若干雙下標加權和的大數定律*

任春光，張 培，王學軍

(1.鄭州華信學院 基礎教學部，鄭州 451100;2.安徽大學 數學科學學院，合肥 230601)

在概率論中，大數定律是關于大量隨機現象之平均結果穩(wěn)定性的定理.不同的大數定律的差別只是對不同的隨機變量(r.v.)序列而言，有的是相互獨立的r.v.序列，有的是相依的r.v.序列，有的是同分布的r.v.序列，有的是不同分布的r.v.序列等等［1］.此處對文獻［2］中的Chebyshev大數定律、Markov大數定律、Bernoulli大數定律、Poisson大數定律和文獻［3］中的Borel強大數定律進行了改進，即得到的是r.v.序列雙下標加權和的大數定律.有關隨機變量的其他一些性質，如最大值不等式和大偏差結果，可見文獻［4］，有關推廣的Borel強大數定律的改進見文獻［5］，隨機變量的Hájek-Rényi型不等式及其收斂速度見文獻［6-7］.隨機變量序列的強收斂速度見文獻［8］，函數的一致聯(lián)系性見文獻［9-10］.

令Ai，i=1，2，…為同一個概率空間(Ω，F，P)上的隨機事件序列，記IA(ω)為事件A的示性函數，C，C1，c，ci，i=1，2，…為與n無關的常數，cni，ωni為實數列.

1 預備知識

引理1-6見文獻［2］，引理7見文獻［3］.

引理1(Chebyshev大數定律)［2］設{ξi}，i=1，2，…是兩兩互不相關的r.v.序列，每一r.v.都有

引理3(Bernoulli大數定律)［2］設μn是n次Bernoulli試驗中事件A出現的次數，而p是事件A在每次試驗中出現的概率，則對任意的ε＞0，恒有

引理4(Poisson大數定律)［2］如果在一個獨立試驗序列中，事件A在第i次試驗中出現的概率等于pi，以λn記前n次試驗中事件A出現的次數，則對任意的ε＞0，恒有

2 主要結論

對任意的ε＞0，再由Chebyshev不等式，可得

于是，在式(2)中，令n→+∞得式(1)，因此命題得證.

其實，Markov大數定律、Bernoulli大數定律、Poisson大數定律和Borel強大數定律中也可以進行類似的改進.

定理2(Markov大數定律的改進) 若{cni}為雙下標常數序列，{ξi}，i=1，2，…為一均值為零的r.v.序列，且滿足

證明 顯然有

注2 對{ξi}，i=1，2，…為均值為零的兩兩互不相關的r.v.序列、鞅差序列、均值為零的NA序列、均值為零的φ-混合序列(混合系數滿足一定系數)等，都滿足式(3).進一步，若≤C1i，i≥1，取cni=，則可以驗證

證明 易知Eηi=p，Dηi=pq≤1/4，而

從而由定理1即可推出定理3.

證明 易知Eαi=pi，Var αi=piqi≤1/4，而

從而由定理1即可推出定理4.

對?ε＞0，由 Chebyshev不等式得

從而

下面用子序列的方法來證明定理5的結論.因為對 ?n∈N+，?k=k(n)∈N+，滿足不等式km≤n＜km+kδ，所以

于是

式(6)中令n→+∞ (注意到n→+∞時，k→+∞)，再利用式(5)得式(4)，因此命題得證.

3 結束語

雙下標r.v.序列和的大數定律及r.v.序列加權和的大數定律都有很多研究成果，r.v.序列雙下標加權和的結果并不常見，另外在相依情形下的r.v.序列加權和的大數律問題是值得研究的，在今后科研中將關注此類問題.

［1］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統(tǒng)計教程［M］.北京:高等教育出版社，2004

［2］李賢平.概率論基礎［M］.北京:高等教育出版社，1997

［3］LOèVE M.Probability Theory I［M］.4th Edition.Beijing:Spring-Verlag，2000

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［5］任春光，胡舒合，李旭，等.一個推廣的Borel強大數定律的改進［J］.安徽大學學報:自然科學版，2011，35(3):25-28

［6］趙婷，胡舒合，李曉琴，等.一類隨機變量的概率不等式及幾乎處處收斂性［J］.安徽大學學報:自然科學版，2010，34(1):7-10

［7］胡舒合，胡曉鵬，張林松.二階矩限制下的Hajek-Renyi型不等式及其應用［J］.應用數學學報，2005，28(2):227-235

［8］胡舒合.強大數定律的若干新結果［J］.數學學報，2003，46(6):1123-1134

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