小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“教什么”

李 祎 王 珍

（1.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 福建 廈門 350007；2.廈門外國語學(xué)校海滄附屬學(xué)校 福建 廈門 361026）

高水平的教師，能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教教材中顯性知識的同時，能挖掘出其背后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內(nèi)容。這些不易教到的隱性知識是什么呢？概括而言，我們認為是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過程、思想和結(jié)構(gòu)。

一、教“本質(zhì)”

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物，所謂本質(zhì)屬性就是該類事物共有和特有的穩(wěn)定屬性。數(shù)學(xué)概念包括內(nèi)涵和外延兩個方面，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，關(guān)鍵是要掌握概念的內(nèi)涵，明確概念的外延。比如，對于數(shù)學(xué)中最簡單的概念——自然數(shù)的學(xué)習(xí)，必須明確自然數(shù)的兩重意義：一是表示數(shù)量意義，即被數(shù)的物體有“多少個”，這種用來表示事物數(shù)量的自然數(shù)，稱為基數(shù)；二是表示次序意義，即最后被數(shù)到的物體是“第幾個”，用來表示事物次序的自然數(shù)，稱為序數(shù)。自然數(shù)不僅包括正整數(shù)1，2，3，…，還包括0，這就是自然數(shù)的外延。

數(shù)學(xué)中有些概念的本質(zhì)，相對比較隱晦，需要教師努力揭示。比如，“把連接兩點之間的線段的長度叫作兩點之間的距離”“從直線外一點到這條直線所作的垂直線段的長度叫作點到直線的距離”，這樣的定義并沒有直接反映出距離的本質(zhì)。那么，距離的本質(zhì)是什么呢？距離的本質(zhì)就是“最小值”：圖形P內(nèi)的任一點與圖形Q內(nèi)的任一點間的距離中的最小值，叫作圖形P與圖形Q的距離。在教學(xué)中把握住這一本質(zhì)，那么，后續(xù)學(xué)習(xí)“兩平行線之間的距離”“點到平面的距離”“直線到與它平行的平面的距離”“兩個平行平面的距離”“異面直線的距離”的概念時，學(xué)生往往也能不教自明，從而順利實現(xiàn)知識的遷移。這也說明，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并不意味著背誦概念的定義。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，還要掌握數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)。

所謂數(shù)學(xué)結(jié)論，是指數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式、法則等。把握數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，并不在于記誦結(jié)論本身，而在于理解其內(nèi)涵，明確其意義，掌握其正確的理由。比如對于三角形而言，三個內(nèi)角大小反映了三角形的形狀，不同三角形的三個內(nèi)角不全相同，但三個內(nèi)角之和卻是定值，這就是三角形的三內(nèi)角和定理，它反映了任意三角形的三個內(nèi)角之間所滿足的等量關(guān)系，據(jù)此就可以實現(xiàn)“知二求一”。對于該結(jié)論，不僅可以通過剪拼、折疊等方法來獲得，還可以通過直觀的手段，來對其進行驗證。比如圖1，用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點B、C為定點，A為動點。放松橡皮筋后，點A自動收縮于BC上，考察點A變化時所形成的一系列的三角形……根據(jù)其內(nèi)角的變化獲得結(jié)論。還可以這樣理解：如圖2，假設(shè)一個人從A點出發(fā)，沿著逆時針方向經(jīng)過各個頂點，然后回到出發(fā)的A點并轉(zhuǎn)向出發(fā)時的方向，這個人所轉(zhuǎn)過的角的和恰好是這個三角形的外角和。由于剛好轉(zhuǎn)了一圈回到出發(fā)點，因此其外角和是360°，所以三角形的內(nèi)角和就是 3×180°-360°=180°。不難發(fā)現(xiàn)，這種方法可用來解釋任意凸多邊形的外角和與內(nèi)角和，因而更為本質(zhì)地反映了結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律性。

