M矩陣與非負(fù)矩陣特征值界的研究

李艷艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000)

1 預(yù)備知識(shí)

非負(fù)矩陣，M矩陣是矩陣?yán)碚摲治鲋蟹浅Ｖ匾膬深?lèi)矩陣，并且應(yīng)用于許多領(lǐng)域。近年來(lái)關(guān)于它們研究的一個(gè)重點(diǎn)是非負(fù)矩陣的Hadamard積A?B，M矩陣的Fan積A*B的特征值界的估計(jì)。自從2004年以來(lái)陳省生，黃榮，李厚彪，李耀堂，劉慶兵，李艷艷，劉新等許多學(xué)者給出了它們特征值的上界或下界的估計(jì)式。由于不同的估計(jì)式所依據(jù)的理論知識(shí)與技巧，方法不同，所以它們之間從理論上往往沒(méi)有可比性，也就是說(shuō)只能借助具體的例子說(shuō)明各自的優(yōu)缺點(diǎn)。本文利用相似矩陣具有相同特征值的性質(zhì)從而構(gòu)造它們的相似矩陣的角度繼續(xù)研究該類(lèi)問(wèn)題。

下面首先給出本文要用到的一些定義和引理

定義1［1］如果矩陣 A=(aij)m×n的所有元素aij≥0，則稱(chēng)矩陣A為非負(fù)矩陣，記作A≥0;若 aij＞0，則稱(chēng)矩陣A為正矩陣。

定義2［1］如果矩陣A=(aij)n×n的非主對(duì)角元素 aij≤0，i，j∈N，i≠j，則稱(chēng) A 為 Z 矩陣;若 A 為 Z矩陣且A－1≥0，則A為非奇異M矩陣。q(A)表示非奇異M矩陣A的最小特征值。

定義 3［1］設(shè) A=(aij)∈Cm×n，B=(bij)∈Cm×n，A?B表示A和B的對(duì)應(yīng)元素相乘而成的

m×n矩陣

A?B稱(chēng)為A和B的Hadamard積。

定義 4［1］設(shè) A=(aij)∈Cm×n，B=Cm×n，設(shè)A*B=(Cij)，

稱(chēng)為A和B的Fan積。

定義5［1］設(shè)A=(aij)是非奇異M矩陣，令Z(A)=A －D(A)，D(A)=diag(aij)且 aij＞0，則 JA=－D－1Z(A)≥0，稱(chēng)為非奇異M矩陣的迭代矩陣。

引理 1［2］設(shè) A=(aij∈Rn×n)，用 σ(A)表示 A的譜(A的特征值的集合)

1)若A是非負(fù)矩陣，則由Perron－Frobenius定理知，A的譜半徑ρ(A)∈σ(A);

2)若A是M矩陣，τ(A)是A的最小特征值，則τ(A)∈σ(A)。

引理 2［2］A=(aij)∈Rn×n，則

1)若A是不可約非負(fù)矩陣，則存在正向量u使Au=ρ(A)u，其中u稱(chēng)為A的右Perron特征向量。

2)若A是不可約非奇異M矩陣，則存在正向量v使Av=τ(A)v，其中v稱(chēng)為A的右Perron特征向量。

定義 6［2］設(shè) A=(aij)∈Rn×n，如果存在 n × n置換矩陣P使

引理 3［3］設(shè) A=(aij)∈Cn×n，x1，x2，…xn是一組正實(shí)數(shù)。則A的所有特征值包含在復(fù)平面C的如下區(qū)域中:

引理 4［3］設(shè) A=(aij)∈Rn×n是非負(fù)矩陣，則

另一方面，若A不可約，則

2 主要結(jié)果

下面分三部分給出本文研究的主要問(wèn)題。

非奇異M矩陣的迭代矩陣JA的譜半徑ρ(JA)的上界。

定理1 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異M矩陣，x1是正實(shí)數(shù)，則

證明:定義 D=diag(d1，d2，…，dn)為正對(duì)角矩陣，則D－1AD與D相似，即它們具有相同的特征值，ρ(JA)= ρ(JD－1AD)。

因?yàn)锳是非奇異M矩陣，由引理2知存在正向量 v使 Av=τ(A)v且 aii－τ(A)＞0，?i∈N，

由引理4知

M矩陣的Fan積最小特征值的下界。

引理5［2］設(shè)A，B是非奇異 M － 矩陣，D，E是正對(duì)角矩陣則，

D(A*B)E=(DAE)*B=(DA)*(BE)=(AE)*(DB)=A*(DBE)。

定理2 設(shè)A，B是非奇異M－矩陣，m＞0則

則存在正向量U和V使得

令 U=diag(u1，u2，…，un)，V=diag(v1，v2，…，vn)，則U，V是非奇異對(duì)角矩陣。

非負(fù)矩陣A與B的Hadamard積A?B的譜半徑的上界。

類(lèi)似于定理2的證明可得定理3。

定理3 設(shè)A，B是非負(fù)矩陣，m＞0則

3 數(shù)值算例

應(yīng)用參考文獻(xiàn)［4］中定理4得 τ(A*B)≥0.7655。應(yīng)用本文定理2得τ(A*B)≥0.8729，事實(shí)上 τ(A*B)=0.8819。

應(yīng)用參考文獻(xiàn)［4］中定理2得 ρ(A?B)=11.6438，應(yīng)用定理2得ρ(A?B)≤6.7340，事實(shí)上ρ(A ?B)=5.7339。

應(yīng)用參考文獻(xiàn)［4］中定理2ρ(A?B)≥25.3634。應(yīng)用定理2得ρ(A?B)≤21.9275，事實(shí)上ρ(A?B)=20.7439。

數(shù)值算例說(shuō)明本文所得結(jié)果提高了現(xiàn)有的估計(jì)式，而且本文推導(dǎo)估計(jì)式的這種方法以前的學(xué)者所沒(méi)有用到的。

［1］黃廷祝，楊傳勝.特殊矩陣分析及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［2］陳景良，陳向暉.特殊矩陣［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2000.

［3］李艷艷，李耀堂.矩陣Hadamard積和Fan積的特征值界的估計(jì)［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，32(2):125－129.

［4］LIU Qing－ bing，CHEN Guo－ liang，ZHAO Lin － lin．Some new bounds on the spectral radius of matrices［J］．Linear Algebra and its Applications，2009，432:936 －948．

［5］劉新，楊曉英.矩陣Hadamard積最小特征值的新下界［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，30(2):53－55.