“利用二分法求方程的近似解”教學(xué)案設(shè)計

陳晶

摘 要：用“二分法”求方程的近似解，學(xué)生可以從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，同時具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問題的能力. 本教學(xué)案設(shè)計了4個實際活動，一環(huán)扣一環(huán)，讓學(xué)生身臨其境，合作交流，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，同時讓學(xué)生學(xué)會獨立地將課本上的知識進(jìn)行分析綜合，整理歸納，自我診斷，通過解題鞏固知識，最終形成一個完整的科學(xué)體系，從而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞：二分法；近似解；方程；活動

■教材分析

函數(shù)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)函數(shù)的一個重要方面，本章通過學(xué)習(xí)“用二分法求方程近似解”的方法，使學(xué)生體會函數(shù)與方程之間的關(guān)系，通過一些函數(shù)模型的實例，感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型. 本節(jié)課從學(xué)生已有的基礎(chǔ)（一元二次方程及其根的求法，一元二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì)）出發(fā)，從具體（一元二次方程的根與對應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系）到一般，揭示方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點之間的關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點的步驟”中滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.

■學(xué)情分析

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在知識上學(xué)會用“二分法”求方程的近似解，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；在求解的過程中，由于數(shù)值計算較為復(fù)雜，因此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學(xué)生具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問題的能力. 這就要求學(xué)生除了能熟練地運用計算器演算以外，還要能借助幾何畫板4.06中文版中的“繪制新函數(shù)”功能畫出基本初等函數(shù)的圖象，掌握Microsoft Excel軟件一些基本的操作.

■教學(xué)目標(biāo)

1. 知識與技能

通過教學(xué)，讓學(xué)生能說出二分法的概念，掌握運用二分法求簡單方程近似解的方法，會判斷連續(xù)函數(shù)在某個閉區(qū)間上是否存在零點.

2. 過程與方法

通過具體實例的討論與探究，在對函數(shù)與方程的關(guān)系的認(rèn)識中能遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，歸納概括出所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，初步接觸算法思想，體會從具體到一般的認(rèn)知過程.

3. 情感、態(tài)度、價值觀

體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一，在自我解決問題的過程中，體驗成功的喜悅.

■教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：用二分法求相應(yīng)方程的近似解的方法與具體步驟.

教學(xué)難點：恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解.

■教學(xué)方法

以動手操作、分組討論、合作交流、總結(jié)反思、課后實踐相結(jié)合.

■教學(xué)過程

1. 教學(xué)活動

活動1 幸運52曾經(jīng)現(xiàn)場直播，進(jìn)行一個猜數(shù)字游戲：給定1～100這100個自然數(shù)，計算機隨機出一個1～100之間的整數(shù)，通過操作鍵盤讓學(xué)生去猜這個數(shù)，對于大家每次猜測的結(jié)果，計算機的提示是“對了”或“大了”或“小了”.

討論：（1）任給一個1～100的整數(shù)，我都可以在7次以內(nèi)猜出，你們能做到嗎？

（2）為什么采用正確的方法，7次以內(nèi)一定可以猜中？

（第一次猜50，若“大了”，則猜1與50中間的整數(shù)25，以此類推，由于每猜一次，就排除一半，范圍不斷縮小，7次以內(nèi)一定可以猜中）

（3）這種猜測的思想是什么？

設(shè)計意圖：上述游戲，每次都將所給區(qū)間一分為二，進(jìn)行比較后得到新的區(qū)間，再一分為二，如此下去，使得所猜數(shù)字逐步逼近計算機所給的數(shù)字，這種思想就是二分法. 通過做游戲，來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓他們在玩的過程中初步體會二分法的思想和作用，并進(jìn)行有意義學(xué)習(xí).

活動2 根據(jù)課本P117例4“求方程2x3+3x-4=0的一個實數(shù)解，精確到0.01.”探究：

（1）求函數(shù)f（x）的零點近似值，第一步應(yīng)做什么？

（2）為了縮小零點所在區(qū)間的取值范圍，接下來應(yīng)做什么？

（3）精確到0.01，算幾次就可以了？若精確到0.001呢？

設(shè)計意圖：此活動在于通過討論，讓學(xué)生知道用二分法求方程近似解的具體過程和解題步驟，以及用二分法求近似值的過程到何時結(jié)束.

