用類比來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念

黃麗芳

摘 要：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不光要重視概念的運用，更應(yīng)該注重概念的形成過程，重視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展的過程.創(chuàng)造類比發(fā)現(xiàn)問題情境的應(yīng)用，采用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新的概念，較好地解決了這個問題，但也容易使新的概念，在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化與建設(shè).在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以用很多類比。本文就以三個實例介紹了如何使用類比法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：類比；發(fā)現(xiàn)；引申；建構(gòu)

1 目前課堂數(shù)學(xué)概念引入的現(xiàn)狀

教學(xué)中的數(shù)學(xué)概念，一般都要經(jīng)過展示概念背景， 創(chuàng)設(shè)問題情景， 啟迪發(fā)現(xiàn)過程， 表述論證階段。然而，在教學(xué)中，很多教師對概念都是一語帶過，沒有背景，沒有平鋪，沒有引導(dǎo)，讓學(xué)生感覺突兀和生硬，機(jī)械地接受數(shù)學(xué)概念，無法實現(xiàn)自主性，失去對事物認(rèn)知應(yīng)有的一個正確過程，以及失去了在這過程中創(chuàng)造力的發(fā)展。

2 數(shù)學(xué)概念引入現(xiàn)狀產(chǎn)生的原因

造成這種現(xiàn)象形成的原因，一個方面是因為教師舊的教學(xué)理念，不重視在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維活動，沒有以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自己去探索，從而達(dá)到認(rèn)知再締造的目的，實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，理解，創(chuàng)造和運用的目標(biāo)。另一方面是許多教師不懂得如何去創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動 [1 ]。

3 用類比引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的重要性

在教學(xué)中如何建立有效的問題情境，如何利用類比的數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生學(xué)會舉一反三的觀察，分析，猜測，抽象，概括這樣一種思想的傳播，探索規(guī)律，提高數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程，提高學(xué)生認(rèn)知水平，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，這是需要改革的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念的最重要的問題，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個全新理念 [2 ]。

4 用類比來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的方法

4.1 問題情景的設(shè)計

回顧已學(xué)過的相似概念，設(shè)置問題情景，用類比來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念。有很多類似性質(zhì)的概念，在這些概念的教學(xué)中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生歸納已學(xué)過的概念，然后創(chuàng)建類比問題，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想，試圖挖掘一個新的概念 [2 ]，這個新的概念是很容易讓學(xué)生吸收和建立在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。下面將根據(jù)本人在教學(xué)實踐中的體驗與積累，談一談如何創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，用類比的方法來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新概念。如高中數(shù)學(xué)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的教學(xué)、二面角的概念及其平面角的教學(xué)就可采用這種方法。

4.2 課堂例題展示

4.2.1 等比數(shù)列的教學(xué)

4.2.1.1 展示概念背景

向?qū)W生指出：我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，知道了處理后一項比前一項的差相等的數(shù)列，此時，我們會相應(yīng)地想到，如果是后一項比前一項的比相等，這樣的數(shù)列又是什么數(shù)列呢？

4.2.1.2 設(shè)置問題情景

先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下等差數(shù)列的概念（包括概念的形成，通項公式的推導(dǎo)，等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列前n項和公式），然后羅列出幾條等比數(shù)列的例子，如（1）3，9，27，81，243，…；（2） …；（3） -1，2，-4，8，-16，32， （4）6，6，6，6，6， …，讓學(xué)生通過這幾個例子，再通過與等差數(shù)列概念形成的類比， 去挖掘規(guī)律。

4.2.1.3 發(fā)現(xiàn)啟蒙階段

等比數(shù)列的定義必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)生討論：等比數(shù)列的概念特征，類比等差數(shù)列的概念，從而自己歸納出等比數(shù)列的概念如下：

進(jìn)一步誘導(dǎo)：類比等差數(shù)列概念，上述例子中，

從第二項起，后一項與前一項的什么是同一個常數(shù)？

因為有了等差概念的類比，學(xué)生自然會先從“差”入手，發(fā)現(xiàn)差不一樣，接著他們就會把加減乘除各試一遍，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：從第二項起，后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)。這樣，概念形成的過程就水到渠成，學(xué)生也容易理解與記住。

4.2.1.4 表述論證階段

最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，通過公式的推導(dǎo)來進(jìn)一點論證概念的正確性。

等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)，是通過概念中后一項減前一項等于同一個常數(shù)，從而得出遞推公式，再根據(jù)累加法的思想把公式推導(dǎo)出來。然后讓學(xué)生類比等差數(shù)列，思考如何得出等比數(shù)列的遞推公式。（此時，引導(dǎo)學(xué)生從等差的公差d，思考等比的q） 再類比累加法的思想，引導(dǎo)學(xué)生討論，應(yīng)用什么方法把等比遞推公式推導(dǎo)出通項公式。學(xué)生自然而然還是想到嘗試加減乘除四則運算，就慢慢探索出累乘法，從而推出等比的通項公式。

