二階遞推數(shù)列的常用處理策略及其應(yīng)用

宣培霞

摘 要：本文對近幾年數(shù)學(xué)競賽中二階線性遞推數(shù)列的常見題型進(jìn)行了總結(jié)，得出二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及幾個常見的變化.

關(guān)鍵詞：二階線性遞推數(shù)列；特征根法；整除問題

求遞推數(shù)列的通項(xiàng)，是數(shù)學(xué)競賽中最為常見的考查內(nèi)容之一，其中二階線性遞推數(shù)列在競賽題的設(shè)置中是一個比較常用的選擇，因此在競賽輔導(dǎo)中對這一內(nèi)容要重點(diǎn)突破. 以下是本人針對此內(nèi)容在近幾年競賽中的考查進(jìn)行了一些歸納，以期在競賽輔導(dǎo)中能夠?qū)W(xué)生掌握這一知識點(diǎn)做一些參考.

特征根法求二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1 （2009年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽）已知p，q（q≠0）是實(shí)數(shù)，方程x2-px+q=0有兩個實(shí)根α，β，數(shù)列{an}滿足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2（n=3，4，…）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用α，β表示）；

（2）若p=1，q=，求{an}的前n項(xiàng)和.

解：（1）an=pan-1-qan-2，可化為an=（α+β）·an-1-αβ·an-2，

an-α·an-1=β·（an-1-α·an-2）和an-β·an-1=α·（an-1-β·an-2），

所以數(shù)列{an-α·an-1}，{an-β·an-1}是等比數(shù)列.

由a1=p，a2=p2-q，得a2-α·a1=β2，a2-β·a1=α2，

所以an-α·an-1=βn，an-β·an-1=αn.

所以①若α≠β，從上二式中消去an-1得an=；

？搖②若α=β，則an-α·an-1=αn可化為-=1，

即數(shù)列為等差數(shù)列. 由a1=p=2α，所以=n+1，即an=（n+1）αn.

（2）若p=1，q=，得α=β=，所以an=（n+1）n，

用錯位相減法求得前n項(xiàng)和為Sn=3-.

一般地，在線性二階遞推數(shù)列中，在一些參考書中通常用特征根法：

由an=pan-1-qan-2，寫出特征方程：x2=px-q，得到兩特征根：α、β. ①若α≠β，則an=Aαn+Bβn；

②若α=β，則an=（An+B）·αn.

再由a1，a2的值來確定其中的系數(shù)A，B.

或者結(jié)合轉(zhuǎn)化的思想，對上面的遞推式an-α·an-1=βn再轉(zhuǎn)化為-=n，再用累加法得到通項(xiàng)公式.

而上面這個問題的設(shè)置，一方面強(qiáng)調(diào)了在處理二階遞推數(shù)列中的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生能夠掌握這個基本方法；另一方面在解法上用上面的解法可以簡化求出通項(xiàng)的過程，其中對初始項(xiàng)的選擇也有其獨(dú)到之處，當(dāng)然，在其他二階遞推數(shù)列中也可以推廣這一處理方法.

在競賽題中的幾個變式的處理策略

典型的二階遞推數(shù)列作為考查方式，學(xué)生基本上都能解決，在上題中命題者是希望通過此題對處理策略有所改變，特別是針對初始項(xiàng)做了巧妙的設(shè)計(jì). 但作為試題設(shè)置，主要是考查學(xué)生能否把轉(zhuǎn)化的思想運(yùn)用在解決問題中.

例2 （2000年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽）設(shè)數(shù)列{an}和{bn}滿足a0=1，b0=0，且

an+1=7an+6bn-3，bn+1=8an+7bn-4， n=0，1，2，…，求證：an是完全平方數(shù).

解：此題給出了兩個數(shù)列間的互相遞推式，但只要求證數(shù)列{an}的一個性質(zhì)，因此把遞推式中的bn消去的這個想法是自然的，先得到an+2=14an+1-an-6. 從形式上看，已經(jīng)很接近二階線性遞推數(shù)列，只不過還要處理數(shù)字-6.

此時(shí)，再次用轉(zhuǎn)化的思想，化為（an+2-A）=14（an+1-A）-（an-A），得A=.

令cn=an-，可用二階遞推數(shù)列的處理方法得到cn=.

所以an==.

最后結(jié)合二項(xiàng)式定理，可得an是完全平方數(shù).

從此題的設(shè)計(jì)來看，我們可以在二階遞推式中加上一些非線性因素，考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的能力，其常用的方法是在二階遞推式上加上常數(shù)，或者與n有關(guān)的表達(dá)式. 如以下幾題：

1. 已知數(shù)列{an}中，a1=a2=1，an+2=3an+1+18an+2n，求an.

策略一：把a(bǔ)n+2=3an+1+18an+2n轉(zhuǎn)化為

an+2+A·2n+2=3（an+1+A·2n+1）+18（an+A·2n），用待定系數(shù)法得A=.

設(shè)數(shù)列bn=an+·2n，滿足bn+2=3bn+1+18bn.

用特征方程法解決得bn=-，所以an=--.

策略二：（化二階為一階）先忽略2n，用特征方程x2=3x+18得特征根6，-3.

