方程的同解性和非同解性辨析

宋揚

摘 要：解方程的問題，就是要把已知方程通過變形轉(zhuǎn)化為最簡方程，但在變形過程中，有時可能為同解變形，有時可能為非同解變形，本文就方程的同解性和非同解性做重點探討和理論研究.

關(guān)鍵詞：同解變形；非同解變形；檢驗；同解理論

解方程是由已知探究未知的重要方法. 解決實際問題時列出方程后，求出方程的正確的解就成了首要問題. 在解方程的變形過程中，有時得到的最簡方程與原方程的解集相同，有時得到的解集不同，這都需要方程的同解性和非同解性理論為其提供有力的依據(jù).

[?] 方程的同解概念

1. 同解概念的引入

先看一個實例，解方程2x+5=3，第一步推導過程：若2x+5=3成立?2x=-2?x=-1；第二步推導過程：若x=-1成立?2x=-2?2x+5=3，明顯可以看出，這里每一步推導都是可逆的. 對于“推導的每一步都可逆”這種可逆性（一種等價關(guān)系），稱為同解.

2. 同解方程的定義

定義1 方程f（x）=g（x）（1）與方程f1（x）=g1（x）（2），若（1）的解是（2）的解，則方程（2）稱為方程（1）的結(jié)果方程，簡稱結(jié)果.

例題中方程x=-1是方程2x+5=3的結(jié)果；方程2x+5=3是方程x=-1的結(jié)果，可以說方程2x+5=3與方程x=-1互為結(jié)果，這樣的兩個方程稱為同解方程.

定義2 若方程（2）是方程（1）的結(jié)果，且方程（1）是方程（2）的結(jié)果，則方程（1）和（2）稱為同解方程，簡稱同解.

由上述定義可知，原方程經(jīng)過可逆變換得到最簡方程，這樣最簡方程與原方程是同解的. 若是由原方程經(jīng)過不可逆變換得到的最簡方程，即若f（x）=g（x）?x=a，b，c，…，而不能倒推回去，那只能說后者是前者的結(jié)果，這時必須經(jīng)過檢驗，將求出的數(shù)一個個加以檢驗，看是否為原方程的解.

到底哪些變換是可逆的？即經(jīng)過哪些變換得到的方程與原方程是同解的？前面的例題給了我們一個啟示：在方程的兩邊加上同一個數(shù)得到的方程與原方程是同解的；在方程的兩邊同乘以一個不為零的數(shù)得到的方程是和原方程同解的，等等. 下面我們將這些內(nèi)容抽象出來作為定理，以后遇到這種變換就可以直接去解，以免每解一個方程都要去證明其可逆性.

[?] 方程的同解變形

為了敘述方便，先給出兩個定義：

定義3 把一個解析式變換成另一個與它恒等的解析式（即原定義域不發(fā)生變化），稱為第一類的恒等變形. 把一個解析式變成另一個與它條件恒等的解析式（即原定義域已發(fā)生變化，在兩個解析式的公共定義域內(nèi)恒等），稱為第二類的恒等變形. 這兩類變形統(tǒng)稱為恒等變形.

定義4 把一個方程變換成與它同解的方程，稱為方程的同解變形（即可逆變換）.

在解方程的過程中，有時需要在方程的一側(cè)（或在方程的兩側(cè)）分別進行恒等變形，只要方程的定義域不發(fā)生變化，那么變形后所得新方程與原方程是同解的.

同解定理1 方程f（x）=g（x）（1）與方程h（x）=k（x）（2），其中f（x）≡g（x），g（x）≡k（x）. 如果方程（1）（2）有相同的定義域M，那么方程（1）與（2）同解 .

它的特殊情形是僅對方程的某一側(cè)進行恒等變形（兩方程的定義域要求相同）. 由于整式方程的定義域是全體實數(shù)，而經(jīng)過去符號、合并同類項等恒等變形所得的新方程，其定義域沒有發(fā)生變化，則得到的新方程與原方程是同解的.

同解定理2 方程f1（x）=f2（x）（1）與方程cf1（x）=cf2（x）（2）同解，其中c≠0.

這里的c≠0條件不可缺少. 因為c≠0，才可以將（2）的兩邊同乘1/c變成（1），從而變換是可逆的. 若c=0，則變換不是可逆變換，兩個方程就不同解了，解分式方程和無理方程時，可能會遇見這種情況. 比同解定理2更一般的情況有如下定理.

同解定理2′ 方程f1（x）=f2（x）（1）與方程f1（x）h（x）=f2（x）h（x）（2）同解，其中h（x）對于方程（1）的定義域內(nèi)的值都有意義，且h（x）≠0.

同解定理3 方程f（x）=g（x）（1）與方程f（x）+h（x）=g（x）+h（x）（2）同解，其中h（x）為一整式.

若所加的h（x）不是整式，就不能保證所得的方程與原方程同解了. 如：方程x+1=3的解是x=2，若方程的兩側(cè)同加一個分式x+1+=3+，顯然x=2不可能是新方程的解，從而新方程與原方程不同解.

解整式方程時，常常用到的移項，其理論根據(jù)就是同解定理3. 解分式方程、無理方程和其他方程時，也時常將某一部分式子從方程的一邊改變符號后移到另一邊，其理論根據(jù)就是較同解定理3更一般的，將條件h（x）改為一解析式，且滿足：方程（2）與方程（1）有相同的定義域.

同解定理4 方程f1（x）f2（x）=0（1）與方程f1（x）=0（2），方程f2（x）=0（3）同解，其中對于每一個方程的定義域中的任一個數(shù)，使得左端都有意義.

