新形勢(shì)下數(shù)列教學(xué)改革探索

謝培城

摘 要：在新的形勢(shì)下，教育工作者既要把課堂交還給學(xué)生，又要促進(jìn)課堂教學(xué)的效益的高效化，向課堂要質(zhì)量。數(shù)列在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中是一個(gè)基本的數(shù)學(xué)模型，也是學(xué)生所必須掌握的內(nèi)容之一。教師要結(jié)合在數(shù)列教學(xué)中革新教育理念和教學(xué)方法的實(shí)踐經(jīng)歷，圍繞如何提高高中學(xué)生數(shù)學(xué)課堂探究學(xué)習(xí)的有效性進(jìn)行探索。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；等比數(shù)列；發(fā)散思維

分析研究近年來(lái)的全國(guó)各省市高考原題，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列知識(shí)占據(jù)了10%～15%的比例。其中既有選擇題，也有解答題，甚至多數(shù)還處于壓軸題的位置。所考查的知識(shí)點(diǎn)涉及數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推數(shù)列乃至導(dǎo)數(shù)，同時(shí)也映射到相關(guān)的分類討論思想等一些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用?？梢?jiàn)數(shù)列的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位何等重要。本文根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從新課改的標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)，探討了相關(guān)的教育教學(xué)方法。

一、重視思想促探究

數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)其意義不僅僅在于掌握一些新的數(shù)學(xué)工具，建構(gòu)一些新的數(shù)學(xué)模型，數(shù)列的學(xué)習(xí)探究過(guò)程中還包含了很多的數(shù)學(xué)思想和方法。其中包括數(shù)學(xué)歸納法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等數(shù)學(xué)方法，另外還有方程與函數(shù)思想、類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想等等數(shù)學(xué)思想。重視這些思想方法的應(yīng)用滲透，有助于教師從根本上把握數(shù)列這一章的教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生夯實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功，從而使其舉一反三，將高中乃至今后要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。教學(xué)中，教師要結(jié)合清晰的引導(dǎo)和展示，讓學(xué)生逐步體會(huì)這些思想方法的特點(diǎn)，掌握他們適用的具體情境，并激勵(lì)學(xué)生積極使用這些知識(shí)去解決問(wèn)題。

如在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式時(shí)，為了更好地讓學(xué)生感受到成功的體驗(yàn)，教師先講述了高斯少年時(shí)代快速求解1到100的自然數(shù)之和的故事，然后讓學(xué)生思考，高斯的方法對(duì)于我們今天的數(shù)列學(xué)習(xí)有沒(méi)有提示。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：其實(shí)1到100的自然數(shù)也是一個(gè)等差數(shù)列，于是他們開(kāi)始研究高斯的解題思路。之后，教師出示了探究要求，即“已知等差數(shù)列{2，4，6，8，10，12}，能快速求出它們的和嗎？”題目很簡(jiǎn)單，學(xué)生在故事積淀的基礎(chǔ)上很快列式求和：3（2+12）=72。然后教師又出示了第二個(gè)習(xí)題“求等差數(shù)列{2，4，6，8，10，…2n}的和Sn”。有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生快速求出“Sn=n（n+1）”。顯然，這只是教師在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)等差數(shù)列求和的一般公式之前所做的一些熱身工作，隨后教師出示了“求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn”的命題，學(xué)生開(kāi)始了自主探究：Sn=a1+a2+a3+…+an=■ 。這個(gè)過(guò)程教師應(yīng)用了類比遷移思想，把學(xué)生一步步由特殊化的數(shù)列求和引向一般化的數(shù)列求和。為了更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的掌握和領(lǐng)悟，教師又幫助學(xué)生展示了使用倒序相加法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的過(guò)程，學(xué)生收獲的不只是一個(gè)等差數(shù)列求和公式，更重要的是基本的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

顯然，學(xué)生要面對(duì)的不僅僅是這樣單純的數(shù)學(xué)推理，因此教師在課堂中又設(shè)計(jì)了如下例題讓學(xué)生解答以體驗(yàn)并鞏固所學(xué)知識(shí)。

【例1】求和： ■+■+■+…+■+■。

這道例題并不能單純地使用等差數(shù)列求和公式來(lái)解答，由于教師在教學(xué)中的訓(xùn)練重點(diǎn)在于數(shù)學(xué)思想習(xí)慣的養(yǎng)成，所以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)不僅僅停留在等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用方面，略加觀察便發(fā)現(xiàn)其實(shí)本題要使用倒序相加的方法來(lái)解答的。

解：原式為①，將原式倒寫(xiě)得到②式，①+②=10×1，因此Sn=5。

數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)傳授相結(jié)合的探究使得學(xué)生在第一時(shí)間就獲得了廣泛深入的知識(shí)訓(xùn)練，其思維能力也從單純的概念性知識(shí)轉(zhuǎn)化為內(nèi)化的數(shù)學(xué)能力。

二、橫向遷移織網(wǎng)絡(luò)

在實(shí)際生活中，任何問(wèn)題都不能夠依靠單純的某項(xiàng)知識(shí)來(lái)解答，往往是綜合在一起的。數(shù)列本身與函數(shù)、方程、不等式乃至解析幾何、導(dǎo)數(shù)都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，它們綜合在一起就會(huì)轉(zhuǎn)化為比較復(fù)雜的多元化問(wèn)題。而縱觀歷年的高考題，為難學(xué)生的往往正是這些題目。因此，在引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)時(shí)，教師還要注重各方面數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用。通過(guò)這樣的綜合性訓(xùn)練，能讓學(xué)生的思維不斷向?qū)捥幭蚩v深處延伸拓展，最終培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，提高分析解決問(wèn)題的能力。

