轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的檢定及補(bǔ)償模型的建立

郭敬濱，曹紅艷，王克新，齊永岳(. 天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 30007；. 溫州市計(jì)量技術(shù)研究院，溫州 35000)

轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的檢定及補(bǔ)償模型的建立

郭敬濱1，曹紅艷1，王克新2，齊永岳1
(1. 天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 溫州市計(jì)量技術(shù)研究院，溫州 325000)

用誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ㄌ岣咿D(zhuǎn)臺(tái)分度精度是一種經(jīng)濟(jì)、有效的技術(shù)措施，用比較法對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差進(jìn)行了檢定，并分析了其測(cè)量不確定度；從轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的來源出發(fā)，根據(jù)轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的周期性等特點(diǎn)和諧波分析的結(jié)果，并結(jié)合最小二乘法、三次樣條插值、傅里葉級(jí)數(shù)擬合3種模型的特點(diǎn)，通過分析，選擇傅里葉級(jí)數(shù)作為轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的補(bǔ)償模型，并對(duì)3種模型的擬合效果進(jìn)行了比較．應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)模型對(duì)精度為17.82″ 的轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償后轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差最大值為2.36″，從而驗(yàn)證了分度誤差模型的正確性和可行性．

分度誤差；檢定；數(shù)據(jù)擬合；傅里葉級(jí)數(shù)；補(bǔ)償模型

轉(zhuǎn)臺(tái)是進(jìn)行圓分度的常用設(shè)備，經(jīng)常作為機(jī)床附件進(jìn)行零件的圓分度加工．為了測(cè)量齒輪等回轉(zhuǎn)體零件，也常用到轉(zhuǎn)臺(tái)．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，對(duì)齒輪測(cè)量精度的要求也越來越高[1-2]．轉(zhuǎn)臺(tái)精度會(huì)影響齒輪等回轉(zhuǎn)體零件的測(cè)量精度，通過軟件誤差補(bǔ)償?shù)姆椒梢院?jiǎn)單、有效地提高轉(zhuǎn)臺(tái)的精度，以較低的成本達(dá)到較高的精度要求．

由于在轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差中，系統(tǒng)誤差占主要成分，從而可以用非實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差進(jìn)行修正，基本思想是以精度更高的儀器作為基準(zhǔn)，將轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差先檢定出來，選擇合適的擬合或插值函數(shù)作為轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的補(bǔ)償模型，對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差進(jìn)行補(bǔ)償．由此可知，在轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差補(bǔ)償中，誤差的檢定和模型的選擇將直接影響補(bǔ)償效果，是分度誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵．

針對(duì)采用多面棱體檢定時(shí)受多面棱體面數(shù)限制測(cè)量間隔不能太小的問題，筆者提出采用多齒分度臺(tái)與平面反射鏡組合構(gòu)建可回轉(zhuǎn)的多角度基準(zhǔn)的檢定方法，并對(duì)該方法的測(cè)量不確定度進(jìn)行了分析．對(duì)采用最小二乘多項(xiàng)式擬合、傅里葉級(jí)數(shù)擬合和三次樣條插值3種補(bǔ)償模型進(jìn)行了分析對(duì)比，由于分度誤差具有周期性特點(diǎn)，采用傅里葉變換的方法建立補(bǔ)償模型效果更好．

1 分度誤差檢定及測(cè)量不確定度分析

1.1 分度誤差來源

轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差主要包括圓光柵本身的制造誤差和機(jī)械裝配誤差等．

制造圓光柵的方法有機(jī)械刻畫法和光電式刻畫法．采用機(jī)械法刻畫圓光柵時(shí)，其刻畫誤差與圓刻機(jī)的蝸輪副誤差、傳動(dòng)鏈誤差、調(diào)整誤差等有關(guān)[3]．目前，常采用光電式刻畫法，主要有接觸式光刻法、接近式光刻法及投影式光刻法[4-5]，光電式刻畫法精度高，不受齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)誤差、蝸輪副的制造偏差等影響，其制造精度與制造工藝有關(guān)．圓光柵的制造誤差是以2π為周期的函數(shù)，因此可以將其展成傅里葉級(jí)數(shù)，即多次諧波疊加的形式．

