基于內(nèi)點(diǎn)法的交直流混聯(lián)系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計

鄭偉業(yè)，吳文傳，張伯明，孫宏斌

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基于內(nèi)點(diǎn)法的交直流混聯(lián)系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計

鄭偉業(yè)，吳文傳，張伯明，孫宏斌

（電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(清華大學(xué)電機(jī)系)，北京 100084）

針對交直流混聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，分析了其數(shù)學(xué)模型，對其求解方法進(jìn)行了研究，并開發(fā)了軟件。介紹了交直流混聯(lián)系統(tǒng)的抗差狀態(tài)估計模型，根據(jù)該模型的特點(diǎn)進(jìn)行變量等價轉(zhuǎn)換，以降低其復(fù)雜度。在利用內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解時，通過對原問題的海森矩陣進(jìn)行近似，確保其正定且提升了算法的效率。通過IEEE 9節(jié)點(diǎn)、14節(jié)點(diǎn)、30節(jié)點(diǎn)、118節(jié)點(diǎn)、145節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)這5個算例，分析了算法效率以及收斂域。結(jié)果表明，與牛頓法相比，基于內(nèi)點(diǎn)法的狀態(tài)估計的收斂域更寬廣，可以應(yīng)對更惡劣的現(xiàn)場狀況，具備現(xiàn)場應(yīng)用潛力。

電力系統(tǒng)；交直流混聯(lián)系統(tǒng)；內(nèi)點(diǎn)法；抗差狀態(tài)估計

0 引言

高壓直流輸電在我國發(fā)展迅速，例如南方電網(wǎng)已建設(shè)成世界上最復(fù)雜的交直流混聯(lián)電網(wǎng)。交直流的狀態(tài)估計比純交流的問題，要更為復(fù)雜，更難求解。從1980年開始，出現(xiàn)了有關(guān)交直流互聯(lián)電網(wǎng)狀態(tài)估計的研究。文獻(xiàn)[1]對于20世紀(jì)狀態(tài)估計問題的研究狀況作出了系統(tǒng)性的總結(jié)。按照求解思路可分為整體求解法和解耦求解法這兩類。

（1）整體求解法

整體求解法把交直流部分統(tǒng)一納入狀態(tài)估計的數(shù)學(xué)模型中，并且不考慮他們之間的解耦。文獻(xiàn)[2]提出交直流互聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)估計的概念并給出了實(shí)際算例，但是，該文并沒有為換流器建模。文獻(xiàn)[3]對量測方程進(jìn)行泰勒展開，并且只保留至二階，使?fàn)顟B(tài)估計在迭代過程中的信息矩陣變?yōu)槎ǔｊ?，對交直流系統(tǒng)進(jìn)行整體建模，然后一起進(jìn)行狀態(tài)估計。

總體來說，整體求解法收斂性好，而且建模簡單，缺點(diǎn)是求解起來難度較大，計算量大。

（2）解耦求解法

解耦求解法則在數(shù)學(xué)建模的時候，把原系統(tǒng)分成相互獨(dú)立的部分，以減小問題的求解規(guī)模和復(fù)雜度，同時又可以沿用原有交流系統(tǒng)的狀態(tài)估計程序。文獻(xiàn)[4]首先提出基于雙端直流系統(tǒng)的有功-無功-直流順序迭代的交直流估計算法。文獻(xiàn)[5]把交直流混聯(lián)系統(tǒng)解耦為直流網(wǎng)絡(luò)、交流網(wǎng)絡(luò)以及交直流網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)部分，并對這三部分分別進(jìn)行計算，求出狀態(tài)估計的次優(yōu)解。文獻(xiàn)[6]采用了主從分裂的算法，考慮了交直流之間的耦合關(guān)系，但是，并沒有提供理論上的收斂性證明。文獻(xiàn)[7]利用高斯消去法，把直流部分對交流部分的影響在信息矩陣中消去，而對于直流部分，則把交流的耦合放到量測方程右側(cè)，從而實(shí)現(xiàn)交直流的解耦。

簡而言之，解耦求解法求解方法簡單，可以部分沿用先前的程序，但是建模技巧性要求高，不恰當(dāng)?shù)暮喕c假設(shè)會給結(jié)果帶來誤差，并且，在交替迭代的過程中經(jīng)常會遇到不收斂的問題。

傳統(tǒng)狀態(tài)估計一般采用牛頓法，但是，在現(xiàn)場應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，在重載等等惡劣情況下，牛頓法存在收斂性問題。牛頓法存在對初值敏感、收斂域窄的不足，以及無法考慮多種復(fù)雜不等式約束和等式約束的缺點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)法以及其變種算法在電力系統(tǒng)中得到了日益廣泛的應(yīng)用。其中，文獻(xiàn)[14-17]是內(nèi)點(diǎn)法在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中的應(yīng)用。

