再談含參數(shù)不等式a—f（x）>g（x）恒成立的問題

游愛玲

摘 要：含參數(shù)不等式

>g（x）恒成立的問題是一個重要問題，近年有多位老師對此做了研究，本文對此問題再做進一步的研究，以期找到此類問題錯誤解法的真正原因.

關(guān)鍵詞：參數(shù)；不等式；恒成立

蔡德華老師寫的《含參數(shù)不等式

>g（x）恒成立問題的一個常見錯誤解法》（簡稱文[1]）指出了含參數(shù)的不等式a-f（x）>g（x）恒成立問題的一個常見錯誤解法，并給出了幾種正確解法，但是并沒有對這種錯誤解法進行深刻的剖析. 簡紹煌老師寫的《以題目錯解反思含絕對值不等式的解法》（簡稱文[2]）試圖從含絕對值不等式的解法上對此錯誤解法進行剖析，但是筆者認為文[2]對此錯誤解法的剖析也不夠深刻，而且文[2]中個別說法也值得商榷.

[?] 含參數(shù)絕對值不等式的解法

文[2]認為湘教版教師用書里介紹的不等式解法不適合解含參數(shù)絕對值不等式，筆者認為值得商榷.

例1 解不等式ax+b

湘教版教師用書的解法：ax+b

若a=0且b

文[2]中用“討論絕對值符號外的零點”方法得到的結(jié)果與用湘教版版教師用書解法得到的結(jié)果是等價的，只是用“討論絕對值符號外的零點”方法得到的結(jié)果在分類上更詳細一點，因此，用湘教版教師用書的解法解含參數(shù)絕對值不等式是沒有問題的.

[?] 錯誤解法進一步剖析

例2 已知不等式a-2x>x-1，對x∈[0，2]恒成立，求a的取值范圍.

錯誤解法：對x∈[0，2]，a-2x>x-1恒成立，

?對x∈[0，2]，a-2x>x-1或者a-2x<1-x恒成立，

?對x∈[0，2]，a>3x-1或者a<1+x恒成立，

?對x∈[0，2]，a>3x-1恒成立或者對x∈[0，2]，a<1+x恒成立，

?a>[3x-1]max=5或者a<[1+x]min=1.

這個解法中前2步等價變形是沒有問題的，但是第3步是有問題的，原因是命題“任意x∈D，a>F（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，a

設a>F（x）關(guān)于x的不等式解集為A，aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者aF（x）或者a

結(jié)論1：若F（x），G（x）在區(qū)間D上連續(xù)，且x∈D，恒有F（x）≥G（x），則“任意x∈D，a>F（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，a

結(jié)論2：若F（x），G（x）在區(qū)間D上連續(xù)，且x∈D，恒有F（x）F（x）或者a

結(jié)論3：若F（x），G（x）在區(qū)間D上連續(xù)，且F（x）≥G（x）的解集為A，A∩D=A1，則“任意x∈D，a>F（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈A1，a

現(xiàn)對結(jié)論1加以說明，上文已經(jīng)對“任意x∈D，a>F（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者a

設D=[m，n]，若x∈D，恒有F（x）≥G（x），即x∈D=[m，n]，恒有函數(shù)y=F（x）圖象在函數(shù)y=G（x）圖象的上方，“任意x∈D，a>F（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）”在D上的解集為D1=[m，t），關(guān)于x不等式“aF（x）或者aF（x）或者aF（x）恒成立或者任意x∈D，aF（x）或者a

對于結(jié)論2和結(jié)論3也可以結(jié)合圖形加以說明，本文在此不予贅述.

[?] 討論絕對值符號外的零點的真正本質(zhì)

文[2]中認為含參數(shù)的不等式a-f（x）>g（x）恒成立問題的一個常見錯誤解法是沒有對絕對值內(nèi)或者絕對值外的零點進行討論，通過剖析，可以發(fā)現(xiàn)沒有對絕對值內(nèi)或者絕對值外的零點進行討論只是錯誤解法的表面現(xiàn)象，而本質(zhì)的錯誤是邏輯上出現(xiàn)了錯誤. 文[2]通過例題說明解決這類問題需要對絕對值內(nèi)或者絕對值外的零點進行討論，但是并沒有對這2種解法做出合理的解釋.

利用上述3個結(jié)論能夠解釋對此類問題為什么要對絕對值外的零點進行討論. 現(xiàn)對文[2]中例2解法1進行闡述.

文[2]中例2解法1（討論絕對值符號外的零點）：

原不等化為x-1<0，

a∈R①

或x-1≥0，

a-2x>x-1或a-2x<-x-1. ②

由②得x≥1，

a>3x-1或a[3x-1]max=5或a<[x+1]min=2，由①②可得a的取值范圍為（-∞，2）∪（5，+∞）.

對不等式①的處理，其實就是利用結(jié)論2，因為a-2x>x-1?a>3x-1或a

對不等式②的處理利用的是結(jié)論1，當x∈[1，2]，3x-1≥x+1，故“對于x∈[1，2]，a>3x-1或a3x-1恒成立或者對于x∈[1，2]，a

綜述，對于x∈[0，2]，a-2x>x-1恒成立，a的取值范圍為（-∞，2）∪（5，+∞）.

因此，討論絕對值符號外的零點的本質(zhì)是為了找到“a>3x-1或a

[?] 問題的拓展

例3 已知不等式3a-2x>x-2a-1，對x∈[-4，0]恒成立，求a的取值范圍.

分析：本題若用絕對值外零點討論的解法，分類繁雜，而且邏輯上容易出現(xiàn)混亂，但如果用湘教版介紹的含絕對值不等式解法先對不等式3a-2x>x-2a-1實施等價變形，結(jié)合上文的3個結(jié)論，問題就迎刃而解了.

解：對x∈[-4，0]，3a-2x>x-2a-1恒成立.

?對x∈[-4，0]，3a-2x>x-2a-1或者3a-2x<1-x+2a恒成立，

?對x∈[-4，0]，a>x-或者a<1+x恒成立，

當x∈（-3，0]，因為x-<1+x，則a∈R，

當x∈[-4，-3]，因為x-≥1+x，則有：

對x∈[-4，-3]，a>x-或者a<1+x恒成立，

?對x∈[-4，-3]，a>x-恒成立或者對x∈[-4，-3]，a<1+x恒成立.

故a>

x-max=-2或者a<[1+x]min=-3.

綜述，a的取值范圍（-∞，-3）∪（-2，+∞）.

點評：對于“任意的x∈D，

h1（a）-f（x）

>g（x）-h2（a）恒成立，求a的取值范圍”這類問題，可以用以下方法解決：

任意的x∈D，h1（a）-f（x）>g（x）-h2（a）恒成立.

?任意的x∈D，h1（a）-f（x）>g（x）-h2（a）或者h1（a）-f（x）

?任意的x∈D，h1（a）+h2（a）>f（x）+g（x）或者h1（a）-h2（a）

令F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x），然后按照上文3個結(jié)論進行等價轉(zhuǎn)化即可.

最后，請讀者探究下面三組命題是否等價.

若F（x），G（x）在區(qū)間D上連續(xù)，“任意x∈D，F(xiàn)（x）F（x）恒成立且任意x∈D，a

若F（x），G（x）在區(qū)間D上連續(xù)，“存在x∈D，使得F（x）F（x）成立且存在x∈D，使得a

若F（x），G（x）在區(qū)間D上連續(xù)，“存在x∈D，使得aG（x）成立”與“存在x∈D，使得aG（x）成立”是否等價.