數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

姚紅

圓錐曲線的本質(zhì)是幾何問題代數(shù)化，有些習(xí)題看起來很平常，實(shí)際上反映了相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思維方法和思想精髓，是創(chuàng)新思維的生長點(diǎn)，這就需要教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生不斷的發(fā)展，引申，變遷問題，進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力.圖1

習(xí)題展示：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，經(jīng)過點(diǎn)T（1，0）的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，求證：直線AM、BN與直線x=9相交于一點(diǎn).

學(xué)生很快呈現(xiàn)出本題的代數(shù)計(jì)算過程.

解析：若直線l與x軸重合，命題顯然成立.

若直線l不與x軸重合，設(shè)直線l的方程為my=x-1，

聯(lián)立my=x-1

平面中，兩條不平行的直線相交于一點(diǎn)是顯然的，但是3條直線相交于同一點(diǎn)應(yīng)該不僅僅是巧合，背后到底“隱藏”著什么樣的數(shù)學(xué)原理呢？我們能不能從問題出發(fā)，試著對(duì)問題進(jìn)行一般化研究，變式研究，推廣研究，類比研究，甚至可以研究這一類問題的本質(zhì).

一個(gè)星期后的數(shù)學(xué)課上，學(xué)生互相交流探討所研究的問題與結(jié)論，學(xué)生對(duì)于問題的變式研究，類比研究大大超出我的預(yù)料，在課上，每個(gè)同學(xué)都積極參與，力求用最精煉的語言表達(dá)結(jié)論，用最嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔的過程證明結(jié)論的正確性，課后學(xué)生齊心協(xié)力，更是挖掘了問題的本質(zhì).1問題探究，披沙揀金

拓展研究一平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：x29+y25=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，經(jīng)過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，則直線AM、BN的交點(diǎn)軌跡是直線x=9.

第二個(gè)結(jié)論是對(duì)第一個(gè)結(jié)論的推廣，證明了在任意橢圓中這樣兩直線的交點(diǎn)軌跡均是直線，軌跡方程只與直線所過的定點(diǎn)和橢圓中的系數(shù)a有關(guān).

拓展探究三平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A、B為長軸兩端點(diǎn)，直線l過x軸上任意一點(diǎn)T（t，0）（t≠0）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若直線AM、BN的交點(diǎn)為P，則OP·OT=a2（為定值，與t無關(guān)）.

前面已證直線AM、BN的交點(diǎn)P（a2t，yp），易得OP·OT=a2.

看到這樣的結(jié)果，學(xué)生臉上露出驚訝的表情，他們從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的神奇，一個(gè)看似很平常的問題，竟然得到這么和諧漂亮的結(jié)論.

經(jīng)過不斷的拓展研究，條件不斷的一般化，直線過x軸上任意一點(diǎn)T（t，0）（t≠0）推廣為過平面內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)向量點(diǎn)乘積為定值的結(jié)論依然成立.

拓展探究四平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A、B為長軸兩端點(diǎn)，直線l過平面內(nèi)任意一點(diǎn)T（t，s）（s≠0）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，若直線AM、BN的交點(diǎn)為P，直線l與x軸的交點(diǎn)為Q，則OP·OQ=a2（為定值，與t無關(guān)）.

證明過程類似，從略.

如果將橢圓改為圓，結(jié)論也成立.圓可以看作是橢圓的特殊情況，在計(jì)算的過程中a、b的大小是否相等并不影響計(jì)算的結(jié)果，.

從三線共點(diǎn)到結(jié)論“OP·OQ=a2”如此簡(jiǎn)潔，如此美妙，直覺告訴我們這決不是偶然，肯定有其必然性，研究后發(fā)現(xiàn)本題有豐富的背景，它與極點(diǎn)和極線的知識(shí)有關(guān).

實(shí)際上，關(guān)于極點(diǎn)和極線，有如下兩個(gè)常用的結(jié)論：圖2

（1）如圖2，設(shè)P為不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P引兩條割線交圓錐曲線于

E，F(xiàn)，G，H，設(shè)EG，F(xiàn)H交于M，EH，F(xiàn)G交于N，則稱MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)

的極線，同理，稱PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線，PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線；

（2）對(duì)于橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），點(diǎn)P（x0，y0）對(duì)應(yīng)的極線為

xx0a2+yy0b2=1，特別點(diǎn)P（t0，0）對(duì)應(yīng)的極線為x=a2t.

有了極點(diǎn)極線知識(shí)，我們所拓展研究的問題就很容易解釋了：

當(dāng)直線l過x軸上任意一點(diǎn)T（t，0）（t≠0）時(shí)，點(diǎn)T（t，0）對(duì)應(yīng)的極線為過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線x=a2t，此時(shí)P（a2t，y0），所以O(shè)P·OT=a2.