活動3 課本P119練習(xí)：用二分法求方程0.9x-■x=0的近似解，精確到0.1.探究：

（1）與活動1進(jìn)行比較，過程有什么不同？

（2）根據(jù)這些活動，二分法求方程近似解的具體步驟是什么？

設(shè)計意圖：活動1中的方程2x3+3x-4=0雖然沒有給出初始區(qū)間，但是根據(jù)方程的形式容易知道為（-∞，+∞），而活動3中的方程0.9x-■x=0的初始區(qū)間未給定，卻需要自己找，這是一個質(zhì)的變化. 通過自主探究、討論，來體會、歸納出確定初始區(qū)間的一般方法：估算或利用圖象（估算：由方程有意義及移項左右兩邊相等，可知x0>0；或作圖：考查函數(shù)y=0.9x與y=■x圖象交點的橫坐標(biāo)，可知x0>0），以及得出利用二分法求方程近似解的具體步驟.

活動4 利用計算器，求方程x+lgx=3的近似解（精確到0.1）.

注：可以2人為一組，互相配合，一人按計算器，一人記錄過程，不同組之間探討交流，從中能得出什么樣的結(jié)論？

設(shè)計意圖 1. 通過學(xué)生合作探究，進(jìn)一步來體會、歸納出確定初始區(qū)間的一般方法.

（估算：由方程有意義及左右兩邊相等，可知x0∈（0，3）；作圖：考查函數(shù)y=lgx與y=3-x圖象交點的橫坐標(biāo)，可知x0∈（2，3））

2. 由于計算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此我們可以借助計算器來完成計算. 通過共同學(xué)習(xí)、交流探討，感知初始區(qū)間選擇的不同對結(jié)果無影響，只是計算次數(shù)多少而已.

活動5 如圖1，一條電纜上有15個接點 ，現(xiàn)某一接點發(fā)生故障 ，如何盡快找到故障接點？

■

圖1

設(shè)計意圖：讓學(xué)生在活動中體會二分法在實際生活中的用處.

2. 自我診斷

（1）下列函數(shù)均有零點，其中不能用二分法求近似解的是（ ）

■

設(shè)計意圖：使學(xué)生明確初始區(qū)間（a，b）并非任意選取，必須滿足f（a）f（b）<0，加深學(xué)生對利用二分法求方程近似解原理的理解.

（2）用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，3）內(nèi)近似解的過程中，取區(qū)間中點x0=2，那么下一個有根區(qū)間為（ ）

A. （1，2）

B. （2，3）

C. （1，2）或（2，3）都可以

D. 不能確定

設(shè)計意圖：使學(xué)生明確利用二分法求方程近似解取新區(qū)間的方法，一個端點是原區(qū)間的中點，另一個是原區(qū)間兩端點中的一個，新區(qū)間兩端點的函數(shù)值反號.

（3）方程■■-lnx=0的根的個數(shù)為

（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

設(shè)計意圖：使學(xué)生進(jìn)一步明確通過函數(shù)圖象與性質(zhì)來分析零點的方法，答案為B選項.

（4）在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障. 這是一條10 km長的線路，如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多.每查一個點要爬一次電線桿子，10 km長，大約有200多根電線桿子，請你幫他們設(shè)計一個維修方案來迅速查出故障所在，如何設(shè)計？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生感悟二分法在實際生活中的應(yīng)用，同時體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功的喜悅.

（5）請感興趣的同學(xué)思考：當(dāng)0

設(shè)計意圖：讓學(xué)有余力的學(xué)生更能發(fā)揮其個性品質(zhì)，提高學(xué)科素養(yǎng).

3. 總結(jié)提煉

1. 二分法的基本思想是______；

2. 初始區(qū)間的選定的方法有：______；

3. 利用二分法求方程的近似解的具體步驟是：______.

4. 你有什么收獲？你還存在什么疑惑？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，進(jìn)行總結(jié)和反思，并提出自己還存在的疑問，以便在教師的幫助下解決問題.

4. 閱讀拓展

在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知的橋梁中，方程的求解是其中璀璨的一座. 雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的歲月.