圖1

圖2

數(shù)學(xué)中除了一些結(jié)論性知識，還有大量的方法性知識，比如運算的方法、度量的方法、變換的方法、論證的方法等。掌握數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，不僅要掌握“怎么做”，即方法運用的程序與步驟，還要掌握“為什么可以這樣做”，即方法運用的緣由、條件與范圍等。比如對于數(shù)的加減運算的方法，必須抓住計數(shù)單位這一本質(zhì)。因為自然數(shù)以“1”為標準，“1”是自然數(shù)的單位，所以任何兩個自然數(shù)都可以直接相加減；同分母分數(shù)，因為它們的分數(shù)單位相同，所以能直接相加減；異分母分數(shù)，因為它們的分數(shù)單位不同，所以就要把它們化成相同的單位，這樣才可以相加減。小數(shù)的加減運算中為什么小數(shù)點對齊才能相加減呢？其本質(zhì)也是相同計數(shù)單位要相同。在小數(shù)中，小數(shù)點的左邊是整數(shù)部分，第一位是個位，第二位是十位，……，小數(shù)點右邊是小數(shù)部分，第一位是十分位，第二位是百分位，……在計算小數(shù)加、減法的豎式中，只要小數(shù)點對齊，相同數(shù)位就對齊了，相同計數(shù)單位也就同樣能相加減，而不必考慮小數(shù)的末位是不是一定對齊。

二、教“過程”

數(shù)學(xué)有三種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)。原始形態(tài)是指數(shù)學(xué)家在探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理時所進行的曲折、復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考；學(xué)術(shù)形態(tài)是指數(shù)學(xué)家對探索、發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)真理進行歸納、整理形成文本材料后的一種形態(tài)，它呈現(xiàn)出的是“簡潔的、冰冷的形式化美麗”；教育形態(tài)是指教師通過自己的設(shè)計，將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識有效地“激活”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，能夠模仿數(shù)學(xué)家那樣進行“火熱的思考”，它是介于原始形態(tài)和學(xué)術(shù)形態(tài)之間的一種形態(tài)。

弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達形式：沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，因此他說教材是“教學(xué)法的顛倒”。為了彰顯數(shù)學(xué)知識的過程性，就要通過數(shù)學(xué)知識的教育形式散發(fā)出數(shù)學(xué)的巨大魅力，讓數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”喚醒學(xué)生“火熱的思考”，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中需要采用稚化思維的設(shè)計策略。

所謂稚化思維，就是教師把自己的外在權(quán)威隱蔽起來，在教學(xué)時不以一個知識豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學(xué)生的思維水平上，親近學(xué)生，接近學(xué)生，有意識地退回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài)，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的學(xué)習(xí)水平、狀態(tài)等，有意識地發(fā)生一種陌生感、新鮮感，以與學(xué)生同樣的認知興趣、同樣的學(xué)習(xí)情緒、同樣的思維情境、共同的探究行為來完成教學(xué)的和諧共創(chuàng)。

比如在“乘法的初步認識”的教學(xué)中，要把自己的思維置身于前人“做乘法”的境地，想象自己在對乘法一無所知的情況下面臨的困惑，由衷地感受到乘法出現(xiàn)所蘊含的價值[1]：一是簡化意識的形成。前人在做大量的加法時，發(fā)現(xiàn)加法可分為兩類：一類是加數(shù)不同的加法，一類是加數(shù)相同的加法。加數(shù)相同的加法是不是可以有一種更簡便的方法呢？二是思維視角的變化。在乘法出現(xiàn)之前，加減運算所關(guān)注的都是整體里的具體數(shù)量，這屬于同一層面的視角，而乘法則必須既注意整體里的具體數(shù)量，同時還關(guān)注整體的個數(shù)，這可謂是既見樹木又見森林，思維視角發(fā)生變化，顯示出思維層次的提升。

