淺議基本幾何體的表面取點

余元

【摘要】學(xué)生在學(xué)習(xí)截交線、相貫線時往往感到很困難，那么其主要的原因是對形體分析和基本體表面取點的投影規(guī)律掌握不好，因此，本文通過對基本幾何體的表面取點進行分析，旨在讓學(xué)生掌握表面取點的方法及提高制圖實際運用的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

【關(guān)鍵詞】基本體；表面取點；機械制圖

在中等職業(yè)技術(shù)教育中，《機械制圖》作為一門專業(yè)覆蓋面極為廣泛的重要技術(shù)基礎(chǔ)課，其基本要求是讓學(xué)生能夠用圖形表達物體的形狀，并由已經(jīng)畫好的圖樣想象物體的形狀，初步掌握識讀和繪制機械圖樣的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力?；倔w表面取點不僅形象地反映了形體的各個方位，開拓了學(xué)生的思維空間，并且為求截交線和相貫線奠定了堅實的基礎(chǔ)，本文通過對基本體表面取點的分析論述，旨在讓學(xué)生正確理解和運用表面取點。

一、點的投影規(guī)律

任何物體都是由面（平面和曲面）組成的，而面又是由線或者說由點組成的。因此要分析基本體的表面取點，很有必要首先闡述一下點的投影規(guī)律。

點的投影規(guī)律是：點的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，點的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸；點的H面投影至OX軸的距離等于其W面投影至OZ軸的距離。簡單地說點的投影規(guī)律就是“長對正、高平齊、寬相等”的投影規(guī)律。視圖中物體表面上的點都滿足點的投影規(guī)律。

二、點、線、面的重要性原理

如果空間點A在某面P上，則該點A的投影一定在面P的同面投影上；如果空間點A在線L上，則該點A的投影一定在線L的同面投影上；如果線L在面P上，則線L的投影一定在面P的同面投影上。這就是說點、線、面的重要性原理，我們在作圖和分析時一定要靈活運用它。

三、基本體的表面取點

任何物體都有可以看成是由若干個基本體組合而成的，基本體包括平面體和曲面體兩類。平面體的每個表面都是平面，如棱柱，棱錐；曲面體至少有一個表面是曲面，如圓柱體、圓錐體、圓球和圓環(huán)體等。

1、表面取點的方法

表面取點首先要對基本體進行形體分析，明確研究點所處的面是平面還是曲面，是一般位置還是特殊位置面，只有注意了點所處表面的特性，才可以選擇正確而又快捷的方法。

（1） 特殊位置面上的點的取點方法（積聚性法）

如果所求的點處于特殊位置面上，在進行表面取點時，按照點的投影規(guī)律，從點的已知投影入手，首先找出該點所處面的具有積聚性的視圖上的對應(yīng)投影，然后運用“長對正、高平齊、寬相等”求出該點的第三投影。在三個視圖中，如果面處于可見位置，則該面上點的同面投影也是可見的，反之為不可見，在標(biāo)注時一定要注意點的可見性。

（2）一般位置面的點的取點方法（輔助法）

一般位置面上的點在進行表面找點時往往比較困難，也是同學(xué)們感到頭痛的，但只要我們靈活運用下述方法，我想都是可以解決的。

輔助直線法：如果某點在椎體的一般位置面上，可以過頂點和已知點作一條輔助直線，求出該直線在基本體表面的投影，并利用點線面重屬性原理，即可求出該點其余投影。

輔助圓法：如果某點在旋轉(zhuǎn)體的一般位置表面，可以過該點作一個垂直于旋轉(zhuǎn)軸的緯圓，求出該緯圓的基本體表面上的投影，并利用點線面重屬性原理，即可求出該點其余投影。

2、表面取點的應(yīng)用

（1）平面立體表面取點

下面我們以棱錐為例分析平面表面之點。

圖1所示，已知棱錐面△SAC上點M的V面投影（m′）（不可見），求作m和m′′的作圖過程。由分析可知點M所在棱面△SAC為側(cè)垂面，屬于特殊位置平面，該面在W面的投影具有積聚性，故首先運用“高平齊”作出點M的側(cè)面投影m′′，再運用“長對正，寬相等”作出點M的水平投影m。如圖2所示，已知三棱錐面上的點M的V面投影m′（可見），求作另外兩面投影的作圖過程。由分析可知點M所在表面△ABC為一般位置平面，故要用輔助線法作圖。過錐頂S和點M作輔助直線SD，具體作圖步驟：連接s′m′，并延長a′b′于d′，得輔助線SD的V投影s′d′，再利用“長對正”求出SD的H面投影sd上，由點線面的重屬性原理可知水平投影m必在sd上，因此利用“長對正”可求得點M在H面的水平投影m。點M的W面投影m′′，則利用“寬相等，高平齊”作s′′d′′求得，也可利用“寬相等，高平齊”由m′和m直接求出。

