車橋耦合系統(tǒng)的近似解研究

郭秀英， 吳啟亮， 李海濤

（石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，河北石家莊 050043）

車橋耦合系統(tǒng)的近似解研究

郭秀英， 吳啟亮， 李海濤

（石家莊鐵道大學(xué)數(shù)理系，河北石家莊 050043）

采用GSB方法研究車橋耦合模型一些特殊情況下的近似解。針對(duì)車橋耦合模型，由Lagrange方程得到了變剛度SD振子的動(dòng)力學(xué)方程。利用GSB方法對(duì)μ（t）作為常數(shù)激勵(lì)的情況進(jìn)行討論，得到了非對(duì)稱系統(tǒng)的含有完全橢圓積分的二階近似解表達(dá)式。利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，并將近似結(jié)果與原系統(tǒng)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)近似解與原系統(tǒng)十分接近。

非線性振動(dòng)；SD振子；GSB方法；車橋耦合系統(tǒng)；橢圓積分

0 引言

非線性振動(dòng)理論的研究目的是基于非線性振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在不同參數(shù)和初始條件下，分析系統(tǒng)的近似解及其動(dòng)力學(xué)行為。同時(shí)為一系列重大工程中非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解決提供可操作的理論計(jì)算方法，是當(dāng)今國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)發(fā)展的重大前沿課題［1-13］。

研究非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的方法可以分為定性（幾何方法）和定量方法兩大類［14-15］。定性方法一般不直接求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)，而是從非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程入手，研究系統(tǒng)在狀態(tài)空間的動(dòng)力學(xué)行為［14］。由于非線性微分方程一般沒(méi)有統(tǒng)一的精確解法，所以定量方法只研究各種近似解，常用的方法如平均法，多尺度法，諧波平衡法等等［15］。定性方法和定量方法可以相互補(bǔ)充，定性方法可以得到系統(tǒng)解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，定量方法可以得到參數(shù)確定時(shí)系統(tǒng)的數(shù)值解，在研究各種復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，兩種方法缺一不可。隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)、數(shù)值模擬和圖形技術(shù)的進(jìn)步，非線性動(dòng)力學(xué)理論正在從低維向高維發(fā)展，非線性動(dòng)力學(xué)理論和方法所能處理的問(wèn)題的規(guī)模和難度不斷提高，已逐步接近實(shí)際系統(tǒng)［1-13］。

懸索橋也叫吊橋，指由受拉懸索作為承重結(jié)構(gòu)的橋梁［16］。其中不設(shè)加勁梁，或加勁梁高度很小的懸索橋，稱為柔性吊橋。柔性吊橋，因其橋面系構(gòu)造簡(jiǎn)單、加工容易、耗鋼量低、橋梁架設(shè)和維護(hù)方便、橋型美觀、造價(jià)低，在農(nóng)村和旅游景點(diǎn)有廣泛的應(yīng)用前景。目前，柔性吊橋的理論研究主要集中在建立數(shù)學(xué)模型，利用VBA作為AutoCAD的二次開(kāi)發(fā)工具，開(kāi)發(fā)柔性吊橋橋型成圖系統(tǒng)上［16］，利用Visual Basic 6.0開(kāi)發(fā)懸索設(shè)計(jì)系統(tǒng)［17］。

關(guān)于移動(dòng)車輛載荷下橋梁振動(dòng)的研究，不管古典理論還是現(xiàn)代理論，研究熱點(diǎn)集中在求振動(dòng)微分方程的精確解和響應(yīng)方程，以期找到該強(qiáng)迫振動(dòng)的共振條件。由于車橋耦合系統(tǒng)的動(dòng)力特性隨載荷位置的移動(dòng)而不斷變化，共振條件只能在短時(shí)間內(nèi)滿足，再加上該問(wèn)題的振動(dòng)微分方程帶有變系數(shù)以及車輛載荷在橋上通過(guò)的時(shí)間也是有限的，使得該問(wèn)題的研究比較復(fù)雜。因此，建立一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，比較簡(jiǎn)單方便地研究移動(dòng)載荷作用下橋的跨中撓度一直是理論工作者探討的熱點(diǎn)問(wèn)題。文獻(xiàn)［18］利用變剛度SD振子模擬移動(dòng)載荷和柔性吊橋的耦合系統(tǒng)，探討了若干移動(dòng)載荷相繼過(guò)橋時(shí)，柔性吊橋跨中撓度的非線性動(dòng)力學(xué)行為。本文通過(guò)GSB（Generalized Senator-Bapat）方法［19］得到了該系統(tǒng)的近似解。最后通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論分析的正確性。

