連通氣球?qū)嶒?yàn)結(jié)果及其定性解釋

潘才連，蔡志東

(鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校丹陽(yáng)師范學(xué)院，江蘇 丹陽(yáng) 212300)

連通氣球是小學(xué)生非常喜歡的一個(gè)自主探究實(shí)驗(yàn)，一些中學(xué)生也喜歡這個(gè)實(shí)驗(yàn)。一些學(xué)生和小學(xué)科學(xué)教師認(rèn)為，大小不同的2個(gè)氣球連通后只出現(xiàn)一種結(jié)果，即“大的更大，小的更小”。實(shí)際上，還存在另外2種現(xiàn)象，即“大的、小的都不變”和“大的變小，小的變大”。原因何在?迄今為止，還沒(méi)有人對(duì)此作出合理的解釋。網(wǎng)上有不少人采用肥皂泡模型(即把氣球視作肥皂泡)來(lái)解釋現(xiàn)象——“大的更大，小的更小”，這是錯(cuò)誤的。筆者對(duì)實(shí)驗(yàn)方法作了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，使得實(shí)驗(yàn)操作省時(shí)省力，效果顯著，并根據(jù)橡膠的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線對(duì)此作出了合理的解釋。

1 連通氣球?qū)嶒?yàn)方法的改進(jìn)

1.1 傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法

連通氣球取材方便，操作簡(jiǎn)單，現(xiàn)象奇特，是小學(xué)生自主探索實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之一，深受小學(xué)生的喜歡。文獻(xiàn)［1］詳細(xì)介紹了實(shí)驗(yàn)過(guò)程。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是用2個(gè)氣球、1根管子、幾條棉線，讓學(xué)生自主探究2個(gè)大小不同的氣球連通后的變化，培養(yǎng)學(xué)生的觀察和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。?shí)驗(yàn)裝置和步驟如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程:1)吹起2個(gè)氣球，一大一小，分別用棉線扎住(不要打死結(jié));2)把2個(gè)氣球分別綁在空心管的兩端，注意扎緊別漏氣;3)打開(kāi)2個(gè)活結(jié)，讓氣球里的空氣連通;4)觀察氣球的變化。

圖1 傳統(tǒng)的連通氣球?qū)嶒?yàn)

筆者發(fā)現(xiàn)，按照傳統(tǒng)的做法，操作起來(lái)相當(dāng)麻煩，而且容易漏氣。首先，直接用嘴對(duì)著氣球吹氣不衛(wèi)生，有些肺活量較小的學(xué)生不能一次性把氣球吹得很大(一不小心，氣球中的氣體會(huì)反沖回口腔)。其次，直接把氣球口套在管子上會(huì)因套不緊而漏氣，如果用線把它系在管子上，則相當(dāng)于每個(gè)氣球上有2個(gè)結(jié)，共有4個(gè)結(jié)。多次實(shí)驗(yàn)時(shí)，需要反復(fù)系、解4個(gè)結(jié)，非常麻煩。再次，不能做到同時(shí)打開(kāi)氣球閥門，讓氣體同時(shí)相向而行(左、右2個(gè)活結(jié)同時(shí)打開(kāi)很難做到)。

1.2 改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)方法

為克服這些不足，筆者做了較大的改進(jìn)，如圖2所示，把原來(lái)的1根管子改成3根(較短的)玻璃管，中間用2根較短的乳膠管(乳膠管事先清洗干凈)相連，氣體的通、斷由乳膠管上的2個(gè)彈簧夾控制。左、右2根玻璃管的一端和2個(gè)氣球相連(可以用線扎成死結(jié)或活結(jié)，非常緊密)，另一端和乳膠管相連，中間玻璃管是活動(dòng)的，可以很方便地套上或取下(左、右2個(gè))乳膠管。實(shí)驗(yàn)時(shí)，先把中間玻璃管取下，松開(kāi)夾子，用嘴或氣筒通過(guò)乳膠管向氣球吹氣或打氣。若用嘴吹氣，一口氣吹完后立即用夾子夾住乳膠管，休息片刻，再松開(kāi)夾子，吹第二口氣并夾住。反復(fù)多次，可以把氣球吹得很大，同時(shí)避免氣球內(nèi)的氣體反沖。吹到需要的大小之后，把它們和中間的玻璃管相連。然后，2個(gè)彈簧夾同時(shí)打開(kāi)，觀察氣球大小的變化。此法省時(shí)省力，效果非常好。

