)生在解題過程中要不斷分析、總結(jié)，要學(xué)會思考，即要知其所以然，想清楚解題過程中的審題、分析、解答的各個思維過程。然后還應(yīng)該理解題目涉及的知識點、思想方法，能夠講出題目的結(jié)構(gòu)、難點和易錯點，說出解題方法的解題規(guī)律，甚至能夠說出題目的變式和情境等。

例2：①函數(shù)y=f（x）的圖像與直線x=a有多少個公共點。

②已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，值域為[a，b]，求y=f（x-1）的值域。

析：本題考查函數(shù)的定義，如果學(xué)生對定義的要點不熟悉領(lǐng)會，就往往會不知所措。

三、缺乏整體思維

某些題目，從小處去看似乎條件或結(jié)論很冗繁，難于下手，但從大處觀察卻不難發(fā)現(xiàn)其隱匿一個整體的“核”，抓住此核，即可化難為易。因而，這類題目必須在解題前認(rèn)真思索，總結(jié)歸納。

例3：數(shù)列為{an}正項等比數(shù)列，前n項和Sn=80，其中數(shù)值最大的項為54，前2n項和S2n=6560，求此數(shù)列的首項a1和公比q。

解：依題意：S2n>2Sn，所以q>1。

■=80……（1） ■=6560……（2） ，得：■=82，即：qn=81。

由題意，q>1，得第n項最大，即：an=54。

因而，54q=81a1。

將qn=81代入（1）得：a1=q-1……（3）

得：a1=2，q=3。

析：本題解方程組時，應(yīng)把看作整體，從而取取得化繁為易的目的。

例4：設(shè)函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，在（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)，解不等式f（a-1）>f（2a-1）。

解：由題意：（a-1）-1>（2a+1）-1。

兩邊平方化簡： 3a2+4a-4<0，得解集為（-2，■）。

析：本題意逐一分析a-1與2a-1與x=1的位置，往往顯得煩瑣，利用拋物線性質(zhì)，開口向上的拋物線圖像中，離開對稱軸距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，因而將（a-1）-1與（2a+1）-1整體思考，便達(dá)到了化繁為簡的目的。整體性解題思維的運用相當(dāng)廣泛：解析幾何中用待定系數(shù)法求軌跡方程的角度把握，代數(shù)變形中某些“整體變量”用“整體代入”或“整體換元”，立體幾何中求點面距離用“設(shè)而不做”，不勝枚舉。

四、判斷欠透徹

題目往往隱含某些條件，在解題過程中，有些學(xué)生缺乏發(fā)現(xiàn)隱含條件的眼光，造成解題得不到滿分。

例5：已知0<？琢<？茁<？仔，-■，求sin（？琢+？茁）的值。

解：∵cos？琢=■∈（0，■），∴■<？琢<■。

∵sin？茁=■∈（■，■），∴■<？茁<■或■<？茁<■。

∵0<？琢<？茁<？仔， ∴■<？琢<■<■<？茁<■。

由題意：sin？琢=■， cos？茁=-■。

因而：sin（？琢+？茁）=sin？琢·cos？茁+cos？琢·cos？茁=■·（-■）+■·■=-■。

析：本題的難點在于判斷的位置，必須放在相同的單調(diào)函數(shù)中進(jìn)行判斷與選擇。

例6：已知x1，x2是方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0，k∈R的兩個實根，求x12+x22的最大值。

解：由題意：x1+x2=k-2，x1·x2=k2+3k+5，則：f（x）=x12+x22=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-k2-10k-6=-（k+5）2+19。

∵△=（k-2）2-4（k2+3k+5）？厶0，

∴-4？弁k？弁-■。

因此，f（x）=-（k+5）2+19，k∈[-4，■]。

由拋物線圖像，單調(diào)性得：f（x）max=f（-4）=18。

析：本題考查根與系數(shù)關(guān)系，一元二次方程存在根的充要條件，學(xué)生往往忽略△？厶0時k的范圍。

總之，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，要求教師持之以恒地觀察、引導(dǎo)學(xué)生探索解題技巧，總結(jié)題目類型。通過對學(xué)生錯題的分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的各項弱點充分暴露出來，教師應(yīng)進(jìn)一步地全盤考慮班級學(xué)生的特點，優(yōu)選練習(xí)，深入挖掘?qū)W生潛在的智力，從而提高學(xué)生的解題才能。

（江蘇省宜興市陽羨高級中學(xué)）