含規(guī)?；瘍?chǔ)能系統(tǒng)的最優(yōu)潮流模型與求解方法

高 戈，胡澤春

(清華大學(xué)電機(jī)系，北京 100084)

0 引言

近年來，隨著儲(chǔ)能技術(shù)的不斷進(jìn)步，越來越多的新型儲(chǔ)能系統(tǒng)（Energy Storage System, ESS）朝著實(shí)用化的方向發(fā)展[1-7]。大規(guī)模新能源發(fā)電并網(wǎng)的挑戰(zhàn)、分布式電源的增長(zhǎng)、輸電走廊的緊缺等諸多因素促進(jìn)了新型儲(chǔ)能在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用[8-12]。目前兆瓦級(jí)以上的大規(guī)模儲(chǔ)能技術(shù)以抽水蓄能、電池儲(chǔ)能、壓縮空氣儲(chǔ)能等形式為主。

儲(chǔ)能系統(tǒng)接入電力系統(tǒng)運(yùn)行后，其運(yùn)行優(yōu)化是需要解決的關(guān)鍵問題。最優(yōu)潮流（Optimal Power Flow, OPF）是解決電力系統(tǒng)安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的重要手段， 繼20世紀(jì)60年代初被提出以來[13]，一直受到廣泛關(guān)注。OPF問題屬于復(fù)雜的非線性非凸優(yōu)化問題，尋求其全局最優(yōu)解通常是一個(gè)NP困難問題[14]。近年來，如何高效求解OPF問題取得了一定進(jìn)展，被提出的求解方法主要包括非線性規(guī)劃算法[13]、智能算法[15]等。在非線性規(guī)劃算法中，有些需要可行解作為起始點(diǎn)（如內(nèi)點(diǎn)法），有些只有迭代收斂時(shí)才能得到可行解[16]。智能算法的全局最優(yōu)性無法保證，計(jì)算費(fèi)時(shí)，尤其不適用于大規(guī)模系統(tǒng)。文獻(xiàn)[14,17]中通過對(duì)OPF模型的數(shù)學(xué)變換，得到了其對(duì)偶問題，且可以證明在一定條件下，該對(duì)偶問題與原問題的對(duì)偶間隙為零。此對(duì)偶問題是一個(gè)凸的半正定規(guī)劃，因而可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求得全局最優(yōu)解。

儲(chǔ)能系統(tǒng)可與電網(wǎng)進(jìn)行雙向電能交互，但存儲(chǔ)能量受限，需要考慮多時(shí)段耦合的能量約束，因而在OPF問題中需要進(jìn)行特殊處理，在常規(guī)OPF模型的基礎(chǔ)上考慮多個(gè)負(fù)荷斷面的優(yōu)化，增大了問題的規(guī)模和求解難度。文獻(xiàn)[18]中建立了考慮儲(chǔ)能參與的最優(yōu)有功潮流模型，通過忽略無功潮流，使得OPF成為凸優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[19]提出了含有風(fēng)電和儲(chǔ)能接入的滾動(dòng)最優(yōu)潮流模型，并對(duì)風(fēng)電和儲(chǔ)能的容量配置和位置分布進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)[20]中建立了微網(wǎng)中考慮儲(chǔ)能的最優(yōu)潮流模型，分別考慮了三相平衡和三相不平衡的情況。文獻(xiàn)[21]在文獻(xiàn)[14,17]的基礎(chǔ)上建立了考慮儲(chǔ)能系統(tǒng)的OPF模型，并證明了在引入儲(chǔ)能之后仍能滿足對(duì)偶間隙為零的條件。但文中所建立的儲(chǔ)能系統(tǒng)模型沒有考慮其運(yùn)行效率，也沒有考慮儲(chǔ)能系統(tǒng)在一個(gè)調(diào)度周期內(nèi)的能量平衡。此外，對(duì)于算法的準(zhǔn)確性，文中沒有給出與其他算法的比較驗(yàn)證。