本文把文獻(xiàn)[18]提出的抗差狀態(tài)估計模型推廣到交直流混聯(lián)系統(tǒng)中，并采用內(nèi)點(diǎn)法對交直流混聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行整體求解。本文主要工作有以下三點(diǎn)：

（1）提出了變量等價轉(zhuǎn)換的方法，對原抗差狀態(tài)估計模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，降低其復(fù)雜度；

（2）開發(fā)了基于內(nèi)點(diǎn)法的交直流混聯(lián)系統(tǒng)抗差狀態(tài)估計的程序，用算例驗(yàn)證了其寬廣的收斂域；

（3）提出了近似海森矩陣的方法，算例結(jié)果表明，這可以有效提升算法效率。

1 抗差狀態(tài)估計模型及其等價變量轉(zhuǎn)換

在文獻(xiàn)[18]中提出的抗差狀態(tài)估計模型，可描述成以下形式。

因此需要對原抗差狀態(tài)估計模型進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，引入殘差變量

（3）

則式（1）所描述的模型可以轉(zhuǎn)換為以下模型。

其中：的狀態(tài)量；的定義如式（3）所示。

即可滿足零注入約束。

做了這樣的變換之后，把量測方程放在等式約束中，而在目標(biāo)函數(shù)中只保留殘差變量，那樣雅可比矩陣各元素的表達(dá)式被極大地簡化了。

（7）

（8）

海森矩陣各元素的表達(dá)式也變得簡潔不少，且大量元素變?yōu)?。

（10）

（12）

（13）

（15）

這樣變換可以大大降低程序編寫難度。

此外，只需要少量的代碼改動，即可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)估計模型的轉(zhuǎn)換。因?yàn)樵谑剑?）的模型下，不同狀態(tài)估計器之間的區(qū)別只在于目標(biāo)函數(shù)，量測方程的等式約束都是一樣的。例如，實(shí)現(xiàn)最常見的加權(quán)最小二乘，只需把式（4）的目標(biāo)函數(shù)改為

等式約束部分無需改動。

這時雅可比矩陣的元素只修改式（7）。

海森矩陣的元素也只需要修改式（12）。

（18）

而雅可比矩陣以及海森矩陣其余元素均無需改動。

2 交直流混聯(lián)電網(wǎng)的整體建模

雙端直流輸電系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 雙端直流輸電系統(tǒng)

雙端高壓直流輸電系統(tǒng)本質(zhì)上可以看成是雙端口元件，潮流的參考方向和電流的參考方向均取流入高壓直流系統(tǒng)為正方向。

在此列出直流內(nèi)部的量測方程（上標(biāo)m表示量測）為

（20）

（21）

（23）

（24）

交直流邊界處的量測方程為

（26）

式（20）和式（26）所示的無功功率量測方程中含有根號項(xiàng)，在內(nèi)點(diǎn)法在迭代的過程其并不總在該函數(shù)的定義域內(nèi)，因此會造成程序錯誤。

（28）

這樣，可以避免在迭代過程中引起計算錯誤。與此同時，原來的直流支路無功功率方程則變?yōu)?/p>

3 內(nèi)點(diǎn)法求解過程以及海森矩陣的近似

采用原始-對偶內(nèi)點(diǎn)法來對式（4）的模型進(jìn)行求解，算法流程如下。

（1）為了簡明起見，把式（4）的模型改寫成標(biāo)準(zhǔn)型為

其中：是狀態(tài)量和殘差變量合并后的復(fù)合向量，；函數(shù)()包含所有等式約束；()包含所有不等式約束。

其中，為函數(shù)()的維數(shù)。

（3）構(gòu)建增廣拉格朗日函數(shù)為

（4）設(shè)置迭代初始值，將原始變量中，狀態(tài)量中的電壓幅值初值設(shè)為1，電壓相角初值設(shè)為0，將殘差變量的初始值設(shè)為0，將對偶變量的初始值設(shè)為0，設(shè)置迭代次數(shù)，設(shè)置最大迭代次數(shù)，的取值范圍為：10～100，對于零注入母線，設(shè)定殘差變量的第個分量。