當(dāng)直線l過平面內(nèi)任意一點(diǎn)T（t，s）（s≠0）時(shí)，直線l與x軸的交點(diǎn)為Q（m，0），點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線還是過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線x=a2m，此時(shí)P（a2m，y0），所以O(shè)P·OQ=a2.2研究性學(xué)習(xí)實(shí)踐的認(rèn)識(shí)

課堂是教學(xué)變革的主戰(zhàn)場(chǎng)，研究性學(xué)習(xí)只有根植于課堂，變成課堂教學(xué)中的一種常用方式，才能由一種開放的教育思想變?yōu)榭尚械慕虒W(xué)實(shí)踐，才能真正發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值[1].在理論學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)學(xué)課堂探究性學(xué)習(xí)必須依照數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，努力凸顯其固有的問題性、自主性、過程性和開放性.

2.1問題性

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，它促使人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索，推動(dòng)人們對(duì)數(shù)學(xué)真理的發(fā)現(xiàn).沒有問題也就難以誘發(fā)和激起探究欲望，感覺不到問題存在也就不會(huì)生成認(rèn)知上的需要，就不會(huì)深入思考，學(xué)習(xí)也只能是表面和形式的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)通過問題來進(jìn)行學(xué)習(xí)，把問題看成學(xué)習(xí)的動(dòng)力、起點(diǎn)和貫穿學(xué)習(xí)過程的主線[2].教學(xué)中，教師要關(guān)注課本例題和習(xí)題的結(jié)論，應(yīng)該主動(dòng)地尋找知識(shí)的生長點(diǎn)和思維的發(fā)散點(diǎn)，不斷地發(fā)展引申、變遷問題，進(jìn)行探究.通過學(xué)習(xí)生成問題，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.

2.2自主性

探究性學(xué)習(xí)是相對(duì)于授受式學(xué)習(xí)而提出的.自主性是探究性學(xué)習(xí)最本質(zhì)的規(guī)定性，也是探究式學(xué)習(xí)與授受式學(xué)習(xí)相區(qū)分的關(guān)鍵所在[3].探究性學(xué)習(xí)突出了學(xué)生作為教學(xué)活動(dòng)的主體，立足于學(xué)生的學(xué)和自主性探究，以學(xué)生的主體活動(dòng)為中心展開.強(qiáng)調(diào)學(xué)生是在教師恰到好處的引導(dǎo)和幫助下自主地參與教學(xué)活動(dòng)，以自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)為基礎(chǔ)，經(jīng)過獨(dú)立的、合作的探索與發(fā)現(xiàn)，親身的體驗(yàn)與實(shí)踐，將知識(shí)納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并嘗試解決新問題.在探究性學(xué)習(xí)中，教師要適當(dāng)?shù)貛椭龑?dǎo)學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的創(chuàng)造潛能，使學(xué)生的求知和創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和畢生的發(fā)展奠定基礎(chǔ)，這才是數(shù)學(xué)教育的真正意義所在.

2.3過程性

研究性學(xué)習(xí)追求過程和結(jié)果的和諧統(tǒng)一，它強(qiáng)調(diào)盡可能地讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成、應(yīng)用和發(fā)展的過程.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)不宜將概念、法則、結(jié)論直接告訴學(xué)生，而應(yīng)努力地揭示它們發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生在“過程”中逐漸體會(huì)并掌握獲取知識(shí)的方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”歷程，在這樣的探究過程中思維才有機(jī)會(huì)得以充分而自然的開啟、交流、優(yōu)化和升華.

2.4開放性

“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)”.在傳統(tǒng)的授受式學(xué)習(xí)的課堂里，學(xué)生的思維基本是在教師規(guī)定的航道上運(yùn)行，思維發(fā)展難有成效.學(xué)生思維的誘發(fā)不僅來自教師的啟迪，也來自于學(xué)生之間的相互啟發(fā)，這就需要一個(gè)開放的教學(xué)環(huán)境.在探究的過程中，不追求問題的難度，更關(guān)注能否體現(xiàn)強(qiáng)烈的探究欲望和創(chuàng)新興趣；不追求解題技巧，更關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟.只有在民主、和諧的課堂氛圍中，學(xué)生才能自由的想象，大膽的思考，才能充分挖掘自己的潛能，全面展示自己的個(gè)性，思維才最活躍最有創(chuàng)造性.在層出不窮的新問題的探究中，學(xué)生的思維層次和創(chuàng)新意識(shí)才能向縱深發(fā)展，這也正是探究性學(xué)習(xí)的精神要旨.

參考文獻(xiàn)

[1]徐章韜，梅全雄.論基于課堂的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（6）：1-4.

[2]余文森.課堂有效教學(xué)的理論和實(shí)踐[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]任長松.探究式學(xué)習(xí)-學(xué)生知識(shí)的自主構(gòu)建[M].北京：教育科學(xué)出版社，2005.