“APOS”指導下的數(shù)學歸納法概念教學

李璜

概念的教學舉足輕重，可以說理解概念是一切數(shù)學活動的基礎. 李邦河院士曾說：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”然而，當前數(shù)學教師以解題教學代替概念教學的現(xiàn)象十分普遍，大量解題帶來了學習的高效性，而其隱蔽的缺失常常被人們所忽略. 基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論——一個可以促進我們有效教學的數(shù)學教學理論. 從20世紀90年代起，APOS理論就被介紹到我國的數(shù)學教育界，它是為數(shù)不多的依據數(shù)學學科特點而建立的教學理論.

一、“APOS理論”概述

APOS理論的出發(fā)點：任何一個數(shù)學教育理論應該致力于“學生是如何學習的”以及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習的理解”，而不僅僅是陳述一些事實. APOS理論是美國數(shù)學家、教育家杜賓斯基于1991年提出的，其由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）、Scheme（圖式）的第一個字母組合而成，該理論認為數(shù)學概念的學習需要經歷四個階段（以函數(shù)概念為例）.

第一階段——操作或活動（action）階段，所謂操作是指個體對于感知到的對象進行轉換，這個對象實質上是一種外部刺激. 目的是為“過程階段”提供感性素材和反省對象. “操作”能重現(xiàn)知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深學生對知識的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學探究能力和抽象概括能力.

第二階段——過程（process）階段，當“操作”經過多次重復而被個體熟悉后，物理操作就可以內化為一種叫做“過程”的心理操作，此時對概念的學習就可以不再依賴具體的數(shù)學活動，而是在頭腦中實施這個過程. “過程階段”是學生對感性認識的處理、組織、頓悟，是思維飛躍的關鍵，通常也是概念學習的難點與關鍵.

第三階段——對象（object）階段，當個體能把這個“過程”作為一個整體進行操作和轉換的時候，這個過程就變成了他的一種心理“對象”. 這時，個體可以操控對象去實施各種相關的數(shù)學運算；需要的時候，也可以具體再現(xiàn)對象所包含的過程步驟. “對象”在某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用：既是概括的結果，又是新的概括的起點.

第四階段——圖式（scheme）階段，個體對活動、過程、對象以及他原有的相關方面的圖式進行相應的整合產生出新的圖式結構，從而可運用于問題解決情境. 一個數(shù)學概念的“圖式”是由相應的活動、過程、對象以及相關的圖式所組成的認知框架，其作用和特點就是決定某些刺激是否屬于這個圖式，從而就會做出不同的反應.

APOS 理論將數(shù)學概念的建立分為活動—過程—對象—概念（圖式）四個階段（見圖1）， 數(shù)學概念的教學最終目標是讓學生達到“圖示”階段，從數(shù)學學習的心理角度分析，四個階段的劃分是合理的，反應了學生學習數(shù)學概念過程中真實的思維活動，其中“活動”階段是理解概念的一個必要條件，給出素材時必須符合學生的最近發(fā)展區(qū)，保證材料的適度性和有效性. 如學習二面角時可以讓學生觀察門的開合與墻面位置的變化；“程序階段”是學生對“活動”進行思考，經歷思維的內化、壓縮過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質；并且，有時候“過程”與“圖示”的劃分并不是那么明顯；“對象階段”是通過前面的抽象認識到了概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中為對象進行新的活動；最后進入“圖式階段”，要求能夠區(qū)分、評價此概念與彼概念， 這時概念以一種完整的心理圖式儲存于大腦當中，其中包括具體的實例、抽象的過程、完整的定義及與其他概念的區(qū)分與聯(lián)系等等.

下面筆者結合一次市級公開課比賽某位選手的設計片段來說明如何在教學中運用APOS理論. 所選內容是人教版《數(shù)學》選修2-2中的“數(shù)學歸納法”第一課時.

二、“APOS理論”實踐

1. 活動階段——創(chuàng)設情境，思考問題

課堂開始，從古老課本封面的一處破損說起：

12+22+32+…+n2=■Δ（n+1）（2n+1），

讓學生猜測Δ可能是什么，由此引出一系列的探究.

探究1：人工探索.