本文首先探討了含儲(chǔ)能系統(tǒng)最優(yōu)潮流的滾動(dòng)優(yōu)化思路，在建立儲(chǔ)能系統(tǒng)細(xì)化模型的基礎(chǔ)上，提出了考慮規(guī)模化儲(chǔ)能系統(tǒng)的多時(shí)段最優(yōu)潮流模型，并對(duì)剩余能量約束進(jìn)行了松弛與自適應(yīng)調(diào)整。通過等效變換與Lagrange松弛推導(dǎo)出其凸優(yōu)化形式的對(duì)偶問題，進(jìn)而求得原問題的最優(yōu)解。隨后對(duì)儲(chǔ)能系統(tǒng)單點(diǎn)接入和多點(diǎn)接入的算例進(jìn)行了測(cè)試，并與內(nèi)點(diǎn)法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了所提模型和算法的有效性。

1 考慮儲(chǔ)能的最優(yōu)潮流模型

1.1 含儲(chǔ)能系統(tǒng)最優(yōu)潮流的滾動(dòng)優(yōu)化

由于儲(chǔ)能系統(tǒng)的能量受限，產(chǎn)生時(shí)段耦合約束，因此需要在經(jīng)典最優(yōu)潮流的基礎(chǔ)上考慮多個(gè)負(fù)荷斷面的優(yōu)化。由于電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的不確定性，應(yīng)該對(duì)儲(chǔ)能系統(tǒng)的功率進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化和調(diào)整。圖1示意了滾動(dòng)優(yōu)化的流程。從初始時(shí)刻t=T0開始，按固定的時(shí)間間隔Δt啟動(dòng)優(yōu)化計(jì)算，求解t～Tf時(shí)間內(nèi)的OPF，按照最新的優(yōu)化結(jié)果安排t～t+Δt時(shí)間內(nèi)機(jī)組和儲(chǔ)能系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，并根據(jù)電網(wǎng)運(yùn)行條件修正模型參數(shù)，等待至t+Δt的時(shí)刻執(zhí)行下一次優(yōu)化計(jì)算，直至到達(dá)末時(shí)刻t=Tf后進(jìn)入下一優(yōu)化周期。

圖1 含儲(chǔ)能系統(tǒng)最優(yōu)潮流的滾動(dòng)優(yōu)化流程示意圖Fig.1 Rolling optimization process of OPF considering ESS

1.2 儲(chǔ)能系統(tǒng)的多時(shí)段建模

表1給出了儲(chǔ)能系統(tǒng)的多時(shí)段運(yùn)行參數(shù)和決策變量，其中下標(biāo)k表示儲(chǔ)能系統(tǒng)的編號(hào)。

表1 儲(chǔ)能系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)與變量Table 1 Operation parameters and variables of ESS

考慮全天從1～T+1時(shí)刻，共T個(gè)時(shí)段的運(yùn)行情況，其中時(shí)段t對(duì)應(yīng)時(shí)刻t～t+1。儲(chǔ)能系統(tǒng)的功率和存儲(chǔ)能量需要滿足以下約束：

儲(chǔ)能系統(tǒng)存儲(chǔ)的能量bk(t)滿足下面的一階差分方程：

初始條件中給出了儲(chǔ)能系統(tǒng)在起始時(shí)刻t=0的存儲(chǔ)能量，即約束式(6)。為保證儲(chǔ)能系統(tǒng)循環(huán)運(yùn)行，全天運(yùn)行結(jié)束后的剩余存儲(chǔ)能量應(yīng)盡可能地回到初始值。為使調(diào)度更加靈活，本文將剩余存儲(chǔ)能量松弛至一定的區(qū)間范圍內(nèi)，如約束式(7)、式(8)所示。

1.3 含儲(chǔ)能系統(tǒng)的最優(yōu)潮流模型

考慮一個(gè)包含n個(gè)節(jié)點(diǎn)，m臺(tái)機(jī)組(m≤n)，ne個(gè)儲(chǔ)能系統(tǒng)(ne≤n)的電力系統(tǒng)。定義全部節(jié)點(diǎn)集合N:={1,L,n}Fk，發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)集合G:={1,L,m}，含儲(chǔ)能的節(jié)點(diǎn)集合E:={1,L,ne}。該電力網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣用Y∈Cn×n表示，相關(guān)運(yùn)行參數(shù)與變量如表2所示。

表2 電力系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)與變量Table 2 Operation parameters and variables of power system

考慮機(jī)組全天的運(yùn)行情況，時(shí)間的定義與1.2中一致。在發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)l∈G，發(fā)電機(jī)的有功和無功出力需滿足約束：

對(duì)于節(jié)點(diǎn)k∈N，系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)潮流約束可以表示為

