高中物理學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模

楊 光 邱國(guó)民

（海南師范大學(xué)，海南 海口 571158）

高中物理學(xué)習(xí)的內(nèi)容，延續(xù)初中物理對(duì)一些基本量的定性研究，逐步滲入更多的定量計(jì)算，介紹一些基本定律，并研究如何帶領(lǐng)學(xué)習(xí)者把基本定律用于解決生活實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者應(yīng)用物理理論知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的素養(yǎng)。其間，在掌握物理量與物理定律的基本含義的基礎(chǔ)上，解題過(guò)程中通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，加深對(duì)物理知識(shí)的理解。一個(gè)物理問(wèn)題的解決，經(jīng)歷分析理解、簡(jiǎn)化假設(shè)、數(shù)學(xué)建模、求解驗(yàn)證幾個(gè)過(guò)程[1]，下面以實(shí)例進(jìn)行演示分析。

一、物理學(xué)習(xí)中的比例關(guān)系建模

許多物理定律和規(guī)律都存在一個(gè)物理量與另一（或幾個(gè)）物理量之間的比例關(guān)系。如萬(wàn)有引力定律、胡克定律（F=k·x）、初速為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的變化規(guī)律 （X=at2）、庫(kù)侖定律、電阻定律、氣體三定律和理想氣體的狀態(tài)方程等等，類(lèi)似這樣的比例關(guān)系在中學(xué)物理中不勝列舉，理解了它們的物理意義，運(yùn)用數(shù)學(xué)的比例關(guān)系來(lái)解決有些物理問(wèn)題非常方便。

圖1

例證：如圖1所示，三根粗細(xì)一樣上端開(kāi)口的長(zhǎng)玻璃管，其中都有一段水銀柱封閉下面氣體，且 V1=V2＞V3，h1＜h2=h3， 三者原先溫度相同，后來(lái)又緩慢升高相同溫度，則管中水銀柱向上移動(dòng)最小的是哪一管[2]。

解析：由于三管中氣體上方水銀柱長(zhǎng)度不變，大氣壓一定，故三管中被封氣體均作等壓膨脹。

因C管V初最小，所以△Vc最小，即C管中水銀向上移動(dòng)最少。

此題的結(jié)論就是通過(guò)比例關(guān)系，利用數(shù)學(xué)的分比定律求得，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的在解決物理問(wèn)題的作用。

應(yīng)用比例關(guān)系進(jìn)行建模，一般步驟：一是要理解分析，二是依題意列出各物理量間的比例關(guān)系，三是利用數(shù)學(xué)建模尋求問(wèn)題突破，五是求解驗(yàn)證。

二、物理學(xué)習(xí)中的幾何圖形建模

運(yùn)用幾何圖形表達(dá)、推導(dǎo)某些物理過(guò)程和結(jié)論，在考試說(shuō)明中有明確的要求，且在歷年高考物理題中都有所體現(xiàn)。如：帶電粒子進(jìn)入有界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)就是要通過(guò)建構(gòu)幾何圖形解決物理問(wèn)題。

例證：一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于OX軸的速度V從Y軸上的a點(diǎn)射入圖2的圖中。為了使該點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于OX軸的速度V射出，可在適當(dāng)?shù)胤郊右粋€(gè)垂直于XY平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑。重力忽略不計(jì)[2]。

解析：帶電質(zhì)點(diǎn)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)的洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

題設(shè)質(zhì)點(diǎn)自a點(diǎn)射入，從b點(diǎn)射出，兩方向垂直，因此在磁場(chǎng)區(qū)域中它的徑跡應(yīng)是半徑等于R的圓上的圓周，并分別與Va、Vb方向相切，過(guò)a點(diǎn)作平行X軸直線，過(guò)b點(diǎn)作平行Y軸直線，則與兩直線均相距為R的點(diǎn)O′就是上述圓的圓心。質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的徑跡就是以O(shè)′為圓心，R為半徑的圓上的圓弧，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上 （如圖2所示）。

圖2

以 M、N兩點(diǎn)連線 MN為弦可以作許多圓。其中圓面積最小的一個(gè)是以MN為直徑的圓，圓心為O″。

這個(gè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為：

此題就是較強(qiáng)地運(yùn)用幾何圖形結(jié)合物理過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而求得結(jié)果。在幾何光學(xué)中更大量地用到幾何知識(shí)，這里就不列舉例證。