由學生來算n=1，2，3，4，5，6，7，8的這8個函數(shù)值并驗算是否滿足上述猜想.

探究2：智能探索.

結合程序語言，給出如下框圖.

探究3：可行性.

由學生來討論智能探索是否可行.

設計意圖：由學生熟悉的三個連續(xù)探究引入本節(jié)課，符合學生的認知規(guī)律，看似沒有給出數(shù)學歸納法，實質上已經讓學生從潛意識中接觸到了數(shù)學歸納法的適用范圍，這種探究式的教學可以讓學生親臨數(shù)學歸納法的形成過程，切實感受數(shù)學歸納法的必要性與必須性，加深對概念的理解. 并且由一次次的探究收獲中慢慢接觸數(shù)學歸納法的關鍵，在首次接觸中顯得尤為重要.

2. 過程階段——層層遞進，誘發(fā)思維

在上述探究的基礎上，學生明白上述辦法都不可行，因此接下來在上述“活動階段”的基礎上繼續(xù)思考和提煉，這個提煉的過程也許對于學生來說會很抽象，很痛苦，但是卻是必不可少的，這個過程需要老師的正確點撥和引導，經歷了這個過程，學生就會對數(shù)學歸納法的基礎及依據得到深刻的理解.

問題1：你會證明12+22+32+…+n2=■n（n+1）·（2n+1），n∈{1，2，…8}嗎？

問題2：證明等式12+22+32+…+n2=■n（n+1）·（2n+1）的最大障礙是什么？

由此疑問：直面無限，我們真的束手無策？接下來通過類比數(shù)列中的等差、等比數(shù)列完成探究4.

探究4：

由上述表格得到探究收獲5：類比數(shù)列中處理無限的方法，可以得到一種全新的、巧妙的證明方法.

例：嘗試證明：12+22+32+…+n2=■n（n+1）（2n+1）.endprint

設計意圖： 通過上述幾個問題及探究，已經明確給出了數(shù)學歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對應為學生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個命題成立的過程. 這正是一種類比推理的思想和建構的過程. 通過對一個具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學概念，也得到了數(shù)學歸納法的本質.

3. 對象階段——明確概念，活學活用

在上述基礎上，進一步思考.

問題3：新的證明方法適合于哪種題型？

問題4：能總結出新的證明方法的解題步驟嗎？

由此給出了本節(jié)課的課題：數(shù)學歸納法，以及很自然地給出了數(shù)學歸納法的步驟.

問題5：能用數(shù)學歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

追問：能證明等式1×2+2×3+3×4+…+

n（n+1）=■n（n+1）（n+2）嗎？

設計意圖：在上面“活動階段”和“過程階段”的基礎上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學歸納法的適用范圍及明確的步驟，并且及時對關鍵性步驟、易錯知識點進行點撥，使學生成功地完成了質的飛躍.

4. 圖示階段——錯誤辨析，思維升華

（1） 與數(shù)學歸納法有關的美麗誤會. 給出著名的費馬質數(shù)：已知代數(shù)式2p-1，當p是質數(shù)時，2p-1是質數(shù). 直到費馬去世后67年，著名的數(shù)學家歐拉才證明了這個命題的錯誤性.

（2） 有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2 的倍數(shù)”.

最后進行了課堂小結，提出3個單詞——why， where， what結束了此次公開課.

設計意圖：在學生已經掌握數(shù)學歸納法本質及步驟的情況下，給出反例辨析. 第一個反例缺遞推，第二個反例缺基礎，由此進一步讓學生理解兩個步驟缺一不可. 最后的三個單詞進一步幫助學生進行反思：為什么要用數(shù)學歸納法？什么時候用數(shù)學歸納法？怎么用數(shù)學歸納法？整堂課如行云流水一般地把APOS理論運用進去，通過對一個具體題目的層層研究，得到了本節(jié)課的主題.

三、APOS建構理論的教學反思

對于數(shù)學概念教學，最怕只停留在概念教學的表面，必須層層深入挖掘概念的內涵和外延，最終將其上升到抽象層面，達到圖式架構的階段. 在概念教學運用APOS 理論時，實質上是新課標中“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有助于學生從本質上理解概念. 筆者有以下幾點心得體會.

