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    用定義法解決圓錐曲線問題在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

    2014-06-04 17:06:32王蓬
    成才之路 2014年12期
    關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線雙曲線焦點(diǎn)

    王蓬

    請看例題:例1:如圖1,已知橢圓C:■+■=1,左右焦點(diǎn)分別為M、N。點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)H在線段MP的延長線上,且NP=PH,求點(diǎn)H的軌跡。

    分析:剛看到這道題目的時(shí)候,好多同學(xué)可能無從下手,覺得好復(fù)雜??!好多同學(xué)的解題思路會是這樣的:先假設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)M(3,0)、N(-3,0),PM、PN的長度就都能計(jì)算出來了,而且直線MP的方程也能計(jì)算出來了,這樣可以設(shè)出點(diǎn)H的坐標(biāo),然后利用NP=PH進(jìn)行化簡??墒莿倓傋龅竭@里的時(shí)候,好多同學(xué)就不想再做下去了,因?yàn)樾问教珡?fù)雜了??墒俏覀冊俸煤萌シ治鲆幌逻@道題目,因?yàn)樗菣E圓,既然是橢圓,那么橢圓上任意一個(gè)點(diǎn)到M、N的距離之和不是一個(gè)定值嗎。這樣一來思路來了。

    例2:如圖2,已知點(diǎn)Q為雙曲線C:■-■=1上的一個(gè)點(diǎn),G,H為左右焦點(diǎn),且QG⊥QH,求點(diǎn)Q到x軸的距離。

    分析:當(dāng)我們看到這道題目的時(shí)候,大家第一反應(yīng)是求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),因?yàn)辄c(diǎn)Q到x軸的距離就是點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的絕對值,這樣一來,我們可以假設(shè)點(diǎn)Q(x,y),又G(-5,0)、H(5,0),所以我們可以得出■=(x+5,y),■=(x-5,y),因?yàn)镼G⊥QH,所以■·■=0,所以(x+5,y),(x-5,y)=0,即x2+y2-25=0。又因?yàn)椤?■=1,將這兩個(gè)式子進(jìn)行聯(lián)立,就可以解除y,而點(diǎn)Q到x軸的距離便是y。這種方法相當(dāng)不錯(cuò)的,可是里面運(yùn)算不是很簡便,而且容易出錯(cuò),尤其是含有平方,運(yùn)算要相當(dāng)小心。那么有沒有既方法簡單又運(yùn)算簡便的思路呢?

    點(diǎn)評:當(dāng)我們看完這道題目的時(shí)候,我們會發(fā)現(xiàn)這道題目里面用到了雙曲線的定義,就是雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值,并且解答中采用的方程變形十分巧妙,最后運(yùn)用了直角三角形面積計(jì)算兩次的方法,成功得到了點(diǎn)Q到x軸的距離。而開始“分析”中的這種方法比較普遍,而且運(yùn)算不簡單。因此,這道題目充分體現(xiàn)了雙曲線定義的數(shù)學(xué)應(yīng)用。

    例3:如圖3,已知拋物線C∶y2=4x,它的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,直線m為y=x+2,點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為H1,點(diǎn)P到直線m的距離為H2,求H1+H2的最小值。

    分析:當(dāng)我們剛看到這道題目的時(shí)候,會想到,既然點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為H1,那么點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為H1+1,所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離也為H1+1,過點(diǎn)P作PH⊥m于H,最終要求的即為PF+PH-1,因此,只要求出PF+PH的最小值就可以了。

    下面,我們就給出這道題目的詳細(xì)解答過程:

    解:由條件的F(1,0),準(zhǔn)線l∶x=-1, 將y=x+2代入y2=4x中得:x2+4=0,該方程無解,所以直線m與拋物線C無公共點(diǎn)。因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為H1,所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為H1+1,點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離也為H1+1,過點(diǎn)P作PH⊥m于H,所以H1+H2=PF+PH-1。當(dāng)F、P、H三點(diǎn)共線時(shí),PF+PH的值最小,PF+PH的最小值就是點(diǎn)F(1,0)到直線m的距離。由點(diǎn)到直線距離公式可得:d=■=■=■■,所以H1+H2的最小值為■■-1。

    點(diǎn)評:本題中用到的思想方法還是比較多的,而且比較靈活,不大容易想到。首先利用了拋物線的定義,其次在求解PF+PH的最小值的時(shí)候,運(yùn)用了“三角形兩邊之和大于第三邊,直角三角形中斜邊大于直角邊”這一知識點(diǎn),最后介入了點(diǎn)到直線距離公式。

    (江蘇省宜興市官林中學(xué))

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