三、物理學(xué)習(xí)中的不等式關(guān)系建模

圖3

物理量經(jīng)常要求指出它的上限或下限，有時(shí)要指出它可能存在范圍，這往往要運(yùn)用不等式進(jìn)行建模。

例證：如圖3所示，在當(dāng)光滑的絕緣水平面上，有一不導(dǎo)電的輕質(zhì)彈簧，彈簧兩端分別與金屬小球A和B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）相連，若讓它們帶上等量同種電荷，彈簧伸長(zhǎng)量為X1，若讓它們電量均增加為原來(lái)2倍，則不管彈簧的原長(zhǎng)和X1關(guān)系如何，此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量X2的值應(yīng)在什么范圍。

解析：設(shè)彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)0（自由長(zhǎng)），勁度系數(shù)為k，設(shè)A、B兩球原來(lái)的帶電量都為q，根據(jù)題意，由庫(kù)侖定律得下列方程：

所以：X2<4X1。

因X2>X1，

此題是典型的物理問(wèn)題利用等式經(jīng)過(guò)合理處理轉(zhuǎn)化為不等式，從而求得物理量的取值范圍。這也是解決物理量極值問(wèn)題的有效方法。

四、物理學(xué)習(xí)中的函數(shù)圖象建模

用函數(shù)圖象表述物理規(guī)律是研究物理問(wèn)題常用的一種方法，在2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試安徽卷考試說(shuō)明理科綜合物理部分中對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題能力闡述的最后一句話是：“必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形函數(shù)圖象表達(dá)分析”，有些復(fù)雜的物理問(wèn)題只有用函數(shù)圖象才能解析。例如波在中學(xué)階段尚不能用解析式來(lái)描述，應(yīng)用波的圖象來(lái)表達(dá)、分析是重要的也是唯一的數(shù)學(xué)手段。

例證：在xy平面內(nèi)有一沿x軸正方向傳播的簡(jiǎn)諧橫波，波速為1米/秒，振幅為4厘米，頻率為7.5赫茲，在t=0.1時(shí)刻，P點(diǎn)位于其平衡上方最大位移處，則距P為0.2米的Q點(diǎn)（如圖4所示）。

A.在0.1秒時(shí)位移是4厘米

B.在0.1秒時(shí)的速度最大

C.在0.1秒時(shí)的速方向向下

D.在0到0.1秒時(shí)間內(nèi)路程為4厘米

解析：先畫(huà)出t=0時(shí)刻波形，要畫(huà)波形必須求波長(zhǎng)λ，根據(jù)公式和題給條件有：λ=v·f=1/2.5米=0.4米。

圖4

按照題意，t=0時(shí)波形圖如圖5中實(shí)線表示，P點(diǎn)位于平衡位置上方最大位移處，即Yp=4厘米，與其相距0.2米 （恰好相距為半波長(zhǎng)），Q點(diǎn)顯然應(yīng)在YQ=-4厘米處，又該波的周期T=1/f=1/2.5秒=0.4秒，所以T=0.1秒時(shí)，即在0到1/4T時(shí)，根據(jù)波向右（X軸正方向）傳播，此時(shí)波形圖如圖虛線表示，P、Q兩質(zhì)點(diǎn)分別在P′、Q′位置，且Q點(diǎn)經(jīng)4厘米路程后正在通過(guò)平衡位置以最大速度向上運(yùn)動(dòng)。

綜上所述，選項(xiàng)B、D正確。

應(yīng)用函數(shù)圖象解題，形象、直觀、思路清楚，即能達(dá)到化難為易的目的，又訓(xùn)練了學(xué)習(xí)者靈活多變的思維能力。

通過(guò)以上物理學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模實(shí)例分析,我們不難看出,數(shù)學(xué)建模是解決物理問(wèn)題的一種重要思想方法。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模處理物理問(wèn)題既是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)能力體現(xiàn)，又是提高學(xué)習(xí)者有效學(xué)習(xí)的重要途徑。當(dāng)然，除以上物理問(wèn)題用到數(shù)學(xué)的比例關(guān)系、幾何圖形、不等式關(guān)系和函數(shù)圖象建模外，還有一些物理問(wèn)題用到數(shù)學(xué)的極值、三角函數(shù)、相似三角形、等比數(shù)列、等差數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行建模。因此，在物理學(xué)科教學(xué)中一定要培養(yǎng)學(xué)習(xí)者建立數(shù)學(xué)建模的思想方法。

[1]殷堰土.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考[J].蘇州教育，2003，（3）.

[2]孫 偉.高中物理解題方法[M].延吉：延邊大學(xué)出版社，2013.