圖2 改進(jìn)后的連通氣球?qū)嶒?yàn)

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、圖片及結(jié)論

有不少教師和文獻(xiàn)認(rèn)為，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果只有一種:即大、小不同的2個(gè)氣球連通后大的更大，小的更小。但筆者的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有3種(事實(shí)上，一些學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)中也出現(xiàn)過(guò)3種現(xiàn)象，只不過(guò)被忽視了)。具體結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 大、小不同的2個(gè)氣球連通后半徑或體積的變化

為了使數(shù)據(jù)更加可信，筆者用數(shù)碼相機(jī)拍攝了測(cè)量過(guò)程(注:直尺的起點(diǎn)刻度為10 cm)。以實(shí)驗(yàn)1為例(實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3，略)，圖3，圖4，圖5，圖6顯示，確實(shí)有“大的變小，小的變大”現(xiàn)象存在。

圖3 實(shí)驗(yàn)1中大氣球連通前的直徑(21 cm)

圖4 實(shí)驗(yàn)1中小氣球連通前的直徑(9 cm)

圖5 實(shí)驗(yàn)1中2個(gè)氣球連通后，大氣球的直徑(19.5 cm)

圖6 實(shí)驗(yàn)1中2個(gè)氣球連通后，小氣球的直徑(13 cm)

2.2 中學(xué)生的實(shí)驗(yàn)曲線

筆者的實(shí)驗(yàn)結(jié)論不是孤立的，臺(tái)灣臺(tái)南縣私立興國(guó)高級(jí)中學(xué)的許翰棕等4個(gè)學(xué)生也做了類似的實(shí)驗(yàn)［6］，得出了同樣的結(jié)論，即3種現(xiàn)象都有可能出現(xiàn)。他們還繪出了氣球內(nèi)外壓強(qiáng)差(由構(gòu)成氣球的橡膠皮膨脹所引起的張力產(chǎn)生)與半徑之間的關(guān)系曲線，如圖7所示(該設(shè)計(jì)獲臺(tái)灣第44屆中小學(xué)科學(xué)展覽會(huì)高中組最佳創(chuàng)意獎(jiǎng))。原圖中，縱軸表示壓力用T表示。圖7中，上面曲線所示為充氣曲線，下面曲線所示為放氣曲線(從圖中可見(jiàn)，與充氣曲線形狀相似，但壓強(qiáng)有所減弱)，壓強(qiáng)差ΔP單位是厘米水柱高(cmH2O)，半徑R為3個(gè)方向半徑的平均值(單位為cm)。由圖7可知，氣球內(nèi)部的壓強(qiáng)(等于壓強(qiáng)差與大氣壓之和)先迅速增大，接著減小，然后增大，這一結(jié)果和筆者的實(shí)驗(yàn)結(jié)論一致。圖7中的R1，R2分別為最大壓強(qiáng)半徑和最小壓強(qiáng)半徑(可以稱之為第一臨界半徑和第二臨界半徑)。如果把氣球的膜看成是一薄膜(實(shí)際上是有一定厚度的)，則可以像液體表面那樣引進(jìn)“等效表面張力系數(shù)”，即作用在氣球表面單位長(zhǎng)度的張力，用γ表示，則

由此可依據(jù)ΔP－R關(guān)系曲線(圖7)畫出γ－R關(guān)系曲線(圖8)。圖8中，γ的單位為cm·cmH2O(長(zhǎng)度單位cm和壓強(qiáng)單位之積)，未用國(guó)際單位(國(guó)際單位制中，張力系數(shù)的單位為N/m)。