4.2.1.5 結(jié)果與分析

以上經(jīng)過指導(dǎo)學(xué)生鉆研等差數(shù)列概念的內(nèi)在特征，即孕育出新的概念的“延伸” [3 ]，以類比方法獲得等比數(shù)列的定義，學(xué)生覺得這一個定義是原有定義的一種自然發(fā)展，不感到別扭，學(xué)習(xí)起來也容易理解和應(yīng)用。有很多這樣的概念，如長方形對角線與長方體和對角線的類比、三角形面積和三棱錐體積的類比、二次函數(shù)與二次方程的類比等等。下面再來說說立體幾何中二面角及其平面角的概念教學(xué)。

4.2.2 二面角概念的教學(xué)

4.2.2.1 展示概念背景

前面我們學(xué)過直線與直線、直線與平面所成的角，但在實際問題的解決中光有線線角和線面角是不夠的。如為了使堤壩堅固耐用，大壩的上游面必須與水平面建造出適當(dāng)?shù)慕嵌?；又如飛機(jī)的起飛和下降的平面要和水平面計算好精準(zhǔn)的角度，這樣才能保證乘客的安全，為了解決像這類的實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角的問題。那么，該怎么定義兩個平面所成的角呢？

4.2.2.2 類比發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設(shè)問題情景

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一下，初中平面幾何中的“角”是如何定義的？

初中“角”的定義：從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。

然后再讓學(xué)生去類比：

兩直線相交，交點把每一條直線分成兩個部分，其中的每一部分都是一條射線。

兩平面相交，交線把每一個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫半平面。

該如何給兩相交平面所成的角下定義呢？用類比的辦法，通過和角的概念的類比，探討了兩個相交的平面的角度（角）的定義。

4.2.2.3 類比擴(kuò)展階段

從二維繪圖到三維空間，即可得“從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角。”同時用平面角表示法類比出二面角的表示法。

4.2.2.4 表述論證階段

通過高一學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，我們知道平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形；那么，類似地，二面角可以看作是一個半平面繞其界線旋轉(zhuǎn)到一定位置所得到的圖形。

4.2.2.5 結(jié)果與分析

用類比的方法來學(xué)習(xí)，既能鞏固原有的知識，又能有新的發(fā)展，即所謂的“溫故知新”；也符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)原理，跳一跳夠得著；同時用類比的方法來學(xué)習(xí)也符合建構(gòu)理論，人的認(rèn)識不是對于客觀實在的被動的反映，而是主體以已有的知識經(jīng)驗為依托所進(jìn)行的主動建構(gòu)的過程，用類比去學(xué)習(xí)可以把新知識納入原有的知識體系，并形成新的有機(jī)的知識網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)。

4.2.3 二面角的平面角的教學(xué)

4.2.3.1 展示概念背景

為了反映組成二面角的兩個半平面的相對位置即它們的開合程度，我們有必要來研究二面角的度量問題。

4.2.3.2 創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：

前面我們學(xué)過兩異面直線所成的角、斜線與平面所成的角，并研究過它們的度量問題，那么，對于二面角的大小又該如何去度量呢？我們以往是如何度量兩異面直線所成的角、斜線與平面所成的角的？分別通過“取點、平移（相交）”（對異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對斜線與平面所成的角）去度量的。這些做法的共同點都是將空間角化為平面角。

4.2.3.3 類比引申階段

將二面角的度量轉(zhuǎn)化為平面角來度量。再次用類比的方法來學(xué)習(xí)二面角的度量問題，同時也滲透了轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法。

5 結(jié)論與總結(jié)

在數(shù)學(xué)科的學(xué)習(xí)中能用類比的地方還有很多，如空間向量與平面向量，異面直線所成的角等等。用類似于大家熟悉的概念（類比的形式可以是多種多樣，如三維和二維類比，一元二次不等式與一元二次方程的類比，和同構(gòu)類例，屬性類例，方式類例等等）讓學(xué)生能了解，理解，掌握新的數(shù)學(xué)概念。不過，類比出的結(jié)論不一定正確，所以一定要引導(dǎo)學(xué)生去論證，不能為了節(jié)省課堂時間而跳過這個環(huán)節(jié)，否則學(xué)生也會在做題中相應(yīng)地用這種思路而不驗證，從而出現(xiàn)錯誤。

類比教學(xué)蘊含著豐富的教學(xué)思想和方法，能激發(fā)學(xué)生積極主動地去探索、去比較、去分析、去歸納、去認(rèn)識新事物、去發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，充分地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，維護(hù)學(xué)生的創(chuàng)造力，從而滿足素質(zhì)教育的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭秀云.APOS理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)[D].福州：福建師范大學(xué)碩士論文，2003（8）：1.

[2]嚴(yán)運華.數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)[J].教學(xué)與管理，2001（6）：10.

[3]周金生.創(chuàng)設(shè)情景 引入概念[J].西江教育論叢， 2005（6）：20.