裝配誤差包括圓光柵的安裝偏心、傾斜等，安裝偏心會(huì)引起一次諧波誤差，傾斜會(huì)引起二次諧波誤

差[6-9]．

以上各誤差分量都具有周期性，空間基周期為2π，因此，轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差函數(shù)為多次諧波的疊加．

1.2 誤差的檢定

為了補(bǔ)償轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差，首先需要對(duì)其進(jìn)行檢定．常用的檢定方法是以正多面棱體作為圓分度標(biāo)準(zhǔn)器，用自準(zhǔn)直儀進(jìn)行讀數(shù)測(cè)量．為了提高檢定精度，常采用全組合測(cè)量法，但全組合測(cè)量法工作量大，而且受多面棱體面數(shù)的限制，測(cè)量間隔不能太小．目前常用的多面棱體面數(shù)最多為72面，可達(dá)到的最小測(cè)量間隔為5°，且一個(gè)多面棱體只能實(shí)現(xiàn)一種或幾種角度間隔的測(cè)量．多齒分度臺(tái)具有較易獲得高的分度精度、對(duì)使用環(huán)境要求不高、操作簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn)，作為圓分度標(biāo)準(zhǔn)器可以實(shí)現(xiàn)較高的精度[10-12]．因此，本文利用多齒分度臺(tái)與平面反射鏡組合，形成一種可回轉(zhuǎn)的多角度基準(zhǔn)，能夠測(cè)量正多面棱體不能實(shí)現(xiàn)的角度間隔，且工作量小、精度高．

用多齒分度臺(tái)檢定轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的基本思想是：以多齒分度臺(tái)為分度基準(zhǔn)件、其回轉(zhuǎn)的角度作為標(biāo)準(zhǔn)角度，轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際轉(zhuǎn)過的角度與標(biāo)準(zhǔn)角度比較，由光電自準(zhǔn)直儀讀取角度偏差．其測(cè)量原理如圖1所示．

多齒分度臺(tái)安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)工作面的中心，平面反射鏡固定在多齒分度臺(tái)上，利用自準(zhǔn)直儀進(jìn)行瞄準(zhǔn)．測(cè)量時(shí)，先將被檢轉(zhuǎn)臺(tái)置零位，讀取自準(zhǔn)直儀的初始值f0，然后多齒分度臺(tái)及反射鏡隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)φ角度(φ=360°/n，n為整數(shù)，且需滿足φ是多齒分度臺(tái)最小分度間隔的整數(shù)倍，實(shí)驗(yàn)中采用360齒精密多齒分度臺(tái)，可實(shí)現(xiàn)的最小間隔為1°)，當(dāng)反射鏡隨多齒分度臺(tái)向相反方向回轉(zhuǎn)相同的角度后，光電自準(zhǔn)直儀再次瞄準(zhǔn)反射鏡并讀取測(cè)量值f1．兩次讀數(shù)之差即為該角度間隔的分度誤差Δφ=f1-f0=φ′-φ(其中φ′為轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)際轉(zhuǎn)過的角度)，如此順序?qū)Ω鞅粰z角度進(jìn)行測(cè)量(記第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)讀數(shù)為fi)，直至整周．各測(cè)量點(diǎn)讀數(shù)與初始值之差xi(xi=fi-f0)即是轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于零位的分度誤差．

圖1 檢測(cè)裝置示意Fig.1 Schematic diagram of detection device

1.3 不確定度分析

當(dāng)多齒分度臺(tái)存在安裝偏心時(shí)，通過分析可知，安裝偏心不會(huì)引起自準(zhǔn)直儀示值變化，僅使光線照射在反射鏡上的位置發(fā)生了改變?chǔ)．如果反射鏡存在平面度誤差，由位置變化引起的誤差與反射鏡的平面度有關(guān)．因此影響測(cè)量結(jié)果的因素主要有多齒分度臺(tái)的分度誤差和重復(fù)性誤差、光電自準(zhǔn)直儀的示值誤差和穩(wěn)定性誤差、反射鏡的平面度誤差以及外界環(huán)境的影響等．