圖7 氣球內(nèi)外壓強(qiáng)差與半徑的關(guān)系

圖8 氣球等效表面張力系數(shù)與半徑的關(guān)系曲線

如圖9所示，取氣球表面的一部分(球冠，其底面圓半徑為r，球半徑為R)，它對(duì)圓心的張角為θ，氣球的張力沿球冠的切平面作用在半徑為r的圓周上，張力的大小為2πr·γ，它在豎直方向的分力為2πr·γ·sinθ，而氣球內(nèi)部氣體和外部大氣的壓力都垂直于球的表面，由于對(duì)稱性，沿水平方向一周的合力為零，沿豎直方向的合力方向向上，等效作用在半徑為r的平面上，其大小為ΔP·πr2，兩者相等，所以

即

由圖9可知，

所以

(文獻(xiàn)［2］的推導(dǎo)是特例，相當(dāng)于 θ=90°，r=R的特殊情況。)

圖9 張力系數(shù)與半徑的關(guān)系

3 定性解釋

3.1 肥皂泡模型的缺陷

對(duì)于連通氣球?qū)嶒?yàn)中出現(xiàn)“大的更大，小的更小”現(xiàn)象的原因，網(wǎng)上有不少人提出用肥皂泡模型來(lái)解釋。根據(jù)文獻(xiàn)［2］和［4］可知，肥皂泡內(nèi)外壓強(qiáng)差的公式為

其中，γ為肥皂水的表面張力系數(shù)(在一定溫度下為常數(shù))。設(shè)P0為大氣壓強(qiáng)，ΔP=P－P0，公式(1)可改寫為

由此可知，半徑越大的肥皂泡內(nèi)部壓強(qiáng)越小，當(dāng)大、小2個(gè)肥皂泡連通時(shí)會(huì)出現(xiàn)“大的更大，小的更小”的現(xiàn)象。但這一模型無(wú)法解釋2個(gè)大小不同的氣球連通后會(huì)出現(xiàn)“大的變小，小的變大”和“大的、小的都不變”的現(xiàn)象。

事實(shí)上，液體的表面張力是由鄰近分子的引力引起的［3］，而氣球橡膠膜的張力是由彈性體的形變引起的，二者有顯著的差異。液體的表面層極薄，氣球橡膠膜相對(duì)較厚。液體的表面張力系數(shù)γ與半徑無(wú)關(guān)(一定溫度和雜質(zhì)下不變)，而氣球橡膠膜的張力系數(shù)γ是變化的。

3.2 氣球薄膜的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

氣球的主要成分為橡膠(此外還有配合劑、穩(wěn)定劑、硫化劑、防老化劑等非橡膠成分)，是典型的高分子彈性體。根據(jù)文獻(xiàn)［5］，通用的典型橡膠應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖10所示(不同彈性體的曲線是有差異的)。

圖10 橡膠的應(yīng)力-應(yīng)變曲線

所謂“應(yīng)力”是指單位面積上受到的彈力，其定義為

其中，F(xiàn)為載荷或彈力，A0為原始截面積。

所謂“應(yīng)變”，就是相對(duì)形變量，其定義為

其中，L0為原始長(zhǎng)度，L為形變后的長(zhǎng)度。應(yīng)變也叫做應(yīng)變率，一般用百分比表示。

3.3 應(yīng)力-應(yīng)變曲線的主要特征

由圖10可知，此曲線大致可以分為3個(gè)階段:

第1階段，ε約為50%(拉伸后的長(zhǎng)度小于原長(zhǎng)的1.5倍)，應(yīng)力隨應(yīng)變的變化很快。在這一階段，很小的形變就能產(chǎn)生比較大的應(yīng)力。這一階段，處于無(wú)規(guī)卷曲狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)鏈逐漸伸展。

第2階段，ε約為60% ～260%(拉伸到原長(zhǎng)的1.6到3.6倍之間)，曲線上升緩慢，即形變過(guò)程中應(yīng)力增長(zhǎng)非常緩慢，這一結(jié)論和臺(tái)灣中學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)論完全吻合。此階段，除了無(wú)規(guī)卷曲線團(tuán)伸展之外，還有一些小的網(wǎng)絡(luò)鏈在發(fā)生形變。

