讓高中數(shù)學學習的“途中跑”更高效

王惠清

摘 要：高中數(shù)學學習在經(jīng)歷了磨合期的“起跑”后，便進入決定成敗的“途中跑”. 這一階段，教師需要培養(yǎng)學生的思維能力和意志品質(zhì)，學生需要養(yǎng)成良好的學習習慣和掌握科學的學習方法，師生都需講究策略. 正如數(shù)學解題一樣，完整而準確的解答，離不開基礎知識的積累，涉及的知識點都要清晰；離不開解題策略的歸納，做到“一題多解”和“多解歸一”；更離不開思維的發(fā)散和感悟，掌握數(shù)學的本質(zhì). 在高中數(shù)學學習的征途中，在重視“起跑”和“沖刺”的同時，更要重視“途中跑”的高質(zhì)量.

關鍵詞：途中跑；高效學習；解題策略；思維

牙買加選手博爾特在北京奧運會百米飛人大戰(zhàn)中打破世界紀錄的精彩瞬間至今還記憶猶新，他的起跑沒有領先優(yōu)勢，他的沖刺純屬表演，他的勝利完全靠的是出色的途中跑.

途中跑，是指經(jīng)起跑、起跑后加速跑轉入高速度跑的一段跑程，是全程跑中距離最長的階段，一般100米跑的項目中，其距離約為60米. 運動員要能發(fā)揮出優(yōu)異的成績，在做好起跑和沖刺的同時，更要重視途中跑. 那時刻，運動員往往體態(tài)瀟灑，精神專一，富有節(jié)奏感，將力量發(fā)揮恰到好處.

而我們高中的數(shù)學學習，高一第一學期，可以說是基礎知識的鋪墊期、學習方法的構建期和師生關系的磨合期，這算是“起跑”. 從第二學期開始，便進入了決定成敗的“途中跑”，這一階段，是學生一個漫長的知識積累過程和能力的提升過程. 作為教師，要重點培養(yǎng)學生的思維能力和意志品質(zhì)，在數(shù)學課堂教學中要注重激發(fā)學生的表現(xiàn)欲望和個性潛能，為他們點撥思考方向和學習方法，同時要幫助學生建立自信，鼓勵大膽質(zhì)疑和探索. 作為學生，要重視良好學習習慣的養(yǎng)成和科學學習方法的積累，要合理安排時間，循序漸進. 作為師生，都要做到行與思相隨，克服浮躁心理，讓高中數(shù)學的學習在“途中跑”階段，由懂到會，由會到熟，由熟到活，由活到悟. 下面筆者以數(shù)學題為例，談談高中數(shù)學學習“途中跑”的三個策略.

■策略一：步步為營

“途中跑”時間長，任務艱巨，三分鐘的熱情解決不了問題，學生學習過程中所邁出的每一步都很重要，一不留神走偏，就得付出成倍的代價，甚至抱憾終身. 因此需要穩(wěn)扎穩(wěn)打，把握每一個環(huán)節(jié)，學好每一個模塊.

引例1 （1）判斷函數(shù)y=lg（3-2x）的單調(diào)性；

（2）已知集合A={xx2-3x+2=0}，B={xax-2=0}，若B？哿A，求實數(shù)a的取值集合.

這兩題都是課本原題，是學習中應知應會的基礎知識，第1題要注意復合函數(shù)單調(diào)性判斷的原則，第2題要注意集合B可能為空集. 針對這兩題對應的知識點，教師命制了一道期末統(tǒng)考試題，如下：

例1 已知非空集合A是函數(shù)f（x）=lg（ax-1）的單調(diào)增區(qū)間，集合B是函數(shù)g（x）=-x2+2x+1的值域.

（1）若A∩B=（1，2]，求a的值；

（2）若A∩B？哿（1，2]，求a的取值集合.

略解：（1）g（x）的值域B為（-∞，2]，f（x）單調(diào)增區(qū)間A=■，+∞（a>0），因為A∩B=（1，2]，所以a=1.

（2）因為A∩B？哿（1，2]，

①當A∩B=■時，必須■≥2，所以0

②當A∩B≠■時，必須1≤■<2，所以■

綜上，a的取值集合是（0，1].

這不是一個復雜問題，考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的值域、集合間的子集關系與交集運算等，這些知識點都在教學要求的范圍內(nèi)，但考試的結果令人非常不滿意，為什么呢？是因為知識有了交匯，是因為學生在答題時能走幾步，卻沒有能力走完每一步.

高中數(shù)學學習中的每一步環(huán)環(huán)相扣，高效地走好前面每一步，后繼學習就不需要還債. 沒有了包袱，輕裝上陣，信心十足就學得主動.

■策略二：保持章法

運動員在賽場上，一方面，要根據(jù)自己訓練時的經(jīng)驗和教練的預定計劃來參加比賽，人家步伐大，我不跨大步，人家步頻快，我不盲從；另一方面，要適度權衡利弊，隨機應變，自主調(diào)節(jié)，這樣才能展示最好的自我.

同樣，數(shù)學學習也不能迷信，不能盲從. 學生要清楚地認識自己的優(yōu)缺點，充分發(fā)揮自己的主觀能動性，做學習的主人. 教師也要做到有效監(jiān)控，幫助學生找到自己學習中的困難和解題的短板，并有“對癥下藥”的措施，做到“學無定法，學有章法，貴在得法”.