本實(shí)驗(yàn)使用的360齒精密多齒分度臺(tái)分度誤差u1=0.3′′，重復(fù)性誤差u2=0.18′′；雙軸光電自準(zhǔn)直儀測(cè)量精度為u3=0.5′′，重復(fù)性誤差u4=0.3′′；反射鏡反射面寬度H=60,mm，平面度誤差δ=λ/8≈0.079 μm，當(dāng)光線偏離原來位置的距離ΔL=2,mm時(shí)，引入的誤差u5=8δΔLρ/H2=0.07′′，其中ρ=206265′′，表示1弧度對(duì)應(yīng)的秒值．

由于上述各項(xiàng)不確定度分量相互獨(dú)立，則合成不確定度(即測(cè)量不確定度)為

2 分度誤差補(bǔ)償模型的建立

轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差檢定后，給出的是一系列離散點(diǎn)的分度誤差，而在實(shí)施誤差修正時(shí)，補(bǔ)償點(diǎn)可能不在測(cè)量點(diǎn)上，需要對(duì)檢定結(jié)果進(jìn)行插值或擬合處理，找出轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差X與轉(zhuǎn)角θ之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，從而求得轉(zhuǎn)臺(tái)任意補(bǔ)償點(diǎn)處的分度誤差．?dāng)?shù)學(xué)上常用的擬合方法有最小二乘法、三次樣條法和分段多項(xiàng)式插值等．

最小二乘多項(xiàng)式擬合可以得到較高的精度，表達(dá)式唯一，易于計(jì)算，但當(dāng)擬合的曲線比較復(fù)雜時(shí)，多項(xiàng)式次數(shù)高，會(huì)產(chǎn)生Runge現(xiàn)象，導(dǎo)致擬合精度較低．因此，對(duì)于比較復(fù)雜的曲線，不適宜采用最小二乘法多項(xiàng)式擬合．

在用插值算法時(shí)，高次多項(xiàng)式插值會(huì)產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，數(shù)值穩(wěn)定性差，導(dǎo)致插值誤差增大；分段低次多項(xiàng)式插值簡(jiǎn)單、收斂性好，但在節(jié)點(diǎn)處光滑性較差．三次樣條插值(記為S(θ))不存在這些問題，它在每個(gè)子區(qū)間[θi,θi+1]上都是3次多項(xiàng)式，即S(θ)=aθ3+bθ2+cθ+d．三次樣條插值可以用較低的階數(shù)來對(duì)比較復(fù)雜的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并且在節(jié)點(diǎn)處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，從而可以保證光滑連接．

根據(jù)檢定得到的各節(jié)點(diǎn)處的分度誤差，可得插值函數(shù)

式中：θ為轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角；θi、θi+1分別為第i、i+1個(gè)檢定點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角；hi=θi+1-θi．以第一類邊界條件為例，mi可根據(jù)線性方程組(2)求得．

根據(jù)檢定得到的數(shù)據(jù)，由式(2)即可求得mi，代入式(1)可得到各子區(qū)間[θi,θi+1]上的3次多項(xiàng)式．為了求得轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角θ處的分度誤差，首先要判斷θ所在的區(qū)間，再將θ代入該區(qū)間上的3次多項(xiàng)式即可．

通過以上分析可知，三次樣條插值計(jì)算過程復(fù)雜，且由于在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中總是存在誤差，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行三次樣條插值，隨機(jī)誤差沒有被均化，影響擬合精度.