由于實際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)y=f（x）的零點（即f（x）=0的根），對于f（x）為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法（二次時，稱為求根公式）. 我國古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程求解的問題，在《九章算術(shù)》、北宋數(shù)學(xué)家賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》、南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》中均有記載. 在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，人們曾經(jīng)希望得到一般的五次以上代數(shù)方程的根式解，但經(jīng)過長期的努力仍無結(jié)果.1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾（N. H. Abel，1802-1829）成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解. 1828年，法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而簡潔地證明了存在不能用開方運算求解的具體方程. 人們認(rèn)識到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，因此對于高次多項式函數(shù)及其他的一些函數(shù)，有必要尋求其零點的近似解的方法，這是一個在計算數(shù)學(xué)中十分重要的課題.

設(shè)計意圖：介紹中外歷史上的方程求解問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，最大限度地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性. 同時，從高次代數(shù)方程解的探索歷程使學(xué)生認(rèn)識引入二分法的意義.

■案例反思

新課程理念指出：教師應(yīng)倡導(dǎo)以自主探索、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式為出發(fā)點，根據(jù)學(xué)生的社會環(huán)境特征、思維活動水平和數(shù)學(xué)教學(xué)條件去創(chuàng)造最適合自己學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，在知識的形成過程中突出數(shù)學(xué)思維活動的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程. 在設(shè)計實踐中，以培養(yǎng)學(xué)生獲取新知識的能力、學(xué)生合作與交流的能力為目的，更多地關(guān)注學(xué)生的學(xué)，堅持實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“有效”和“高效”，并使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實現(xiàn)從“有效學(xué)習(xí)”、“高效學(xué)習(xí)”到“魅力學(xué)習(xí)”的飛越.

1. 情景進(jìn)行了有效教學(xué)實際.數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活. 本教學(xué)案以猜數(shù)字游戲為情景，在玩的過程中來體驗二分法的這一算法思想，突出了學(xué)習(xí)的主題，進(jìn)行了有效情景的設(shè)計，以問拓思，因問造勢，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性與主動性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2. 教學(xué)活動過程充分體現(xiàn)了學(xué)生獲取新知識、學(xué)生合作與交流的過程. 本教學(xué)案設(shè)計了4個實際活動，一環(huán)扣一環(huán)，讓學(xué)生身臨其境，合作交流，共同探究，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，同時讓學(xué)生學(xué)會獨立地將課本上的知識進(jìn)行分析綜合，整理歸納，自我診斷，通過解題鞏固知識，最終形成一個完整的科學(xué)體系，達(dá)到學(xué)習(xí)目的，突出了理性思維，優(yōu)化了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力.

3. 教學(xué)設(shè)計是為教學(xué)服務(wù)的，但課堂教學(xué)不應(yīng)該被課前的設(shè)計所束縛. 課堂上，教師應(yīng)以學(xué)生的反應(yīng)作為行為決策的依據(jù)，而不是以事先寫好的教案為依據(jù).特別是當(dāng)教學(xué)不能按計劃進(jìn)行時，教師不可勉強為之，而要隨機應(yīng)變.要注意：

（1）準(zhǔn)確理解與把握教材和資源，教師對教材本身的理解越深刻，對資源的使用就越有效；

（2）教師要在掌握了教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，認(rèn)真分析學(xué)生.對自己學(xué)生的文化背景、知識基礎(chǔ)、認(rèn)知水平及方式等進(jìn)行評估，找出他們學(xué)習(xí)這一知識或技能的困難，思考從哪個角度學(xué)生可能更容易接受和理解. 農(nóng)村學(xué)生可能對一些城市的情況不了解，但他們與大自然有親密接觸，優(yōu)秀的教師應(yīng)該更好地利用他們知道的、見過的和可以想象出來的事務(wù)，幫助他們學(xué)習(xí)和理解更多的知識，掌握更多的技能，培養(yǎng)豐富的興趣和正確的學(xué)習(xí)能力.

（3）教師要將自己的初步教學(xué)設(shè)計與資源的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行對照，進(jìn)一步體會資源處理教學(xué)重、難點的方式方法，理解教學(xué)活動設(shè)計的意圖、步驟和效果.這一過程是一個思考的過程. 有比較才能有鑒別，農(nóng)村教師不僅要學(xué)習(xí)資源中教師的教學(xué)組織形式，更要體會這種教學(xué)組織形式背后所反映的教育思想和方法.