晶界能各向異性晶粒長大的計(jì)算機(jī)模擬

王 浩，張金山，宗喜梅，牛曉峰，許春香，趙達(dá)文

（1.太原理工大學(xué)，山西太原 030024；2.太原科技大學(xué)，山西太原 030024）

正常晶粒長大可以發(fā)生在形變試樣初次再結(jié)晶后續(xù)過程中，即發(fā)生于形變試樣初次再結(jié)晶完成后的退火過程中，也可以發(fā)生于無原始形變試樣的退火處理過程中[1]。晶粒長大過程中微觀組織的演化直接影響著多晶材料的性能，晶粒的平均晶粒尺寸，晶粒尺寸分布，晶粒形狀和結(jié)構(gòu)等參數(shù)與多晶材料的力學(xué)性能有著密切關(guān)系。由于晶粒長大過程中微觀組織演化的物理實(shí)驗(yàn)研究難度大、耗時(shí)費(fèi)力，計(jì)算機(jī)模擬的應(yīng)用為組織演化的研究提供了一種有效的途徑[2]。

截止目前，已有多種模型應(yīng)用于晶粒長大的模擬過程中，其中比較常見的有相場法、蒙特卡洛法、元胞自動(dòng)機(jī)法（CA）[3,4]等。CA的優(yōu)勢在于描述復(fù)雜物理系統(tǒng)離散空間、時(shí)間上的演化規(guī)律，具有很高的效率和三維擴(kuò)展性，由于其靈活性及編程容易實(shí)現(xiàn)性，CA在凝固[5]、再結(jié)晶[6]、晶粒長大等方面都有廣泛的應(yīng)用。本文通過CA模型研究了正常晶粒長大過程，探討了晶粒相貌，晶粒長大動(dòng)力學(xué)及拓?fù)鋵W(xué)關(guān)系。所得結(jié)論與理論預(yù)測及實(shí)驗(yàn)研究得到的結(jié)果相符合，對于晶粒長大控制有一定參考意義。

1 元胞自動(dòng)機(jī)模型的建立

1.1 轉(zhuǎn)變規(guī)則的確定

正常晶粒長大的元胞自動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)變規(guī)則大多基于Metropolis算法（模擬退火算法），本文在Metropolis算法基礎(chǔ)上，引入晶界能各向異性函數(shù)，由此得到改進(jìn)后基于晶界能各向異性的CA轉(zhuǎn)變規(guī)則如下：

（1）遍歷全部元胞，如果搜索到晶界元胞，計(jì)算當(dāng)前元胞i與鄰居元胞之間的能量Ei,old：

式中：δ為Kronecker δ函數(shù)；j為元胞i的第j個(gè)鄰居；Si為元胞i的取向數(shù)；Sj為元胞i的第j個(gè)鄰居的取向數(shù)；為元胞i與其第j個(gè)鄰居元胞之間的晶界能。

考慮到晶界能的各向異性，引入晶界能的表達(dá)式如下所示[7]：

式中：θm為大角度晶界，本文取 15°；γm為大角度晶界能，本文選取0.625 J?m-2；為當(dāng)前元胞與第j個(gè)鄰居元胞的取向差，當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，=θ，當(dāng)π＜θ≤2π，=2π－θ。

（2）判斷轉(zhuǎn)變之后的能量差ΔE。找到與當(dāng)前元胞取向數(shù)不同的鄰居元胞，將新的取向值賦予當(dāng)前元胞，計(jì)算轉(zhuǎn)變之后新的能量Ei,new，得到ΔE＝Ei,new－Ei,old。

（3）概率性轉(zhuǎn)變機(jī)制。若ΔE＜0，則使系統(tǒng)自由能降低，此時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率p=1；若ΔE=0，此時(shí)系統(tǒng)自由能不變，元胞狀態(tài)可能轉(zhuǎn)變也可能保持原來狀態(tài)，此時(shí)給定狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率p=0.125（1/8,Moore型鄰居元胞數(shù)的倒數(shù)）；若ΔE＞0時(shí)，系統(tǒng)的自由能升高，不接受此時(shí)的轉(zhuǎn)變，元胞保持原來的狀態(tài)，此時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率p=0。總的來說，元胞的轉(zhuǎn)變規(guī)則可以表示為：

1.2 模擬初始參數(shù)設(shè)定

本文選取模擬區(qū)域?yàn)?.6 mm×0.6 mm，將模擬區(qū)域劃分為300×300的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格的尺寸為2 μm，鄰居類型采取Moore型，邊界條件為周期性邊界條件。J.GEIGER等人[8]研究表明：當(dāng)取向數(shù)大于64時(shí)，可以有效地避免這種碰撞后晶粒變大的現(xiàn)象。因此，在本文中設(shè)定最大取向數(shù)Q為96?？紤]到模型的隨機(jī)性，取3次模擬結(jié)果的統(tǒng)計(jì)平均值作為模擬定量結(jié)果。

