圓錐曲線中一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)的簡(jiǎn)證與統(tǒng)證

韓興國(guó)

摘 要：本文利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，對(duì)圓錐曲線一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)給出簡(jiǎn)潔證明，并利圓錐曲線的統(tǒng)一定義，對(duì)性質(zhì)給出統(tǒng)一的證明.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；性質(zhì)；簡(jiǎn)證；統(tǒng)證

《數(shù)學(xué)通訊》2012.9（下半月）劉立偉在《圓錐曲線中一組漂亮的統(tǒng)一性質(zhì)》文中介紹了圓錐曲線中一個(gè)漂亮的統(tǒng)一性質(zhì)，本文利用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，給出該性質(zhì)的簡(jiǎn)潔證明，同時(shí)給出性質(zhì)的統(tǒng)一證明，與大家交流.

性質(zhì)1 若拋物線y2=2px（p>0）上某點(diǎn)P的法線與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作焦半徑PF的垂線l，垂足為L(zhǎng)，則PL=p.

所以b2tanθ=a·PL·tanθ，即PL=.

性質(zhì)3 若雙曲線-=1（a>0，b>0）上某點(diǎn)P的法線與x軸交于點(diǎn)G，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)G作焦半徑PF1的垂線l，垂足為L(zhǎng)，則PL=.

由以上三個(gè)性質(zhì)得：

統(tǒng)一性質(zhì)：若圓錐曲線E上某點(diǎn)P的法線與對(duì)稱軸（拋物線指對(duì)稱軸，橢圓指長(zhǎng)軸，雙曲線指實(shí)軸）交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作焦半徑的垂線l，垂足為L(zhǎng)，則PL的長(zhǎng)度為圓錐曲線的正焦弦長(zhǎng)的一半.

作為為圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)，能否不就拋物線、橢圓、雙曲線分別進(jìn)行證明，而是由圓錐曲線統(tǒng)一定義，給出統(tǒng)一的證明？出于這樣的思考，筆者進(jìn)行了嘗試，證明如下.

證明：設(shè)圓錐曲線E的焦點(diǎn)F到其相應(yīng)的準(zhǔn)線m的距離為p，離心率為e. 如圖4，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F與準(zhǔn)線m垂直的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，且準(zhǔn)線m過點(diǎn)H（-p，0）. 設(shè)M（x，y）為圓錐曲線E上動(dòng)點(diǎn)，由圓錐曲線的定義有：=e，即E的方程為x2+y2=e2（x+p）2.

對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得：2x+2yy′=2e2（x+p），即y′=.

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則=ex0+p，且點(diǎn)P處切線的斜率為，從而法線PG的斜率為，法線PG的方程為y-y0=（x-x0）. 令y=0，得x=e2（x0+p），即G（e2（x0+p），0）.

又kGL=-=-，所以GL的方程為：y=-[x-e2（x0+p）]，

即x0x+y0y-e2x0·（x0+p）=0，

從而PL===ep，

此正為圓錐曲線的正焦弦長(zhǎng)的一半（對(duì)于拋物線ep=p，對(duì)于橢圓、雙曲線ep=×=）.