對(duì)位于節(jié)點(diǎn)k∈E處的儲(chǔ)能系統(tǒng)而言，需要滿足約束式(1)～式(7)，對(duì)于不含儲(chǔ)能系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)k∈NE，約定均為零。由以上分析可以得到考慮儲(chǔ)能的最優(yōu)潮流模型如式（13）。

2 求解方法

由于約束式(11)和約束式(12)的非凸性，最優(yōu)潮流問題式(13)是一個(gè)非凸優(yōu)化問題。本文將通過如下方式對(duì)其進(jìn)行求解：對(duì)原問題式(13)進(jìn)行凸化松弛，并求解其松弛之后的Lagrange對(duì)偶問題?？梢宰C明，在一定條件下，Lagrange對(duì)偶問題與原問題式(13)的對(duì)偶間隙為零。

2.1 含儲(chǔ)能最優(yōu)潮流的等價(jià)變換

首先定義如下變量：

其中，ek(k=1,L,n)表示n維空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基?；陬愃朴谖墨I(xiàn)[17]附錄中的推導(dǎo)，可以將問題(13)等效變換成如下形式：

式(15)～式(17)，式(19)～式(22)，式(26)～式(28)中t=1,L,T，式(18)中t=1,L,T+1。其中，約束式(26)是fl((t))≤αl(t)的等效，約束式(27)、式(28)是W(t):=U(t)U(t )T的等效[17]。變換后的問題式(14)～式(28)的目標(biāo)函數(shù)呈線性，約束條件中除式(28)以外均為凸約束。

2.2 Lagrange松弛與對(duì)偶問題

如果松弛掉關(guān)于矩陣秩的約束(28)，那么式(14)～式(27)所描述的問題是一個(gè)半正定規(guī)劃問題[17]。通過引入相應(yīng)約束的Lagrange乘子并進(jìn)行一定的化簡(jiǎn)[1]，可以形成該半正定規(guī)劃的Lagrange對(duì)偶問題：

s.t.

其中，

約束式(30)～式(33)及式(38)中t=1,L,T，約束式(34)中t=2,L,T。其決策變量

以及σ,β即為約束式(15)～式(27)的Lagrange乘子[21]?？梢酝ㄟ^與文獻(xiàn)[17,21]中類似的步驟證明，在滿足條件1或條件2的情況下，對(duì)偶問題與原OPF問題式(13)互為對(duì)偶問題，且對(duì)偶間隙為零。

條件1（充要條件）：存在對(duì)偶問題的最優(yōu)解，使得對(duì)t=1,L,T，最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的Aopt(t)有2重零特征根。

條件2（充分條件）：由系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的實(shí)部Re{Y}生成的圖是強(qiáng)連接的。

對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，線路的阻抗值大于零，因此充分條件2是容易滿足的，進(jìn)而充要條件1也易于滿足。

2.3 原問題的最優(yōu)解

當(dāng)對(duì)偶問題式(29)～式(38)存在最優(yōu)解時(shí)，在求得對(duì)偶問題最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，可以按以下步驟得到原OPF問題的最優(yōu)解。

(1)對(duì)t=1,L,T，求出對(duì)偶問題最優(yōu)解(xopt(t),zopt(t),σopt(t),βopt,Δopt)對(duì)應(yīng)的半正定矩陣Aopt(t)。

(2)求得Aopt(t)的化零空間中任一非零向量則原OPF問題的節(jié)點(diǎn)電壓最優(yōu)值可表示為

其中，ζ1(t),ζ2(t )的值可以通過原OPF問題的一階KKT條件或平衡節(jié)點(diǎn)條件確定[21]。

(4)在此基礎(chǔ)上計(jì)算原OPF問題取得最優(yōu)解時(shí)的節(jié)點(diǎn)注入電流和節(jié)點(diǎn)注入功率，進(jìn)而求得其他變量的最優(yōu)值。

3 算例測(cè)試

在本部分中通過兩個(gè)算例對(duì)上述模型和算法進(jìn)行測(cè)試，算例1通過IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)模擬抽水蓄能系統(tǒng)的單點(diǎn)接入，算例2通過IEEE 57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)模擬電池儲(chǔ)能系統(tǒng)的多點(diǎn)接入。兩類儲(chǔ)能系統(tǒng)的參數(shù)在表3中給出，表3中符號(hào)的含義與表1一致。以實(shí)際系統(tǒng)歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)模擬全天24 h的負(fù)荷需求變化，系統(tǒng)功率基值選取為100 MVA。