【例2】函數(shù)f（x）=■；記an=f（0）+f （■）+f （■）+…+f（■） +f（1）；（n∈N+），求an并求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和。

【解析】此題是函數(shù)與數(shù)列組合而成的一道綜合型題目，一方面要研究函數(shù)的性質(zhì)，另一方面要求數(shù)列的通項(xiàng)式并求和。這樣的綜合訓(xùn)練，把學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)都糅合了進(jìn)去，形成層層嵌套的結(jié)構(gòu)，需要學(xué)生逐層剝解，同時(shí)重在訓(xùn)練學(xué)生的知識(shí)遷移能力。

記①=an=f（0）+f （■）+f （■）+…+f（■） +f（1）。

②=an=f（1）+f（■）+…f （■） +f （■）+f（0）。

則①+②=2an=（n+1）·[f（1）+f（0）]。

∵f（x）=■，∴f（1）=■=■，f（0）=■=■?！郺n=■。

∴Sn=■=■·（■+■ ）=■。

【例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na+n（n-1）b；（n∈N）。a、b是常數(shù)且b≠0。

（1）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

（2）證明：以（an，■-1） 為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn（n∈N）都落在同一條直線上，并求出此直線的方程。

【解析】顯然，第一小題是對(duì)等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，而第二小題則結(jié)合了解析幾何的知識(shí)來(lái)考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列和解析幾何知識(shí)是否能夠熟練應(yīng)用。第一小題可用“裂項(xiàng)相消”的方法來(lái)進(jìn)行一般性計(jì)算證明。

（1）證明：∵ Sn=na+n（n-1）b，∴ Sn-1=（n-1）a+（n-1）（n-2）b，∴ an=

Sn-Sn-1=a+2b（n-1），∴ an-1=a+2b（n-2），∴ an-an-1=2b。結(jié)合題意b是常數(shù)且b≠0，可知數(shù)列{an}各項(xiàng)之間存在公差2b，即數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

（2）證明：∵ b≠0，當(dāng)n≧2時(shí)，有■=■。

∴ Pn（an，■-1） 都落在通過(guò)P1（a，a-1）且斜率為■的直線上。

由點(diǎn)斜式可得此直線方程為y-（a-1）=■（x-a），整理得到：x-2y+a-2=0。

特別是例3中第二小題，在解題構(gòu)思的過(guò)程中，要根據(jù)直線表達(dá)式的特征來(lái)列關(guān)系式，然后在計(jì)算時(shí)又要根據(jù)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)帶入通式和數(shù)列求和表達(dá)式，在這樣的融合中，知識(shí)已經(jīng)幾乎不能分清界限了。在引導(dǎo)探究的過(guò)程中，教師要鍛煉學(xué)生的知識(shí)層次感，讓他們知道當(dāng)兩層知識(shí)相套時(shí)誰(shuí)是主導(dǎo)的工具，誰(shuí)是輔助的方法。而這種體驗(yàn)，只有在長(zhǎng)期的培養(yǎng)中才能讓學(xué)生越來(lái)越明確的掌握，并用以指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí)實(shí)踐。

三、講練結(jié)合促效果

在以學(xué)生為主導(dǎo)的探究式課堂中，教師的講解也不可或缺，但是講解要注意把持好度，一般幫助學(xué)生分析并點(diǎn)明要害即止，要給學(xué)生留足思考的時(shí)間。要有講解，但是教師也要善于甚至敢于等待，在我們點(diǎn)明題目主旨之后，學(xué)生的思維需要一定的緩沖和適應(yīng)時(shí)間，所以大可不必為他們突如其來(lái)的靜默而擔(dān)心。講練式的學(xué)習(xí)必須結(jié)合一題多解原則，盡可能地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維進(jìn)而熟練掌握難點(diǎn)知識(shí)。

【例4】若一個(gè)等差數(shù)列前三項(xiàng)和是34后三項(xiàng)和是146，所有項(xiàng)的和是390，那么這個(gè)數(shù)列有（ ）項(xiàng)？A.13 B.12 C.11 D.10

【解析】該題由于題目條件較為單純，且已知因素是多元的，因此其突破口比較多。整體可以考慮這樣的兩種思路：其一，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，我們可以先算出首尾兩項(xiàng)的和值，然后計(jì)算項(xiàng)數(shù)。其二，根據(jù)等差數(shù)列各項(xiàng)與公差之間的關(guān)系列出一系列表達(dá)式，做進(jìn)一步計(jì)算。其三，利用高斯求解1到100自然數(shù)之和的方法進(jìn)行推測(cè)，也可迅速得出結(jié)論。

解法一：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=■=30；■=7；7+6=13。

解法二：設(shè)a1為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)則列出方程組：

解na1+d=3903（a1+d）=34n（a1+d）=146 ，可得n=13。

解法三：因已有六項(xiàng)之和為180，剩余項(xiàng)之和為210，大于180，因此中間項(xiàng)數(shù)應(yīng)大于6，觀選項(xiàng)應(yīng)該大于12，因此選A。

此題簡(jiǎn)易，但是足可說(shuō)明一題多解的訓(xùn)練給學(xué)生的思維帶來(lái)了什么樣的影響。一方面要立足于基本的數(shù)列性質(zhì)和數(shù)列特點(diǎn)，另一方面要有敏銳的洞察力和對(duì)比能力，只有這樣才能高效地完成解題任務(wù)。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)的改革是一項(xiàng)系統(tǒng)的復(fù)雜工程，涉及到教學(xué)過(guò)程的方方面面。因此，教師要充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性，把素質(zhì)教育的思想貫穿到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，以更好地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)新思維能力，使高中數(shù)學(xué)在培養(yǎng)創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等方面發(fā)揮更大的作用。

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（廣東省河源市龍川縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）