1. 選用合適的情境

概念的形成，需要通過合理的現(xiàn)實情境去挖掘、發(fā)現(xiàn)和總結，需要活動讓學生親身感知問題，也需要學生積極展開思考，從現(xiàn)實情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學. 但是，概念教學也不能僅僅停留于活動（操作）層面，最終達到圖式架構才是學習的最終目標.

2. 讓學生經歷數(shù)學概念的形成過程

APOS理論強調學生的學習是一個主動建構的過程， 每個學生都是一個主體，都有自己的思維意識，如果沒有學生的主動參與、自行建構， 即使教師講得天花亂墜， 也只能是“對牛彈琴”，學生只記住概念本身，并沒有領會概念的實質，起不到良好的作用.

3. APOS的應用范圍

APOS 理論不僅用于概念建構、認知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學教學. 對應一個新的理論，我們要努力學習的同時，也要用創(chuàng)新、靈活的思想來看待他，使之更好地為我們優(yōu)化教學設計，把握教學過程服務，更好地為學生認識數(shù)學思想服務.endprint

設計意圖： 通過上述幾個問題及探究，已經明確給出了數(shù)學歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對應為學生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個命題成立的過程. 這正是一種類比推理的思想和建構的過程. 通過對一個具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學概念，也得到了數(shù)學歸納法的本質.

3. 對象階段——明確概念，活學活用

在上述基礎上，進一步思考.

問題3：新的證明方法適合于哪種題型？

問題4：能總結出新的證明方法的解題步驟嗎？

由此給出了本節(jié)課的課題：數(shù)學歸納法，以及很自然地給出了數(shù)學歸納法的步驟.

問題5：能用數(shù)學歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

追問：能證明等式1×2+2×3+3×4+…+

n（n+1）=■n（n+1）（n+2）嗎？

設計意圖：在上面“活動階段”和“過程階段”的基礎上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學歸納法的適用范圍及明確的步驟，并且及時對關鍵性步驟、易錯知識點進行點撥，使學生成功地完成了質的飛躍.

4. 圖示階段——錯誤辨析，思維升華

（1） 與數(shù)學歸納法有關的美麗誤會. 給出著名的費馬質數(shù)：已知代數(shù)式2p-1，當p是質數(shù)時，2p-1是質數(shù). 直到費馬去世后67年，著名的數(shù)學家歐拉才證明了這個命題的錯誤性.

（2） 有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2 的倍數(shù)”.

最后進行了課堂小結，提出3個單詞——why， where， what結束了此次公開課.

設計意圖：在學生已經掌握數(shù)學歸納法本質及步驟的情況下，給出反例辨析. 第一個反例缺遞推，第二個反例缺基礎，由此進一步讓學生理解兩個步驟缺一不可. 最后的三個單詞進一步幫助學生進行反思：為什么要用數(shù)學歸納法？什么時候用數(shù)學歸納法？怎么用數(shù)學歸納法？整堂課如行云流水一般地把APOS理論運用進去，通過對一個具體題目的層層研究，得到了本節(jié)課的主題.

三、APOS建構理論的教學反思

對于數(shù)學概念教學，最怕只停留在概念教學的表面，必須層層深入挖掘概念的內涵和外延，最終將其上升到抽象層面，達到圖式架構的階段. 在概念教學運用APOS 理論時，實質上是新課標中“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有助于學生從本質上理解概念. 筆者有以下幾點心得體會.

1. 選用合適的情境

概念的形成，需要通過合理的現(xiàn)實情境去挖掘、發(fā)現(xiàn)和總結，需要活動讓學生親身感知問題，也需要學生積極展開思考，從現(xiàn)實情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學. 但是，概念教學也不能僅僅停留于活動（操作）層面，最終達到圖式架構才是學習的最終目標.

2. 讓學生經歷數(shù)學概念的形成過程

APOS理論強調學生的學習是一個主動建構的過程， 每個學生都是一個主體，都有自己的思維意識，如果沒有學生的主動參與、自行建構， 即使教師講得天花亂墜， 也只能是“對牛彈琴”，學生只記住概念本身，并沒有領會概念的實質，起不到良好的作用.