把a(bǔ)n+2=3an+1+18an+2n轉(zhuǎn)化為an+2+3an+1=6（an+1+3an）+2n，

設(shè)數(shù)列bn=an+1+3an，滿足bn+1=6bn+2n，再用累加法處理.

2. 已知數(shù)列{an}中，a0=a1=1，an+2=an+1+2an+n-1，求an.

從以上幾題中我們可以看出，在處理以二階遞推數(shù)列為主線的遞推數(shù)列問題中，重點(diǎn)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的使用，把我們不熟悉的遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為常用的、能解決的，但特別要注意選擇新數(shù)列.

二階遞推數(shù)列的一個應(yīng)用

上面的問題還主要是通過對遞推數(shù)列的變形來得到其通項(xiàng)公式，在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)中，我們還經(jīng)常對這個問題的各個環(huán)節(jié)進(jìn)行分析，從每個點(diǎn)都可出發(fā)構(gòu)造問題，因此深入研究這個問題的各個環(huán)節(jié)的特征，是我們在遇到新的問題時(shí)能夠聯(lián)想到這一知識的關(guān)鍵.

在上面二階遞推數(shù)列的解決中，特征方程是一個二次方程ax2+bx+c=0，通常有兩個根，而這兩個根的表達(dá)式x=是對稱的. 其通項(xiàng)公式是an=A·n+B·n，而這個形式在二項(xiàng)式定理中有類似的用法.實(shí)際上在例2中對項(xiàng)an=是完全平方數(shù)這一結(jié)論已經(jīng)使用了二項(xiàng)展開式的方法. 因此，在遇到類似的二項(xiàng)式問題中我們也可以逆用這一用法，用遞推數(shù)列的方法來解決二項(xiàng)式方面的問題.

例3 數(shù)[（1+）1000]的個位數(shù)字是______（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)）.

分析：（1+）1000是一個無理數(shù)，但取整后的個位數(shù)如何求這一問題我們先得分解為兩個問題：（1）如何取整；（2）如何求個位數(shù).

在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，我們很快就想到了它的對稱式（1-）1000.

利用二項(xiàng)式定理展開得：

（1+）1000+（1-）1000=2（+C·2+C·22+…+C·2500）；

這樣由于組合數(shù)都是整數(shù)且（1-）1000是小于1的正數(shù)，故解決了取整的問題. 而個位數(shù)字的問題即是除以10所得余數(shù)的問題，在這個展開式中需要組合數(shù)與2n一起工作是一件麻煩事！為了減少麻煩，也可以把目標(biāo)轉(zhuǎn)換為（3+2）500+（3-2）500來得到. 在這里，我們也注意到，這里的目標(biāo)的形式與遞推關(guān)系中的形式的一致性，所以有了以下的想法.

由方程x2-2x-1=0的兩根就是1±.

我們設(shè)計(jì)一個數(shù)列{an}如下：a0=a1=2，an+2=2an+1+an.

由二階遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法我們得到an=（1+）n+（1-）n.

根據(jù)遞推方法我們得到數(shù)列{an}的模10數(shù)列為：

2，2，6，4，4，2，8，8，4，6，6，8，2，2，6， 4，4，…

注意到a12的模10后出現(xiàn)與a0到a11的一樣的數(shù)，所以a1000模10的數(shù)字應(yīng)該與a4模10的數(shù)字相同，即4.

再由（1-）1000是小于1的正數(shù)，所以[（1+）1000]的個位數(shù)字為3.

上面一例中我們注意到應(yīng)用形式上的共同性，把不同知識點(diǎn)聯(lián)系起來，用遞推的方法來解決二項(xiàng)展開式中的一個問題. 應(yīng)用這種思想，在下例中充分地把各個知識點(diǎn)：方程的根、遞推的方法、整除問題聯(lián)系到一起.

例4 已知方程x3-7x2+1=0的最大實(shí)根為t，則[t2000]被除7的余數(shù)為_____.

簡解：由三次函數(shù)y=x3-7x2+1的圖象，可得三次方程的根有三個α、β、t，且三個根的取值范圍大約是-<α<0<β<，6

為了解決取整的問題，我們構(gòu)造了“整數(shù)”：t2000+α2000+β2000.

因?yàn)?<α2000+β2000<1，所以[t2000]+1=t2000+α2000+β2000.

接下來，我們要重點(diǎn)證明這個數(shù)是一個整數(shù)，且它除以7所得余數(shù)為多少？

聯(lián)想到上面對這一類問題的處理策略，我們構(gòu)造數(shù)列{an}如下：

通項(xiàng)公式為an=tn+αn+βn，

其中a0=3，a=t+α+β=7，

a2=t2+α2+β2=（t+α+β）2-2（tα+tβ+αβ）=49，

an+3=7an+2-an（證明略）.

上面充分運(yùn)用了三次方程的韋達(dá)定理以及轉(zhuǎn)化的思想得到了一個遞推數(shù)列. 然后我們運(yùn)用上例的方法得到數(shù)列{an}模7的數(shù)列如下：

3，0，0，3，0，0，…

所以[t2000]除以7所得余數(shù)為6.