算例測(cè)試采用以下軟件：

(1)采用Matlab中的工具包YALMIP[22]輸入對(duì)偶問題模型，調(diào)用SEDUMI優(yōu)化工具包求解；

(2)采用MATPOWER工具包的擴(kuò)展OPF功能[23-24]（內(nèi)點(diǎn)法）求解原問題，用以進(jìn)行結(jié)果對(duì)照，IEEE測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)也由此工具包中的數(shù)據(jù)文件獲得。

在MATPOWER文件中，變壓器內(nèi)阻為零的假設(shè)可能導(dǎo)致系統(tǒng)不滿足條件2。此時(shí)在相應(yīng)支路上增加一小阻抗（10-5p.u.），即可使條件2得到滿足[14]，進(jìn)而滿足條件1。

表3 兩類儲(chǔ)能系統(tǒng)參數(shù)Table 3 Parameters of two types of ESS

3.1 儲(chǔ)能系統(tǒng)的單點(diǎn)接入

以IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為基礎(chǔ)，在5號(hào)節(jié)點(diǎn)處接入抽水蓄能系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。在不松弛最末時(shí)刻剩余存儲(chǔ)能量情況下，采用本文提出的算法與內(nèi)點(diǎn)法求解得到的發(fā)電成本在表4中給出。

圖2 IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.2 IEEE 9-bus system

表4 不同算法得到的發(fā)電成本Table 4 Generation costs obtained by different methods

可以看到，采用本文提出的算法與采用內(nèi)點(diǎn)法求解得到的發(fā)電成本接近，在含儲(chǔ)能系統(tǒng)的情況下相差約為0.02%，在不含儲(chǔ)能系統(tǒng)的情況下所得結(jié)果基本相等。

圖3中給出了儲(chǔ)能系統(tǒng)參與運(yùn)行前后的機(jī)組出力變化。圖中顯示儲(chǔ)能系統(tǒng)通過在負(fù)荷高峰時(shí)段吸收有功，在負(fù)荷低谷時(shí)段釋放有功平滑了機(jī)組出力，使得能量得到了更有效的利用。

圖3 儲(chǔ)能系統(tǒng)參與運(yùn)行前后的機(jī)組出力變化Fig.3 Output of units before and after considering ESS

圖4中展示了儲(chǔ)能系統(tǒng)全天有功功率變化和能量變化，在這里有功功率大于零表示儲(chǔ)能系統(tǒng)吸收有功，有功功率小于零表示儲(chǔ)能系統(tǒng)釋放有功。不難發(fā)現(xiàn)，有功功率大于零時(shí)儲(chǔ)能系統(tǒng)的能量呈增加趨勢(shì)，反之則趨于減少。在圖4中，儲(chǔ)能系統(tǒng)全天有功功率與時(shí)間軸圍出的面積表示了儲(chǔ)能系統(tǒng)實(shí)際吸收（時(shí)間軸以上面積）與釋放（時(shí)間軸以下面積）的能量大小。經(jīng)過計(jì)算得到，儲(chǔ)能系統(tǒng)全天吸收有功236 MWh，釋放有功174 MWh，即全天有功損耗62 MWh，占吸收能量的26.3%。這部分損耗是由于儲(chǔ)能系統(tǒng)的效率小于1造成的。

圖4 儲(chǔ)能系統(tǒng)24 h有功功率和能量變化Fig.4 Active power and energy of ESS in 24 hours

圖5中顯示了滾動(dòng)優(yōu)化對(duì)儲(chǔ)能系統(tǒng)運(yùn)行安排的影響。通過滾動(dòng)優(yōu)化，在每時(shí)段的優(yōu)化計(jì)算啟動(dòng)前，目標(biāo)函數(shù)中的懲罰系數(shù)ck根據(jù)儲(chǔ)能系統(tǒng)單位吸收/釋放能量對(duì)傳統(tǒng)機(jī)組發(fā)電費(fèi)用的減少量被修正，如式(40)所示。

圖5 逐時(shí)段修正約束對(duì)運(yùn)行結(jié)果的影響Fig.5 Impact of constraints correction on result