3. APOS的應用范圍

APOS 理論不僅用于概念建構、認知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學教學. 對應一個新的理論，我們要努力學習的同時，也要用創(chuàng)新、靈活的思想來看待他，使之更好地為我們優(yōu)化教學設計，把握教學過程服務，更好地為學生認識數(shù)學思想服務.endprint

設計意圖： 通過上述幾個問題及探究，已經明確給出了數(shù)學歸納法的過程，教師以等差、等比數(shù)列對應為學生的“最近發(fā)展區(qū)”，抽象得出證明一個命題成立的過程. 這正是一種類比推理的思想和建構的過程. 通過對一個具體問題的深入研究，得到了一種新的數(shù)學概念，也得到了數(shù)學歸納法的本質.

3. 對象階段——明確概念，活學活用

在上述基礎上，進一步思考.

問題3：新的證明方法適合于哪種題型？

問題4：能總結出新的證明方法的解題步驟嗎？

由此給出了本節(jié)課的課題：數(shù)學歸納法，以及很自然地給出了數(shù)學歸納法的步驟.

問題5：能用數(shù)學歸納法來解析多米諾骨牌游戲嗎？

追問：能證明等式1×2+2×3+3×4+…+

n（n+1）=■n（n+1）（n+2）嗎？

設計意圖：在上面“活動階段”和“過程階段”的基礎上，通過抽象的概況，給出了數(shù)學歸納法的適用范圍及明確的步驟，并且及時對關鍵性步驟、易錯知識點進行點撥，使學生成功地完成了質的飛躍.

4. 圖示階段——錯誤辨析，思維升華

（1） 與數(shù)學歸納法有關的美麗誤會. 給出著名的費馬質數(shù)：已知代數(shù)式2p-1，當p是質數(shù)時，2p-1是質數(shù). 直到費馬去世后67年，著名的數(shù)學家歐拉才證明了這個命題的錯誤性.

（2） 有人聲稱證明了“所有的奇數(shù)都是2 的倍數(shù)”.

最后進行了課堂小結，提出3個單詞——why， where， what結束了此次公開課.

設計意圖：在學生已經掌握數(shù)學歸納法本質及步驟的情況下，給出反例辨析. 第一個反例缺遞推，第二個反例缺基礎，由此進一步讓學生理解兩個步驟缺一不可. 最后的三個單詞進一步幫助學生進行反思：為什么要用數(shù)學歸納法？什么時候用數(shù)學歸納法？怎么用數(shù)學歸納法？整堂課如行云流水一般地把APOS理論運用進去，通過對一個具體題目的層層研究，得到了本節(jié)課的主題.

三、APOS建構理論的教學反思

對于數(shù)學概念教學，最怕只停留在概念教學的表面，必須層層深入挖掘概念的內涵和外延，最終將其上升到抽象層面，達到圖式架構的階段. 在概念教學運用APOS 理論時，實質上是新課標中“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有助于學生從本質上理解概念. 筆者有以下幾點心得體會.

1. 選用合適的情境

概念的形成，需要通過合理的現(xiàn)實情境去挖掘、發(fā)現(xiàn)和總結，需要活動讓學生親身感知問題，也需要學生積極展開思考，從現(xiàn)實情境中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學. 但是，概念教學也不能僅僅停留于活動（操作）層面，最終達到圖式架構才是學習的最終目標.

2. 讓學生經歷數(shù)學概念的形成過程

APOS理論強調學生的學習是一個主動建構的過程， 每個學生都是一個主體，都有自己的思維意識，如果沒有學生的主動參與、自行建構， 即使教師講得天花亂墜， 也只能是“對牛彈琴”，學生只記住概念本身，并沒有領會概念的實質，起不到良好的作用.

3. APOS的應用范圍

APOS 理論不僅用于概念建構、認知、反思再螺旋式上升，也可以用于更多的數(shù)學教學. 對應一個新的理論，我們要努力學習的同時，也要用創(chuàng)新、靈活的思想來看待他，使之更好地為我們優(yōu)化教學設計，把握教學過程服務，更好地為學生認識數(shù)學思想服務.endprint