（6）如果=1，則直接進(jìn)行步驟（7）。

其中：和為松弛變量；和為對偶變量；為函數(shù)()的維數(shù)。

（8）按照以下KKT方程組，計算上述增廣拉格朗日函數(shù)對原-對偶內(nèi)點(diǎn)法中各原始變量和對偶變量的一階偏導(dǎo)數(shù)為

（35）

（36）

其中：

以保持海森矩陣正定進(jìn)行迭代。

此時一般t較小，海森矩陣正定性可以得到滿足，沿下降方向?qū)ふ易顑?yōu)解。

（11）根據(jù)步驟（10）的修正步長，更新上述原始變量和對偶變量， 使

（40）

（12）重復(fù)步驟（5）。

4 算例分析

（1）內(nèi)點(diǎn)法和牛頓法收斂域的對比

為了驗(yàn)證性能，開發(fā)了基于上述方法的程序，程序中調(diào)用了基于原始-對偶內(nèi)點(diǎn)法的開源包IPOPT（內(nèi)點(diǎn)法優(yōu)化包）來求解交直流混聯(lián)抗差狀態(tài)估計模型。測試系統(tǒng)的硬件環(huán)境為英特爾雙核i5-3210 M CPU 2.50 GHz，8 GB內(nèi)存，操作系統(tǒng)為Win7 64 bit，開發(fā)環(huán)境為Visual Studio 2008，IPOPT版本為3.5.5。

以IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為算例，核估計法的窗寬按經(jīng)驗(yàn)設(shè)為（也可設(shè)為別的值），電壓相角初值均選為0，基于同樣的抗差狀態(tài)估計模型，分別對內(nèi)點(diǎn)法和牛頓法的收斂域作對比。針對相同數(shù)學(xué)模型，這兩種求解算法，在收斂的情況下可以得到相同的結(jié)果。在此處關(guān)心的是兩種算法的收斂域的區(qū)別。

從表1可見內(nèi)點(diǎn)法的收斂域比牛頓法更寬廣，也就意味著內(nèi)點(diǎn)法更為魯棒，能在質(zhì)量惡劣的初值下迅速收斂。這是因?yàn)閮?nèi)點(diǎn)法引入了罰函數(shù)，當(dāng)狀態(tài)量在可行域之外時，罰函數(shù)能把狀態(tài)量壓回可行域內(nèi)。而牛頓法遇到這種情況，可能就會發(fā)散。

表1 內(nèi)點(diǎn)法和牛頓法收斂域?qū)Ρ?/p>

內(nèi)點(diǎn)法優(yōu)良的收斂性能是具有現(xiàn)實(shí)意義的。在極端的現(xiàn)場情況下，牛頓法的程序有時會不收斂。例如，負(fù)荷水平過高或過低時，節(jié)點(diǎn)電壓幅值會偏離標(biāo)準(zhǔn)電壓較遠(yuǎn)，但狀態(tài)估計設(shè)初值一般采用平啟動，由于牛頓法收斂域較窄，這時可能就不收斂了。而如果采用內(nèi)點(diǎn)法來計算，就有可能應(yīng)對這些極端情況。

依然以IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為算例，核估計法的窗寬不變，調(diào)節(jié)負(fù)荷水平，采用平啟動，對內(nèi)點(diǎn)法和牛頓法兩種算法的收斂域做對比，結(jié)果如表2所示。

表2 不同負(fù)荷水平下內(nèi)點(diǎn)法和牛頓法收斂域?qū)Ρ?/p>

（2）近似海森矩陣的效果

雖然基于內(nèi)點(diǎn)法的抗差狀態(tài)估計程序具有更寬廣的收斂域，但是在程序調(diào)試時發(fā)現(xiàn)，如果一直采用精確的海森矩陣，當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模較大時（例如對于IEEE 145節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)），程序的迭代次數(shù)過多，以至于計算的效率較低。為了提高效率，使得內(nèi)點(diǎn)法更加可能滿足現(xiàn)場對狀態(tài)估計的實(shí)時性的需求，本文提出了加速算法的一種方法——在迭代前期對海森矩陣采用式（38）的近似。

為了驗(yàn)證這種方法的效果，以145節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為算例，對兩種情況作對比：

1）不近似：一直采用精確的海森矩陣進(jìn)行計算；

2）近似：在迭代前期對海森矩陣作式（38）的近似處理，轉(zhuǎn)換閾值設(shè)為計算精度的2倍。當(dāng)互補(bǔ)間隙時，就采用精確的海森矩陣。

得到結(jié)果如表3和圖2所示。

表3 迭代次數(shù)對比

圖2 估計精度對比

可見，在迭代初期對海森矩陣作數(shù)值近似，能有效地減少迭代次數(shù)，提高了求解效率，同時不影響狀態(tài)估計的求解精度。

下面對IEEE 9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、145節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)共5個標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)進(jìn)行測試，窗寬按經(jīng)驗(yàn)取，采用平啟動方式，再對近似和不近似的兩種情況進(jìn)行測試。計算時間如圖3所示。

