De Morgen法則在反證法中的應(yīng)用

孫萍

摘 要： 在數(shù)學(xué)證明中，有時按常規(guī)思路從正面思考難以解決問題，而如果運用反證法，逆向思考，則可以化繁為簡，化難為易.對命題結(jié)論的正確否定是運用反證法的關(guān)鍵一步，但這并非我們想象的那么簡單.本文介紹一個重要的定律——De Morgen法則，它可以幫助我們快速而正確地對原命題進(jìn)行“反設(shè)”.

關(guān)鍵詞： 反證法 De Morgen 法則 應(yīng)用

我們在解數(shù)學(xué)題的過程中，經(jīng)常用到這樣一種方法：先假定某結(jié)論的反面成立，并把這結(jié)論的反面成立作為已知條件，再進(jìn)行正確的邏輯推理，使之導(dǎo)出一個與已知條件、已知公理、定理、法則、已證明為正確的命題等相矛盾的結(jié)果，從而肯定原結(jié)論成立，使命題獲得證明.

例1：已知：a、b、c、d均為實數(shù)，且ab=2（c+d），求證：方程x+ax+c=0與方程x+bx+d=0中至少有一個方程有實根.

證明：假定上述兩個方程都沒有實根

所以已知的兩個方程中至少有一個方程有實根.

以上這種方法在數(shù)學(xué)中被稱為反證法.

一、反證法及其在數(shù)學(xué)證明中的作用

反證法在思維分析和數(shù)學(xué)證明中有著極其廣泛的應(yīng)用.歷史上，英國著名數(shù)學(xué)家西爾維斯特在他晚年提出的問題：平面上n（n≥3）個已知點不全在一條直線上，證明：總可以找到一條直線，使它只通n過個點中的兩個點.這個歷經(jīng)半個世紀(jì)都無人解決的難題被一個“無名小卒”用反證法輕而易舉地解決了.

從反證法的定義可以看到反證法有如下特征：

1.反證法，開宗明義第一步，總是對所證命題結(jié)論的否定，這是反證法區(qū)別于其他證明方法最顯著的特點之一，沒有對命題結(jié)論的正確否定，就不是反證法.

2.“對命題結(jié)論的否定”，我們通常稱之為“反設(shè)”，把“反設(shè)”作為已知條件，并把此條件運用于推理中，這是反證法的又一特點.反之，如果不以“反設(shè)”為已知條件，而是作與“反設(shè)”無關(guān)的推理，那么這樣的證明方法就不能叫做反證法.

由此可以看出，“反設(shè)”是應(yīng)用反證法的第一步，也是重要的一步.只有正確地敘述了一個命題的否命題，反證法的證明才可能是完備的，無懈可擊的.

De Morgen法則在敘述一個命題的否命題時有重要的作用.下面我們了解一下什么是De Morgen法則.

二、De Morgen法則及其在反證法中的運用

設(shè)有集合族{A}α∈I，我們定義其并集與交集如下：

A={x：？堝α∈I，x∈A}

A={x：？坌α∈I，x∈A}

De Morgen法則是對于集合而言的，設(shè)A為一個命題，x∈A表示A對x為真，由上面的定義可看出，如果存在a∈I，使A對x為真，則可用x∈A表示，同樣，如果對一切α，A對x為真，可寫成x∈A，這樣，許多數(shù)學(xué)命題都可用集合的交集、并集、余集給出.例如：例1的結(jié)論用集合語言可表示為{x：x+ax+c=0}∪{x：x+bx+d=0}≠？準(zhǔn)，根據(jù)De Morgen法則，其否命題應(yīng)該是{x：x+ax+c=0}∩{x：x+bx+d=0}=R，下面我們看一些較復(fù)雜的例子.

例2：敘述數(shù)列{a}不收斂

數(shù)列{a}收斂的ε-N定義為：

？堝a∈R，？坌ε>0，？堝N∈/N，？坌n>N，

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：？坌a∈R，？堝ε>0，？坌N∈/N，？堝n>N，|a-a|≥ε

所以數(shù)列{a}不收斂的ε-N定義為：

？坌a∈R，？堝ε>0，？坌N∈/N，？堝n>N，|a-a|≥ε

例3：敘述f（x）在x不連續(xù)

f（x）在x連續(xù)的ε-N定義為：

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：？堝ε>0，？坌δ>0，？堝x∈R，雖然有

所以f（x）在x不連續(xù)ε-N的定義為：？堝ε>0，？坌δ>0，？堝x∈R，雖然有|x-x|<δ，但|f（x）-f（x）|≥ε.

例4：設(shè)S={x}為R中的一個數(shù)集，敘述S無上界

S有上界的定義為：？堝M∈R，對？坌x∈S，有x≤M

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

{x：x≤M}=S

用De Morgen法則敘述它的否命題

{x：x≤M}≠S=？準(zhǔn)

用集合語言把它敘述出來：？坌M∈R，？堝x∈S，使x>M

所以S無上界的定義為？坌M∈R，？堝x∈S，使x>M

例5：設(shè)I為全集，敘述f（x）在I上不一致連續(xù)

f（x）在I上一致連續(xù)的ε-n定義為：

？坌ε>0，？堝δ（ε）>0，？坌x′，x″∈I，|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|<ε.

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：

？堝ε>0對？坌δ（ε）>0，？堝x′，x″∈I，雖然有|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.

所以f（x）在I上不一致連續(xù)的ε-N定義為：

？堝ε>0對？坌δ（ε）>0，？堝x′，x″∈I，雖然有|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.

例6：利用Cauchy收斂準(zhǔn)則敘述數(shù)列{a}不收斂

數(shù)列{a}收斂：對？坌ε>0，？堝N∈/N，當(dāng)？坌n，m>N時，有

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：？堝ε>0，對？坌N∈/N，？堝m，n>N，使

敘述數(shù)列{a}不收斂的ε-N定義為：？堝ε>0，對？坌N∈/N，？堝m，n>N，使

由以上幾個例子，可以看出De Morgen法則在反證法中的重大作用.在做題需要用到反證法時，運用De Morgen法則可以很方便而且很簡潔地寫出反設(shè)，使人一目了然，盡可能地避免論述語句中的語言陷阱，進(jìn)而為運用反證法奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：高等學(xué)校教材《數(shù)學(xué)分析》第二版（上冊）.