其中：ΔC表示儲(chǔ)能系統(tǒng)的參與對(duì)傳統(tǒng)機(jī)組發(fā)電費(fèi)用的減少量；Etotal表示儲(chǔ)能系統(tǒng)吸收或釋放的總能量；α為比例系數(shù)。懲罰系數(shù)ck與儲(chǔ)能系統(tǒng)吸收/釋放能量的平均效益成反比，平均效益越高，懲罰系數(shù)越小，儲(chǔ)能系統(tǒng)的運(yùn)行越靈活；平均效益越低，懲罰系數(shù)越大，儲(chǔ)能系統(tǒng)受到的約束越嚴(yán)格。從圖中可以看到，相對(duì)于固定剩余能量約束的情況，對(duì)模型的逐時(shí)段修正使得儲(chǔ)能系統(tǒng)的能量分布區(qū)間更為集中，減少了能量存儲(chǔ)與釋放過程中的損耗，進(jìn)而提高了儲(chǔ)能的利用效率。相比于固定剩余能量約束的算法，采用滾動(dòng)優(yōu)化方法通過對(duì)模型的逐時(shí)段修正，使全天系統(tǒng)發(fā)電成本進(jìn)一步降低140美元。

3.2 儲(chǔ)能系統(tǒng)的多點(diǎn)接入

以IEEE 57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為基礎(chǔ)，在節(jié)點(diǎn)4、14、20、25、30、35、40、45、50、55接入10個(gè)電池儲(chǔ)能系統(tǒng)，總?cè)萘繛?00 MW。在不松弛最末時(shí)刻剩余存儲(chǔ)能量的情況下，采用本文提出的算法與內(nèi)點(diǎn)法求解得到的發(fā)電成本在表5中給出?？梢钥吹?，采用本文提出的算法與采用內(nèi)點(diǎn)法求解得到的發(fā)電成本接近，在含儲(chǔ)能系統(tǒng)的情況下相差約為0.01%，在不含儲(chǔ)能系統(tǒng)的情況下相差約為0.02%。在含儲(chǔ)能系統(tǒng)的情況下，電池儲(chǔ)能系統(tǒng)的全天能量變化如圖6所示，儲(chǔ)能系統(tǒng)的能量變化不僅和時(shí)間有關(guān)，也和接入的位置有關(guān)。

表5 不同算法得到的發(fā)電成本Table 5 Generation costs obtained by different methods

圖6 儲(chǔ)能系統(tǒng)24 h能量變化Fig.6 Energy of ESS in 24 hours

4 結(jié)論

本文提出了一種含儲(chǔ)能系統(tǒng)多時(shí)段最優(yōu)潮流的實(shí)施思路，在儲(chǔ)能系統(tǒng)細(xì)化模型的基礎(chǔ)上，建立了考慮規(guī)?；瘍?chǔ)能系統(tǒng)的多時(shí)段最優(yōu)潮流模型。該模型中考慮了能量存儲(chǔ)與釋放的效率，并通過對(duì)剩余能量約束松弛與逐時(shí)段修正，既保證了儲(chǔ)能系統(tǒng)的循環(huán)運(yùn)行，又提高了儲(chǔ)能的利用效率。

不同于傳統(tǒng)的最優(yōu)潮流解法，本文通過等效變換與Lagrange松弛推導(dǎo)出其對(duì)偶問題進(jìn)行求解。該對(duì)偶問題是一個(gè)凸的半正定規(guī)劃，且在一定條件下對(duì)偶間隙為零，有效提高了求解效率。

文中對(duì)儲(chǔ)能系統(tǒng)單點(diǎn)接入和多點(diǎn)接入的算例進(jìn)行了測(cè)試，并與內(nèi)點(diǎn)法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了比較，測(cè)試結(jié)果證明了所提模型和算法準(zhǔn)確有效，也驗(yàn)證了儲(chǔ)能系統(tǒng)的參與使得全天各個(gè)時(shí)段之間的潮流分布產(chǎn)生了耦合作用，即通過把電能在負(fù)荷高峰時(shí)段存儲(chǔ)，在負(fù)荷低谷時(shí)段釋放，平衡了負(fù)荷分布，降低了發(fā)電成本。在下一步研究中將考慮新能源發(fā)電參與后，其不確定性對(duì)含儲(chǔ)能系統(tǒng)OPF的影響。

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