此定理不僅僅適用于解一元二次方程，一元二次方程是整式方程，定義域始終是一切實數(shù)，若定理中沒有附加條件，則結(jié)論不成立. 較同解定理4更一般的，指一個方程與多個方程同解的情形，仍然成立.

同解定理5 如果方程（1）與（2）同解，方程（2）和（3）同解，那么方程（1）與（3）同解. 這一性質(zhì)又稱方程同解關(guān)系的傳遞性.

依據(jù)這些定理，我們先看一元一次方程的解法，中學課本總結(jié)了五個步驟：①去分母（根據(jù)定理2）；②去括號（根據(jù)定理1）；③移項（根據(jù)定理3）；④合并同類項（根據(jù)定理1）；⑤系數(shù)化為1（根據(jù)定理2），最后是根據(jù)同解定理5（用若干次），以上各步都有相應(yīng)的同解原理作保證，則解方程的檢驗步驟就可以省略. 如果真要檢驗，其作用也只是驗算計算是否正確. 關(guān)于方程的同解性問題，課本上采用等量公理→等式的基本性質(zhì)→方程的基本性質(zhì)→方程的同解原理進行敘述，明確同解原理是解方程的理論根據(jù)，為了便于學生接受，僅僅換了一種說法.

再看一元二次方程的解題方法（課本上介紹了四種）和各自的步驟，一元二次方程求根公式的推導，每步都有相應(yīng)的同解定理作保證，直接開平方法、配方法和因式分解法更是如此，也就沒有提出檢驗的必要，整式方程（含一元高次方程）都是如此.

然而，在解其他類型的方程，如分式方程、無理方程時，出現(xiàn)的情況往往不那么簡單，未必步步都可逆，也就是出現(xiàn)了非同解變形.

[?] 方程的非同解變形

解方程的過程，就是指將方程進行一系列變形的過程. 如果所做的變形有同解定理作保證，那么此變形一定是同解變形（即可逆的）；如果所做的變形沒有同解定理作保證，那么這種變形就是非同解變形（即不可逆的）. 在中學教學中，常用的非同解變形主要有以下幾類：

1. 方程的兩邊分別自乘同次方. 由方程F1=F2（1）得到F=F（2）. 一般情況下，方程（1）與方程（2）不同解，但只可能引起客解，而不會出現(xiàn)失解. 客解是由方程F1=ωF2中來的，這里的ω是1的n次方根中任一個非1的根. 特別的，由F1=F2?F=F可能引進客解，這種客解就是方程F1=-F2的解.

如解方程=7-x，兩邊平方得到（）2=（7-x）2，即[+（7-x）]·[-（7-x）]=0，就相當于用原方程左邊的共軛根式去乘方程的兩端，而增根x=10恰恰就是使所乘式子等于零的值.

2. 方程兩邊取同次方根. 例如f（x）=g（x）?=，在實數(shù)域內(nèi)，一般也不是同解變形. 因為對于后一方程要求未知數(shù)滿足附加條件f（x）≥0，g（x）≥0；而原方程卻不需要有這一條件.

3. 方程兩邊取倒數(shù). 由方程=（1）轉(zhuǎn)化為方程=（2），方程（1）與方程（2）一般不同解，原因是定義域有了改變. 這里方程（1）中x滿足條件g1（x）≠0，g2（x）≠0，而方程（2）中x滿足條件f1（x）≠0，f2（x）≠0，所以這種變形既可能丟失解，也可能引起客解.

4. 應(yīng)用誘導比例. 應(yīng)用合分比定理將方程=（1）轉(zhuǎn)化為方程=（2）. 一般情況下，方程（1）與方程（2）也不同解，原因是定義域有了變化. 如解方程=，由合分比定理得，=，則x2-2x+1=0，x1=x2=1，在變形中失去了原方程的一個解x=0.

5. 根式化簡. 例如·=φ（x）?=φ（x），因為前一方程要求x滿足f（x）≥0，g（x）≥0，而后一方程要求x滿足f（x）g（x）≥0，所以在一般情況下，這種變形也不是同解變形.如解方程·=，通過恒等變形，=，原方程的定義域是x∈[1，+∞）擴大為x∈（-∞，0]∪[1，+∞），而增根x=-1恰恰就在定義域擴大的那一部分里面.

類似地，lg[f（x）]2=φ（x）?2lgf（x）=φ（x）之類的變形，一般也不是同解變形.如lgx2=lg4，若推出2lgx=2lg2，得到x=2，就將x=-2這一個根丟了；若推出x2=4，得到x=±2，這就避免了丟根的情況.

方程定義域的變化可引起根的增減. 對于方程變形中所引進的客解，只要通過檢驗就能解決問題；但對于變形中失去的解，卻不易找回. 所以在變形時要及時考慮變形是否會引起失解，如果發(fā)生要及時做補充處理予以避免.

當然，以上幾種非同解變形只是常見的，不是詳盡無遺的，具體可另文討論.

[?] 相關(guān)理論在中學方程教學中的處理

根據(jù)循序漸進的教學原則，又根據(jù)學生知識面的局限性和可接受性，在中學階段要闡述較多的同解性和非同解性理論是不符合實際的，課本上在具體處理上恰到好處. 有關(guān)同解理論的闡述，初中階段可分為：整式方程階段、分式和無理方程階段；高中階段也可分為：對數(shù)方程階段、簡單的三角方程階段. 教師可根據(jù)方程教學的幾個階段逐步介紹一點，注重方法，而不必過分強調(diào)理論. 個人認為，教師本人則需要理論理解，實際操作上把握，就這部分內(nèi)容的教材與教法做深入探討，以便在教學中有理論保證.