無疑，讓學(xué)生能經(jīng)歷這兩個方面的“再創(chuàng)造”，才是真正有價值的學(xué)習(xí)。因此在教學(xué)中要充分調(diào)動學(xué)生的直觀的生活經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗相同加數(shù)相加的實際問題很普遍。同時引導(dǎo)學(xué)生從相同加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)不同等角度去看待問題，學(xué)會“幾個幾”的表達方式。在由加法算式改寫成乘法算式這一環(huán)節(jié)，為什么用乘法表示，怎樣用乘法表示，都盡可能讓學(xué)生回到知識生成的原生狀態(tài)，讓學(xué)生去把需要發(fā)現(xiàn)的知識建構(gòu)和再創(chuàng)造出來。

“過程”是形成“結(jié)論”或獲得“結(jié)果”而必須經(jīng)歷的程序、步驟，沒有“過程”便沒有真正意義上的“結(jié)果”。所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要凸顯知識的本質(zhì)特征，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，注重學(xué)生的能力培養(yǎng)，就必須重視知識的生成、發(fā)生、發(fā)展等過程性。教學(xué)中掐頭去尾燒中段，忽視知識的來龍去脈，有意無意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現(xiàn)嚴重“消化不良”，從而降低數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。當然在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于各種原因，有時做不到徹底的知識的原生態(tài)建構(gòu)，但只有有了這樣的意識和追求，課堂教學(xué)才會盡可能地貼近當時的真實情境。

三、教“思想”

數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化，而其中運用的數(shù)學(xué)思想方法，卻往往是相通的。不去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，只滿足于對知識結(jié)論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術(shù)輕道”的數(shù)學(xué)教學(xué)，難以培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的人才。因為數(shù)學(xué)知識教學(xué)只是信息的傳遞，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才能使學(xué)生形成觀點和技能。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價值的策略性知識——數(shù)學(xué)思想方法。

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認識過程中抽象概括出來的對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的本質(zhì)認識。數(shù)學(xué)方法是指人們在數(shù)學(xué)問題解決過程中所采取的步驟、程序和實施辦法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶，它支配著數(shù)學(xué)的實踐活動。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段，它為數(shù)學(xué)思想提供邏輯手段和操作原則。運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種量的積累達到一定程度時就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識看作用一幅構(gòu)思巧妙的藍圖建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當于建筑施工的手段，而這張藍圖就相當于數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)教材中蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上。如果說顯性的數(shù)學(xué)知識是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看明?！懊骶€”直接用文字形式寫在教材里，反映知識間的縱向聯(lián)系；“暗線”反映著知識間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識的背后，需要經(jīng)過分析、提煉才能顯露出來。在數(shù)學(xué)教材里，到處都體現(xiàn)著這兩條線的有機結(jié)合。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在教顯性知識的同時，能否教出隱性的思想，既影響到了學(xué)習(xí)的效果，又彰顯了教師的素質(zhì)和水平。

比如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“簡易方程”一節(jié)的教學(xué)中，包含了許多數(shù)學(xué)思想方法：通過多種形式，由符號表示數(shù)，到用字母表示數(shù)，由此滲透了代數(shù)的基本思想——用字母表示數(shù)的符號化思想；字母既可以表示已知量，也可以表示未知量，當字母表示未知量時，我們要設(shè)法建立包含未知數(shù)的等式——方程思想；為了建立方程，通常需要尋找一個量，這個量既可以這樣表示，也可以那樣表示，由此獲得等量關(guān)系，此即重要的數(shù)學(xué)思想——不變量思想；解方程的過程，是采用對象性思維的方式，利用等式的性質(zhì)對方程進行等價變形的過程——等價轉(zhuǎn)化思想；建立方程過程中的諸多實例，都是采用“問題情境—建立模型—求解驗證”的思路，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程——數(shù)學(xué)模型思想；對于方程求解的方法與步驟，采用了由具體實例到一般意義的抽象概括——從特殊到一般的歸納思想；在歸納數(shù)量關(guān)系用字母表示時，還滲透了變量間的對應(yīng)和依存關(guān)系，如標準體重隨著身高的變化而變化，兩個量之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系——函數(shù)思想。