1 車橋耦合模型初步分析

移動(dòng)載荷和柔性吊橋的耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為［18］

式中，u和t分別為無(wú)量綱化的位移和時(shí)間；ω0為固有頻率；μ（t），α1，α2為參數(shù)激勵(lì)；F為常數(shù)激勵(lì)；

在忽略重力作用的情況下有

令τ＝ωt，則方程（2）變?yōu)?/p>

式（3）中植入的參數(shù)φ是由常見(jiàn)的LP攝動(dòng)技術(shù)決定的，因此，式（3）的近似解可展開(kāi)成如下形式

2 車橋耦合模型的近似解

3 數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步驗(yàn)證采用GSB方法求得的二階近似解與原系統(tǒng)精確解的近似程度，通過(guò)Matlab做出了該系統(tǒng)二階近似解和精確解的圖形。首先對(duì)系統(tǒng)滿足GSB方法的周期求解。

特別的，取μ（τ）＝λ，式（3）可表示為

圖1和圖2分別是當(dāng)α1＝3α2和α1＝6α2時(shí)，系統(tǒng)的二階近似解和精確解的對(duì)比圖。從兩圖中不難看出由GSB方法求得的二階近似解與原系統(tǒng)精確解的近似程度比較理想。

圖1 α1＝3α2，A＝1時(shí)系統(tǒng)的近似解與精確解對(duì)比

圖2 α1＝6α2，A＝1時(shí)系統(tǒng)的近似解與精確解對(duì)比

4 結(jié)論與模型展望

采用GSB方法分析了變剛度耦合SD振子的二階近似解。在求解系統(tǒng)的二階近似解的過(guò)程中，討論了μ（t）作為常數(shù)激勵(lì)的情況下，系統(tǒng)的二階近似解的情況。

對(duì)GSB方法討論，本文只計(jì)算了激勵(lì)參數(shù)為常數(shù)的二階近似解，還可經(jīng)過(guò)改進(jìn)GSB方法得到更精確的近似解。在今后的研究中可以通過(guò)對(duì)變化的時(shí)間狀態(tài)進(jìn)行考慮，該情況更能反映一般事實(shí)。

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Research of Approximate Solutions for Vehicle-bridge Coup led Vibration System

Guo Xiuying， Wu Qiliang， Li Haitao

（Dept ofMath＆Phys，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China）

In order to research the approximate solutions for vehicle-bridge coupled vibration，we established a vehicle-bridge coupled model，and obtained the dynamic equations of the variable stiffness SD oscillator with the Lagrange equation.We discussed the situations that the parameter is a constant excitation by GSB perturbation technique respectively.Finally，we obtained the expression of the second-order approximate solution of the asymmetric system which contains the complete elliptic integral.The approximate solution has been compared with the exact solution of original system with the help of MATLAB numerical stimulation tools，and it is found that the result is approximate to the original system.

nonlinear oscillation；SD oscillator；GSB perturbation technique；vehicle-bridge coupled vibration system；elliptic integral

O322

A文章編號(hào)：2095 0373（2014）01 0001 08

（責(zé)任編輯 車軒玉）

10.13319／j.cnki.sjztddxxbzrb.2014.01.01

2013 03 28

郭秀英 女 1976年出生 講師

國(guó)家自然科學(xué)基金（11002093）；石家莊鐵道大學(xué)科研啟動(dòng)金（Q21）