混合系數(shù)線性模型參數(shù)可容性估計(jì)的小樣本分析

殷月

(錦州師范高等?？茖W(xué)校，遼寧 錦州121000)

0 引言

混合系數(shù)線性模型一般形容:

Z(t)=［x(t)］'α+［y(t)］'β

其中，x(t)=(x1(t)，…，xp(t))';y(t)=(y1(t)，…，yq(t))';x1(t)，…，xp(t)，y1(t)，…，yq(t)都是t的已知函數(shù)。α 是p×1 的固定系數(shù)向量，β 是q×1 的隨機(jī)系數(shù)向量，且有β～(b，Σ)。若對m 個(gè)樣品分別在ti1＜… ＜tini(i=1，2，…m)時(shí)刻進(jìn)行檢測，得到如下數(shù)據(jù):

Zij=［x(tij)］'α+［y(tij)］'βi+εij，i=1，2，…，m;j=1，2，…，nini＞p+q

這里βi和εij分別是每個(gè)樣品的隨機(jī)系數(shù)和每次測量的誤差，且相互獨(dú)立(0，σ2)，若

其中:p ≥0，q ≥0;當(dāng)p=0 時(shí)時(shí)模型化為完全隨機(jī)系數(shù)的形式，當(dāng)q=0 時(shí)模型化為一般的線性模型。這里還要求Rank(Xi)=p，Rank(Yi)=q，那么

Rank(Xi，Yi)≤p+q

若設(shè)Ci=(Xi，Yi)，d=(a'，b')'，ei=Yi(βi－ b)+εi，則Zij=［x(tij)］'α+［y(tij)］'βi+εij，i=1，2，…，m;j=1，2，…，nini＞p+q 式為

Zi=文獻(xiàn)［1，2］已經(jīng)研究了一些混合系數(shù)線性模型的參數(shù)估計(jì)。在本文中，我們將研究可估向量Sd 在線性估計(jì)類φ 中的可容性估計(jì)。其中設(shè)S 為各行向量為組成的n×(p+q)矩陣，顯然S'=(s1，…，sn)。文獻(xiàn)［3］中以得出若所有都可估，則向量Sd 可估。這里采用以下二次損失函數(shù)和矩陣損失函數(shù)

其中A 為n×n 矩陣，AY 為Sd 的某線性估計(jì)，d=(α'，b')' 為p+q 維參數(shù)向量。如果在損失函數(shù)(1)或(2)之下AY 相對于線性估計(jì)類φ 為Sd 的可容許估計(jì)，則記為AY～Sd。

1 可估參數(shù)向量Sd 的可容許估計(jì)

一般的線性模型

其中σ2＞0 未知，V ＞0 已知，Y 為n×1 的觀測向量，X 為n×p 的已知設(shè)計(jì)陣。下面兩個(gè)引理討論中，S、A 分別為n×p 和n×n 矩陣。

引理1:模型(3)中，LY 是Sβ 的一個(gè)線性估計(jì)且L 和S 為常數(shù)陣，則一切β 及σ2＞0 有

當(dāng)且僅當(dāng)且等號成立的滿足下列條件之一:

(1)L=LXT－X'V－1

(2)μ(VL')?μ(X)

這里T=X'V－1X。

參見文獻(xiàn)［3］的第194 頁引理4.7 的證明過程。

引理2:在二次損失之下若有AY～Sβ，則在矩陣損失下也有AY～Sβ。

參見文獻(xiàn)［3］的第212 頁引理4.10 的證明過程。

得到M ＞0 且已知，和以下定理。

定理1:混合系數(shù)線性模型Z=Cd+e，e～N(0，σ2M)，其中若Sd 可估，則當(dāng)且僅當(dāng)二次損失之下AZ～Sd 滿足以下條件:

(1)A=ACT－C'M－1

(2)ACT－C'A' ≤ACT－S'

這里T=C'M－1C

證明:先來證明CT－C' 與CT－S' 與選取T－無關(guān)

又Sd 可估，則有S'=C'N' (其中的N 為某任意矩陣)，所以ACT－S'=ACT－C'N' 也與選取T－無關(guān)?？梢缘贸鯟T－C' 與CT－S' 是唯一確定的。