第3階段，即ε約為260% ～500%(即拉伸到原長(zhǎng)的3.6～6倍)，曲線上升迅速(尤其ε＞400%時(shí)，上升極快)。此時(shí)，材料內(nèi)部柔性網(wǎng)絡(luò)鏈已充分伸直，較剛硬的結(jié)晶和有序微晶區(qū)也發(fā)生變形而解體，局部有缺陷和裂紋產(chǎn)生并伸展，直至材料的化學(xué)鍵在應(yīng)力作用下斷裂(氣球爆裂)。

3.4 用應(yīng)力-應(yīng)變曲線解釋壓強(qiáng)差與半徑的關(guān)系

由圖10可知，在第1階段，當(dāng)R增大時(shí)，ΔP(本質(zhì)上就是由彈性體的形變產(chǎn)生的彈力引起的)增大。第2階段，氣球的彈性有所減弱，應(yīng)力變化極小，但是，氣體壓力作用的面積卻急速增大(與圖9中的r2成正比)。于是，ΔP隨R的增大而減小。第3階段，氣球膜內(nèi)部的柔性網(wǎng)絡(luò)鏈已充分伸直，應(yīng)力σ上升很快，總的張力增加得比r2還要快，所以ΔP再次增大，這樣就定性地解釋了圖7。

3.5 由壓強(qiáng)差-半徑關(guān)系曲線得出的結(jié)論

由圖7可知:

1)當(dāng)氣球的半徑小于第一臨界半徑，即R＜R1時(shí)，2個(gè)大小不同的氣球連通后，因半徑大的壓強(qiáng)大，出現(xiàn)“大的變小，小的變大”現(xiàn)象。但這一階段，氣球半徑很小，充氣量也少，變化不明顯。

2)當(dāng)R1＜R＜R2時(shí)，因?yàn)榘霃酱蟮膲簭?qiáng)小，所以出現(xiàn)“大的更大，小的更小”現(xiàn)象。

3)當(dāng)R＞R2時(shí)，因半徑大的壓強(qiáng)大，也會(huì)出現(xiàn)“大的變小，小的變大”現(xiàn)象。但容易出現(xiàn)爆裂狀況。

4)若1個(gè)氣球的半徑處在第一區(qū)(R?。糝1)，另1個(gè)氣球的半徑處在第二區(qū)(R1＜R大＜R2)或第三區(qū)(R大＞R2)，或 R小處在第二區(qū)，R大處在第三區(qū)，則3種現(xiàn)象都可能出現(xiàn)(即也可能不變)。

5)要觀察“小的更小，大的更大”的現(xiàn)象，較快的方法是將1個(gè)很小的氣球和1個(gè)很大的氣球(半徑分別在第一區(qū)和第三區(qū))連通。然后，在小的氣球中再吹一些氣進(jìn)去，再連通(它們的半徑大多仍在第一區(qū)和第三區(qū))。

4 結(jié)束語(yǔ)

連通氣球?qū)嶒?yàn)中之所以出現(xiàn)3種現(xiàn)象，是由于構(gòu)成氣球的橡膠有其獨(dú)特的應(yīng)力-應(yīng)變特性。粗略地說(shuō)，膨脹的氣球膜開(kāi)始時(shí)應(yīng)力變化較快，壓強(qiáng)隨之增大，中期變化較慢，壓強(qiáng)隨之減小，后期變化又加快，壓強(qiáng)再次變大。而這種變化的特性又由橡膠這種特殊材料中的分子在空間的特殊排列所致。

［1］張紅霞.小學(xué)科學(xué)課程與教學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2010:178－183.

［2］趙凱華.新概念物理學(xué)教程:力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2004:217－219.

［3］趙凱華.新概念物理學(xué)教程:熱學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2005:54－55.

［4］李椿，章立源，錢尚武.熱學(xué)［M］.北京:人民教育出版社，1978:314－325.

［5］何曼君，陳維孝，董西俠.高分子物理［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，1991:295－343.

［6］許翰棕，柯韋廷，洪國(guó)淵，等.大的變大，小的變小?［EB/OL］.(2003 －12－27)［2013－12 －08］.http://www.docin.com/p －276549827.html.