2 模擬結(jié)果與討論

2.1 晶粒顯微組織演化

圖1所示為晶粒長大過程中不同時(shí)刻的晶粒組織演化圖?？梢钥闯觯S著模擬時(shí)間的增加，大晶粒逐漸長大，小晶粒逐漸縮小，平均晶粒尺寸增大，總的晶粒數(shù)量減少，晶界趨于平直，在晶粒長大過程中觀察到兩個(gè)重要的拓?fù)渥兓壕Я５南?，即大晶粒通過吞噬小晶粒而長大；晶粒鄰居的變化。

2.2 晶粒長大動(dòng)力學(xué)

晶粒正常長大服從冪函數(shù)關(guān)系動(dòng)力學(xué)[9]，如圖2所示為晶粒尺寸隨模擬時(shí)間的變化及其對數(shù)分析曲線，其中擬合對數(shù)分析曲線得到的斜率即為晶粒長大指數(shù)。

圖1 不同時(shí)間步晶粒長大組織演化

從圖2.a知，在模擬開始階段處于不穩(wěn)定階段，當(dāng)模擬時(shí)間步（CAS）大于100步后基本進(jìn)入穩(wěn)態(tài)長大階段。由圖2.b得到的晶粒長大指數(shù)為0.399，得到的晶粒長大指數(shù)比理論值低，因?yàn)槔碚撝凳窃诶硐霔l件下得到的，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)及模擬中受到晶界能各向異性的影響，實(shí)驗(yàn)值和模擬值比理論值略低。模擬得到的晶粒長大指數(shù)與Hsun Hu, B.B.Rath[10]研究等溫條件下鉛的晶粒長大指數(shù)0.4接近；比等溫條件下鋯的晶粒長大指數(shù)0.35略高。此外，晶粒長大指數(shù)的大小受到多個(gè)因素的影響，比如模擬時(shí)間步，模擬區(qū)域大小，轉(zhuǎn)變規(guī)則，元胞尺寸等。

圖2 平均晶粒尺寸隨模擬時(shí)間變化(a)，及其對數(shù)分析曲線lnR-lnt圖(b)

2.3 相對晶粒尺寸及晶粒邊數(shù)的分布

通過對CA模擬結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，得到了晶粒尺寸分布和晶粒邊數(shù)分布，如圖3所示。從圖3.a以看出，最大頻率在（R/Rm）≈1.0，說明大多數(shù)晶粒尺寸分布于平均晶粒尺寸附近。當(dāng)（R/Rm）＞2.6的晶粒出現(xiàn)頻率很低，即沒有出現(xiàn)異常長大的晶粒，這進(jìn)一步表明晶粒的生長特點(diǎn)符合正常長大規(guī)律。從圖3.b看出，晶粒邊數(shù)基本上分布在4～8之間，邊數(shù)小于3和大于9的晶粒很少，其中6邊形晶粒最多。從圖中可以看出，不論是晶粒尺寸分布曲線還是晶粒邊數(shù)分布曲線，不同時(shí)刻分布曲線的重合度非常高，說明晶粒尺寸分布、晶粒邊數(shù)分布具有很好的時(shí)間不變性特點(diǎn)，模擬結(jié)果與正常晶粒長大理論相符合。

圖3 不同模擬時(shí)間步的晶粒統(tǒng)計(jì)分析(a)相對晶粒尺寸分布；(b)晶粒邊數(shù)分布

3 結(jié)論

（1）考慮實(shí)際晶體中晶界能的各向異性，引入晶界能各向異性函數(shù)，建立了晶界能各向異性的二維元胞自動(dòng)機(jī)模型，得到了晶粒組織演化圖，此模型具有更好的物理基礎(chǔ)。

（2）模擬得到的晶粒生長指數(shù)為0.399，并與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了對比，模擬結(jié)果能準(zhǔn)確反映晶粒生長動(dòng)力學(xué)規(guī)律。

（3）晶粒拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化主要表現(xiàn)為晶粒的消失和晶粒鄰居的變化。晶粒長大過程中大晶粒吞并小晶粒，平均晶粒尺寸增大，晶粒組織中6邊形晶粒居多，晶粒尺寸分布和晶粒邊數(shù)分布呈現(xiàn)了時(shí)間不變性。本文的CA模型能為等溫退火晶粒組織演化的控制提供一定指導(dǎo)作用。

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