仍以例1為例，不同學生的答題暴露不同的問題，理當有不同的應對措施. 有的學生g（x）的值域求錯，平時考試中也經(jīng)常有類似的低級計算錯誤，這說明運算能力有缺陷，長此以往會發(fā)展為眼高手低. 那么，平時的學習就不要滿足于聽懂了，要動手算；平時的考試，要注重對起始運算步驟的復查.

有的學生f（x）的單調(diào)增區(qū)間沒有寫出，沒有意識到a>0這一個隱含條件. 說明對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)沒有學好，這對后繼學習是一個隱患，因為后續(xù)的學習還將碰到綜合要求更高、分類討論更復雜的問題. 那么，在其他學生完成其他學習任務時，在教師指導下就要補一補對數(shù)這一課，或有序地訓練一些要注意挖掘隱含條件的問題.

有的學生不屑于表達解題過程，甚至已知條件也不高興抄；有的學生沒有考慮還要討論A∩B=■的情況. 這說明解題習慣不好，問題的主干解決了，分數(shù)被七扣八扣就所剩無幾了，典型的“會而不對，對而不全”. 針對這類問題，教師要重視學生答題規(guī)范的培養(yǎng)，要花真工夫，學生不能一味強調(diào)客觀原因，或自我感覺良好，總認為下次考試臨場發(fā)揮會好的. 要重視示范，多展示和多看正規(guī)考試的標準答案和評分標準等，這里同樣有學問.

■策略三：科學超越

途中跑的超越與被超越是正常的，對此學生在學習中首先要保持良好的心態(tài)，不要急躁；其次要落實有效措施，貼近目標，實現(xiàn)反超越.這不是簡單的全力以赴拼搏，需要用智慧來取勝.

引例2 若■+■+■=0，求S△APB∶S△BPC的值.

學生在學習了平面向量以后，都做過上述這道題，通過數(shù)形結合，很容易得到答案是1. 接下來，在面對下列問題時，學生是否還能輕松解答呢？

例2 已知P，A，B，C是同一平面上的四點，經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)以下事實：

若2■+■+■=0，則S△APB∶S△BPC=■；

若■+■+2■=0，則SS△APB∶S△BPC=2；

若■+2■+■=0，則S△APB∶S△BPC=1；

若■+2■+3■=0，則S△APB∶S△BPC=3.

（1）根據(jù)上述結論，請你猜想，若m，n，k是非零常數(shù)，m■+n■+k■=0，則S△APB∶S△BPC的值是多少？并證明你的猜想；

（2）若2■+3■+4■=0，求S△PAB∶S△PAC的值.

在解答本題時，用特殊三角形來代替一般三角形求解的學生，它無從下手，因為他們的方法不具備一般性.

用向量的線性運算來做的學生，他可能能完成這道題的第一問，但是過程很繁，很難表達清楚，答案往往是錯誤的■，因為他們沒有考慮方法優(yōu)化.

用向量的坐標運算來做的學生，做第一問是方便的，因為他們考慮到方法的優(yōu)化，已經(jīng)能夠適應系數(shù)的變化，但是第二問卻還有點難，因為他們還沒有考慮過，已知條件中三個向量不是同起點的情況.

在學習過程中，少數(shù)學生滿足于完成書本練習水平作業(yè)，不善于動腦筋思考，面對例2，他們束手無策，時間一長，便成為數(shù)學的差生. 有較多的學生能對一些簡單的變化有思考，能做一些工作，但因為能力的缺陷，往往不能做全. 只有那些真正做到學中思、思中悟，能把握所學知識的本質(zhì)聯(lián)系， 真正“玩味”問題的學生，他才能笑到最后.

其實例2講的是學生在答題時如何優(yōu)化解題方法，是學生內(nèi)化的一種自我超越，這靠的是平時的積累，是解題訓練從量變到質(zhì)變的飛躍，而要實現(xiàn)這一點，離不開教師的有效指導和發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

例3 在等差數(shù)列{an}中，前n項和記為Sn，若Sp=Sq（p≠q，p，q∈N*），求Sp+q的值.

本題是課本后面的習題，難度中等，解題思路開闊. 若數(shù)學基礎較好，可以作如下的推廣和拓展.

問題推廣：已知Sn是等差數(shù)列的前n項和，Sp=r，Sq=s（p≠q，p，q∈N*），其中p，q，r，s為常數(shù)，求Sp+q的值.

問題類比：已知Sn是公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項和，Sm=r，Sk=s（m≠k，m，k∈N*），其中r，s為常數(shù)，求Sm+k的值.

問題拓展：在等差數(shù)列{an}中，Sn表示其前n項和，若Sn=■，Sm=■（m≠n），Sm+n>a，求實數(shù)a的最大值.

由此可見，不同的智力付出，回報自然有別，超越就意味著更多的付出.

總之，高中三年的學習好比是一場中長跑的比賽，其中有三分之二的時間都屬于“途中跑”. 在重視“起跑”和“沖刺”的高質(zhì)量的同時，更要重視“途中跑”的高效率. 本階段，需要有良好的體能和耐力，做好持久戰(zhàn)的準備；需要講究科學的策略，感悟數(shù)學學習的真諦；更需要師生共同的智慧，共同發(fā)展，實現(xiàn)超越. 高中數(shù)學優(yōu)異學習成績的獲取，通常是在這一階段厚積而薄發(fā)的.