傅里葉級(jí)數(shù)是以三角函數(shù)表示的無窮級(jí)數(shù)，特別適合對(duì)周期性函數(shù)進(jìn)行描述，在工程技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[13-15]．設(shè)轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差為()Xθ，由于它是以2,π為周期的函數(shù)，根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)展開和收斂定理可知，()Xθ可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)，即

式中：k為諧波次數(shù)；a0、ak、bk為傅里葉系數(shù)．

式(3)由無限個(gè)諧波疊加而成，但由于在實(shí)際檢定時(shí)測(cè)量點(diǎn)數(shù)n有限，因此只能取有限項(xiàng)諧波疊加來逼近X(θ)．設(shè)傅里葉級(jí)數(shù)擬合中周期項(xiàng)個(gè)數(shù)為m(m≤[n/2])，則擬合得到的轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差函數(shù)F(θ)為

根據(jù)測(cè)量得到的離散數(shù)據(jù)，由式(5)求出傅里葉級(jí)數(shù)擬合方程中各系數(shù)，將各次諧波疊加，即可得到連續(xù)函數(shù)F(θ)．

由式(4)和式(5)可知，傅里葉級(jí)數(shù)擬合模型計(jì)算過程簡(jiǎn)單，能很好地反映數(shù)值的周期現(xiàn)象，對(duì)復(fù)雜曲線的擬合能力強(qiáng)；根據(jù)擬合函數(shù)中各次諧波的幅值大小，可以為加工者尋找、分析誤差源，也可為使用者尋求最佳使用方法提供有用的信息，而且傅里葉級(jí)數(shù)擬合可以抑制測(cè)量數(shù)據(jù)中隨機(jī)誤差的影響．在擬合過程中由于m的取值受測(cè)量點(diǎn)數(shù)n的限制(m≤n/2)，因此，擬合精度與n有關(guān)，當(dāng)精度要求較高時(shí)，需要通過適當(dāng)增大n值來獲得較高的擬合精度．

通過以上的分析可知，3種模型各有優(yōu)缺點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)擬合對(duì)象的特點(diǎn)來選擇合適的擬合模型．

誤差檢定時(shí)選定測(cè)量間隔為5°，測(cè)量得到的離散數(shù)據(jù)及經(jīng)諧波分析得到的各次諧波幅值大小如圖2所示．

圖2 轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差檢定結(jié)果Fig.2 Test results of indexing error

表1 3種模型擬合結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of three kinds of fitting models (″)

由圖2可知，檢定得到的離散數(shù)據(jù)比較復(fù)雜，因此，不適宜采用最小二乘多項(xiàng)式擬合．轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差為周期函數(shù)，是以2π為基周期的多次諧波的疊加，而三次樣條插值不能反映數(shù)據(jù)的周期性．由圖2(b)諧波分析結(jié)果可以看出，轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差以低次諧波為主，由于傅里葉級(jí)數(shù)適用于對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行描述，對(duì)復(fù)雜曲線的擬合能力強(qiáng)，針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的周期性、誤差來源以及數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度等特點(diǎn)，選擇傅里葉級(jí)數(shù)作為轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的擬合模型．

為了驗(yàn)證傅里葉級(jí)數(shù)擬合方法的有效性和可行性，本文針對(duì)檢定數(shù)據(jù)分別建立了轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的最小二乘多項(xiàng)式擬合模型、傅里葉級(jí)數(shù)擬合模型和三次樣條插值模型，并對(duì)它們的擬合效果進(jìn)行了比較．

為了使比較具有一般性，從0°起每隔18°或17°選取比較點(diǎn)，從而使選取的點(diǎn)既包括檢定點(diǎn)也包括中間點(diǎn)．分別根據(jù)3種模型計(jì)算各點(diǎn)的分度誤差值，與實(shí)測(cè)得到的數(shù)據(jù)對(duì)比，求得各點(diǎn)的殘差，數(shù)據(jù)見表1，殘差曲線如圖3所示．