圖3 不同規(guī)模系統(tǒng)下的計算時間

5個系統(tǒng)的結(jié)果均表明，近似海森矩陣是一種加速算法的有效方法。

（3）抗差性能

在此處驗(yàn)證一下該程序在交直流混聯(lián)系統(tǒng)中的抗差性能。請注意，抗差性能只與數(shù)學(xué)模型有關(guān)，而與算法的實(shí)現(xiàn)無關(guān)。如果計算精度設(shè)定一致，而且結(jié)果收斂的話，牛頓法和內(nèi)點(diǎn)法的計算結(jié)果是一樣的。跟牛頓法相比，內(nèi)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是收斂域更寬，如前文所述。

把IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)的其中一條線路換成直流線路，得到交直流混聯(lián)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。其中，節(jié)點(diǎn)10、20之間的直流線路參數(shù)如表4~表6。

圖4 30節(jié)點(diǎn)交直流混聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

為了測試，在量測值加上一個服從(0,0.01)正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，核估計法的窗寬也取為0.01，則當(dāng)壞數(shù)據(jù)比例從0逐漸增至10%時，可得估計結(jié)果如表7。

表4 30節(jié)點(diǎn)交直流混聯(lián)系統(tǒng)的直流線路參數(shù)(A)

表5 30節(jié)點(diǎn)交直流混聯(lián)系統(tǒng)的直流線路參數(shù)(B)

表6 30節(jié)點(diǎn)交直流混聯(lián)系統(tǒng)的直流線路參數(shù)(C)

表7 30節(jié)點(diǎn)算例計算結(jié)果

可見式（4）的模型應(yīng)用到交直流混聯(lián)系統(tǒng)中，依然有較強(qiáng)的抗差性。

5 結(jié)論

傳統(tǒng)的牛頓法存在收斂域窄的問題，為了克服這個缺點(diǎn)，本文從研究對象、狀態(tài)估計模型、求解算法三方面著手，以指數(shù)型目標(biāo)函數(shù)為抗差估計模型，對交直流混聯(lián)電網(wǎng)進(jìn)行整體建模，并基于內(nèi)點(diǎn)法開發(fā)了一套抗差狀態(tài)估計程序。

本文提出的等價轉(zhuǎn)換的技巧，簡化了程序編寫的難度。此外，算例表明，采用內(nèi)點(diǎn)法來做抗差狀態(tài)估計，具有比牛頓法更為寬廣的收斂域，在質(zhì)量極為惡劣的初值下也能迅速收斂，能應(yīng)對現(xiàn)場出現(xiàn)的極端情況。

內(nèi)點(diǎn)法的抗差狀態(tài)估計程序目前存在效率較低的問題，為此，本文提出一種加速算法的方法——近似海森矩陣，并從理論和仿真實(shí)驗(yàn)兩方面說明其有效性。

本文工作還需要從理論上對算法效率進(jìn)行研究，對Parzen窗寬進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，進(jìn)一步加速算法，以供現(xiàn)場大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)使用。

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Robust state estimator for AC/DC hybrid power system based on an interior point method

ZHENG Wei-ye, WU Wen-chuan, ZHANG Bo-ming, SUN Hong-bin

(State Key Lab of Power Systems, Dept of Electrical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

A robust SE model is introduced for AC/DC hybrid system. First, to simplify its formulation, the SE model is transformed into an equivalent form by introducing equality constraints and new variables. In this model, the hybrid system is formulated as a whole. Then, an interior point method is used to solve this problem. And an approximating technique is proposed to guarantee the Hessian matrix positive definite, which can significantly improve the efficiency of the solution. Five numerical tests with IEEE 9 node system, IEEE 14 node system, IEEE 30 node system, IEEE 118 node system, and IEEE 145 node system show that the proposed algorithm is efficient, robust and reliable. It has the potential to be applied in real application.

This work is supported by National Key Basic Research Program of China (973 Program) (No. 2013CB228203).

power system; AC/DC hybrid system; interior point method; robust state estimation

TM71

A

1674-3415(2014)21-0001-08

2014-02-19；

2014-03-12

鄭偉業(yè)(1990-)，男，博士生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)狀態(tài)估計、分布式自律優(yōu)化與控制；E-mail: neo_adonis@139.com

吳文傳(1973-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事控制中心自動化系統(tǒng)的研究和教學(xué)工作；

張伯明(1948-)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，IEEE Fellow，主要從事電力系統(tǒng)運(yùn)行、分析和控制的研究工作。

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973 計劃)（2013CB228203）