這里指出條件(2)包含了的矩陣ACT－S' 為對稱陣。

當(dāng)Sd*=S(C'M－1C)－C'M－1Z=AZ 時(shí)，即A=S(C'M－1C)－C'M－1，則

又由

即定理1 中條件(1)成立。

又由于

即定理1 中條件(2)成立。于是有如下定理

定理2:在模型(3)中，Z=Cd+e，e～N(0，σ2M)，若Sd 可估，則在矩陣損失和二次損失下，若設(shè)d*=(C'M－1C)－C'M－1Z 則Sd*～Sd。

證明:先證明在線性估計(jì)類中Sd*是可估向量Sd 的可容性估計(jì)。由定理1，有AZ～Sd，再由式(5)得到在二次損失下Sd*～Sd。又由于引理2 可知矩陣損失下Sd*～Sd，

這里只需再證明Sd*的唯一性

當(dāng)Sd 可估，有

S'=C'N' 即S=NC(N 為某適合矩陣)

則

2 固定系數(shù)α 和隨機(jī)系數(shù)期望β 的可容許估計(jì)

定理3:在模型(3)中，Z=Cd+e，e～N(0，σ2M)，當(dāng)rk(C)=p+q 時(shí)，在矩陣損失和二次損失下，設(shè)=(C'M－1C)－1C'M－1Z 則～d。

在定理2 中，由于d 是可估向量，此時(shí)可取S=I，便可得到d*～d。若選取矩陣C 為列滿秩陣，則

定理3 表明:在矩陣損失或二次損失下對于參數(shù)d=(α'，b')'，若在rk(C)=p+q 前提下，不可能尋求到線性估計(jì)類φ 中一個(gè)比有改善的估計(jì)。但在非線性估計(jì)類中是可能的。但這種非線性估計(jì)在使用上和應(yīng)用上的合理性還需進(jìn)一步論證，在以后相當(dāng)長的時(shí)期內(nèi)非線性估計(jì)可作為是熱點(diǎn)討論之一。

在混合系數(shù)線性模型(3)，Z=Cd+e，e～N(0，σ2M)。其中C=(X，Y)

d=(α'，b')' 在文獻(xiàn)［4］中定理1 給出了固定系數(shù)α 和隨機(jī)系數(shù)期望b 的一種無偏估計(jì)。α 的無偏估計(jì)為=(X'QX)－1X'QZ，b 的無偏估計(jì)為=(Y'PY)－1Y'PZ。這里P=M－1－ M－1X(X'M－1X)－1X'M－1，Q=M－1－ M－1Y(Y'M－1Y)－1Y'M－1。

定理4:在混合系數(shù)線性模型(3)中，當(dāng)rk(C)=p+q 時(shí)，在二次損失(1)或矩陣損失(2)之下，～α，～b。其中采用D=diag(σ2M1，…，σ2Mm)=σ2(M1，…，Mm)=σ2M 的記法。和定義如上。

設(shè)參數(shù)d 的任意一個(gè)線性估計(jì)為LZ，這里L(fēng) 為(p+q)×n 矩陣。同時(shí)L1為p×n 矩陣，L2為q×n 矩陣?？傻脜?shù)α 和b 的任一無偏估計(jì)分別為L1Z、L2Z。二次損失(1)下，LZ 是參數(shù)d 的任意一個(gè)線性估計(jì)其風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)如下

可得

即

3 結(jié) 語

本文在二次損失和矩陣損失的條件下，給出了混合系數(shù)線性模型的可估參數(shù)向量Sd 在線性估計(jì)類中的可容許估計(jì)。當(dāng)rk(C)=p+q 時(shí)，～d。并且針對固定系數(shù)α 和隨機(jī)系數(shù)期望b 的無偏估計(jì)和，分別討論了它們的可容許性。

［1］李輝，劉建州.混合系數(shù)線性模型中參數(shù)估計(jì)的一些結(jié)果［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25(1):16－21.

［2］李輝.兩種特殊線性模型的參數(shù)估計(jì)［D］.湘潭:湘潭大學(xué)碩士學(xué)位論文，2004.

［3］陳希孺，陳桂景.線性模型參數(shù)的估計(jì)理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1985.