擬合精度由殘差平方和來評(píng)定，認(rèn)為殘差平方和越小，曲線的擬合效果越好[15]．通過計(jì)算求得最小二乘法擬合殘差平方和為17.08，傅里葉級(jí)數(shù)擬合為1.35，三次樣條插值為0.83．通過對(duì)比可以看出，傅里葉級(jí)數(shù)比最小二乘多項(xiàng)式擬合精度高，與三次樣條插值模型的擬合結(jié)果很接近．由于三次樣條插值函數(shù)需要求解線性方程組，且對(duì)于給定的θ角，需要判斷θ所在的區(qū)間，計(jì)算過程復(fù)雜[16]；傅里葉級(jí)數(shù)擬合中，根據(jù)式(5)可求得各次諧波的系數(shù)，再將θ代入式(4)求解即可得到轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角為θ時(shí)的分度誤差，易于計(jì)算，且能體現(xiàn)分度誤差的周期性，因此，選擇傅里葉級(jí)數(shù)()Fθ作為轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的擬合模型，是一種簡(jiǎn)單有效的數(shù)據(jù)處理方法．

圖3 殘差曲線Fig.3 Residual curves

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在對(duì)分度誤差進(jìn)行檢定和擬合完成以后，就可以對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償．誤差補(bǔ)償后對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差進(jìn)行5次測(cè)量，并對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)反轉(zhuǎn)時(shí)的補(bǔ)償效果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)．補(bǔ)償前后的分度誤差曲線如圖4所示(補(bǔ)償后測(cè)量點(diǎn)數(shù)n為144)．可以看出，補(bǔ)償前轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差最大值為17.82''；補(bǔ)償后正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)時(shí)分度誤差大部分分布在±0.5"之間，且具有隨機(jī)性，與補(bǔ)償之前相比，定位精度得到了明顯的改善．5次測(cè)量中最大分度誤差的平均值為2.36''，重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差(用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表示)σ=0.40"．該重復(fù)性誤差是由轉(zhuǎn)臺(tái)本身的重復(fù)性、測(cè)角系統(tǒng)的重復(fù)性誤差(包括自準(zhǔn)直儀讀數(shù)重復(fù)性、多齒分度臺(tái)測(cè)角重復(fù)性等)以及環(huán)境等因素引起的．通過以上的分析可知，該補(bǔ)償方法對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)正、反轉(zhuǎn)時(shí)都適用，且重復(fù)性較好．

圖4 誤差補(bǔ)償效果Fig.4 Effect of error compensation

4 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的來源進(jìn)行了分析，利用多齒分度臺(tái)和雙軸光電自準(zhǔn)直儀對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的分度誤差進(jìn)行檢定，根據(jù)諧波分析的結(jié)果和分度誤差的周期性等特點(diǎn)以及數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度，選擇傅里葉級(jí)數(shù)擬合作為轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差的補(bǔ)償模型．與其他兩種模型相比，該模型計(jì)算簡(jiǎn)單且適用于對(duì)周期性函數(shù)的描述．對(duì)3種模型的擬合效果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，傅里葉級(jí)數(shù)具有較高的擬合精度．最后，對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)分度誤差進(jìn)行補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，補(bǔ)償后效果很好，大大提高了轉(zhuǎn)臺(tái)的分度精度，從而驗(yàn)證了分度誤差模型的合理性和正確性．

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(責(zé)任編輯：趙艷靜)

Check of Indexing Error for Turntable and Establishment of Its Compensation Model

Guo Jingbin1，Cao Hongyan1，Wang Kexin2，Qi Yongyue1
(1. State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Wenzhou Institute of Measurement Technology，Wenzhou 325000，China)

Error compensation method is an economical and effective technical measure to improve the indexing accuracy for turntable. The indexing error was checked by comparison method，and the measurement uncertainty was also analyzed in this paper. According to the periodicity of indexing error and the harmonic analysis results，and combined with the characteristics of least square method，cubic spline interpolation and Fourier series，this paper chooses Fourier series as the compensation model for turntable indexing error and compares the fitting effects of the three models. By using the Fourier series，the maximum indexing error is 2.36″ after compensation the turntable with 17.82″，which has verified the validity and feasibility of the compensation model.

indexing error；check；data fitting；Fourier series；compensation model

TB922

A

0493-2137(2014)06-0524-06

10.11784/tdxbz201207027

2012-07-09；

2012-10-12.

天津市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10JCYBJC06600).

郭敬濱（1959— ），男，副教授.

郭敬濱，guojingbin@tju.edu.cn.