四、教“結(jié)構(gòu)”

美國教育家布魯納認為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^學(xué)科基本結(jié)構(gòu)，是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，是指知識的整體性和事物的普遍聯(lián)系，而非孤立的事實本身和零碎的知識結(jié)論。他認為，這種基本結(jié)構(gòu)應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心，因為掌握了學(xué)科知識的基本結(jié)構(gòu)，就能把握住知識體系的核心和關(guān)鍵，就可以從宏觀上理解學(xué)科知識，從而避免“只見樹木不見森林”。

小學(xué)數(shù)學(xué)的各個內(nèi)容領(lǐng)域，都是按照數(shù)學(xué)的科學(xué)體系和兒童認知發(fā)展順序建立起來的統(tǒng)一體。因此鉆研教材和進行教學(xué)，不僅要研究本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，更要研究這部分內(nèi)容與前后知識的內(nèi)在聯(lián)系；不僅要熟悉自己所教年級的教學(xué)內(nèi)容，還要熟悉相鄰年級的教學(xué)內(nèi)容，甚至要熟悉整個學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容。這樣才能了解到所要教學(xué)的內(nèi)容是在怎樣的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，又怎樣為后面所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容做準備，進而在教學(xué)中有意識地溝通新舊知識的縱橫聯(lián)系，突出基本概念和基本規(guī)律。

比如在“多邊形面積的計算”的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生加強對知識之間內(nèi)在聯(lián)系的認識，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，以有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。一方面，在各種圖形的面積計算公式的推導(dǎo)過程中，要充分利用割補、拼擺、平移、旋轉(zhuǎn)等實際操作，引導(dǎo)學(xué)生運用化歸轉(zhuǎn)化的思想，把所研究的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會計算面積的圖形，在探索規(guī)律、推導(dǎo)公式的同時，使學(xué)生感受各種圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；另一方面，在學(xué)生掌握了各種圖形的面積計算公式的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)和幫助學(xué)生溝通各種圖形的特征及面積計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，將三角形、平行四邊形、長方形、正方形等看作梯形在不同條件下的特殊情況，從而把學(xué)生所學(xué)過的面積計算公式統(tǒng)一為梯形面積公式。

數(shù)學(xué)中的各種內(nèi)在聯(lián)系，不僅包括知識之間的內(nèi)在的縱向聯(lián)系，還包括思想方法之間的橫向聯(lián)系。比如在“圖形度量”方面，分別研究了長度、角度、面積、體積的度量方法。知識展開的邏輯順序是：線段長→多邊形周長→圓周長；兩直線的夾角→角的度量→兩直線位置關(guān)系；單位正方形面積→長方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。四項研究的具體內(nèi)容不同，但其邏輯結(jié)構(gòu)卻是相同的，都是“定義幾何量→確定度量單位→尋求度量方法→建立可能的度量公式”，這就是數(shù)學(xué)中的基本思想——度量思想。如研究長方形周長：定義周長是各邊長度之和→定義長度單位是某根尺的長度或其更小分量→推出“周長等于長加寬乘以2”。

因此，挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準核心思想，通過融會貫通的過程，使我們透過繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質(zhì)，同時簡化了記憶。更重要的是，學(xué)會了認識問題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，把個別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)，這標志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展。

總之，高水平的數(shù)學(xué)教師，通過犀利而深邃的數(shù)學(xué)眼光，看到的不只是各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則和圖表，而應(yīng)是書中跳躍著的真實而鮮活的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容給人的感覺是“不在書里，就在書里”。教師對這些內(nèi)容挖掘得越豐富，感悟出來的道理就越透徹，設(shè)計出來的教學(xué)就會越厚重，學(xué)生由此而汲取的數(shù)學(xué)營養(yǎng)就會越豐富?！?/p>

[1]王俊.返回知識生成的原生狀態(tài)——“乘法的初步認識”的教學(xué)思考與實踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2004(12):24-30.