（2） 曲面立體表面取點

下面以圓錐為例來分析曲面表面之點。

圖3

如圖3所示，已知圓錐面上一點M的V面投影m′，求作點M的H面投影m和W面投影m′′。由分析可知點M在一般位置平面上，要運用輔助線法作圖。具體作圖過程：過m作圓錐軸線的垂直線，交圓錐左右輪廓線于ab，得輔助緯圓的V面投影。再作輔助緯圓的H面的水平投影（以s為圓心，a′b′為直徑畫圓）。運用“長對正”由m′求得m，再運用“寬相等，高平齊”求點M在W面的投影m′′（不可見）

3、關(guān)于表面取點的幾點說明

立體表面取點的關(guān)鍵在于運用形體分析，明確研究點的位置。

因此表面取點過程如下：

（1） 分析三視圖，確定立體形狀

（2） 確定點所在的面或線

（3） 根據(jù)點所在面或線的特點，確定其求法

①點所在面的某一投影具有積聚性，直接利用投影關(guān)系求另外兩投影。

②點所在面的所有投影都無積聚性，用輔助線或面求其另兩投影。

③點在某一線（素線或軸線上），直接求其另兩投影。

四、表面取點的運用

表面取點的實際運用很多，在求立體被平面所截形成的截交線，兩回轉(zhuǎn)體表面的交線，補視圖中的漏線以及畫三視圖等中都充分應(yīng)用到，在此以求解兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線為例進行分析表面取點的運用。

兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線一般是一條封閉的空間曲線，因此相貫線上的點具有一般性（僅有少數(shù)點位于特殊位置），兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線是兩立體表面的公共線，因此在求相貫線時要充分分析兩立體的形狀，對采用什么樣的輔助平面法很重要。

現(xiàn)舉例來分析表面取點的運用。作出圓柱和圓臺相貫線的投影，如圖4所示

投影分析：兩立體為圓柱和圓臺，軸線垂直正交，其相貫線為封閉的空間曲線，但前后對稱，在左視圖上的相貫線具有積聚性，其投影為一個圓和圓柱在左視圖的投影重合。為了求出相貫線的正面投影和水平投影，要采用輔助面法進行求解并且輔助平面選擇水平面。

作圖：1、由于圓柱和圓臺前后對稱面處的轉(zhuǎn)向輪廓相交的點為特殊點，首先求出點1′、5′，并運用前面特殊點的求解方法做出水平投影1、5。

2、由于圓柱軸線水平面上的相貫線上的點為相貫線的最前點或最后點，因此過圓柱軸線做輔助水平面，截面與圓臺交線的水平投影為圓，該圓與圓柱外形線的交點3、7為相貫線上的點，因此可以求出正面上的投影3′（7′），因為前后對稱，故圖4只標(biāo)出了可見點的名稱（下同）。

3、再作輔助水平面，與兩回轉(zhuǎn)體的截交線分別為圓和直線，但在左視圖上具有積聚性，為平行于底邊的線。找出輔助平面在左視圖上與兩者相貫線的投影圓相交兩點2′′和8′′，并運用輔助圓法和點投影知識做出相貫線在水平面的投影點2、8，同時應(yīng)用投影知識求出正面上投影2′（8′）。

4、采用相同的作輔助水平面的方法，可求出圖4中相貫線在左視圖上的點4′′和6′′，再求出水平投影4、6在正面投影4′（6′）。根據(jù)需要還可以多作出一些點的投影，然后按照順序連接各點同面投影就完成相貫線的投影。

綜上所述，立體表面取點關(guān)鍵在于確定研究點的空間位置，知道其所處面的特性，然后用正確的找點方法同時運用形體分析進行求點。正確理解和運用基本體表面取點在制圖中的藝術(shù)，不僅讓學(xué)生鞏固制圖的基本理論知識，為學(xué)習(xí)截交線和相貫線打下了堅實的基礎(chǔ)，而且讓學(xué)生嘗到了制圖的樂趣，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，為最終學(xué)好制圖鋪平了道路。

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