從一道題的解法談古典概型基本事件總數(shù)的確定

王宏平

（江蘇省司法警官高等職業(yè)學(xué)校公共基礎(chǔ)教研室，江蘇鎮(zhèn)江 212003）

從一道題的解法談古典概型基本事件總數(shù)的確定

王宏平

（江蘇省司法警官高等職業(yè)學(xué)校公共基礎(chǔ)教研室，江蘇鎮(zhèn)江 212003）

古典概型是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點之一，確定基本事件總數(shù)是解決這類問題的關(guān)鍵?；臼录倲?shù)確定的方法有很多種，在解決問題時要靈活運用。

古典概型；基本事件；總數(shù)確定

古典概率問題對大多數(shù)高職學(xué)生來說是一件既感到好奇又感到頭疼的事，古典概率往往能激起他們的學(xué)習(xí)興趣，但解決問題時往往不知該如何下手，做出的答案也不知對錯。

由事件A發(fā)生的概率可知，求事件A發(fā)生的概率，通常分成兩步：

1）選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，使其滿足有限、等可能的要求。

2）確定樣本空間中基本事件總數(shù)和基本事件數(shù)［1］。

大多數(shù)人認為基本事件總數(shù)容易確定，一般不會出錯，其實不然。江蘇省職業(yè)學(xué)校新編教材《數(shù)學(xué)》第二冊中有一道題為：

有紅、黃、藍3種顏色的小旗各3面，任取其中3面，求：

1）3面小旗全是紅色的概率；

2）恰有2面小旗是紅色的概率。

編者給出了問題1）的參考答案，即單色旗有3種（紅紅紅、黃黃黃、藍藍藍），雙色旗有6種（紅紅黃、紅紅藍、黃黃紅、黃黃藍、藍藍紅、藍藍黃），三色旗有1種（紅黃藍），故基本事件總數(shù)是

3+6+1=10，

這個解答中，對基本事件總數(shù)的確定存在問題。

1 古典概型概率的概念

具有下列兩個特點的隨機試驗所對應(yīng)的概率模型稱為古典概型：

1）隨機試驗的樣本空間只包含有限個基本事件；

2）隨機試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同［2］。

如果一次試驗的等可能事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是。如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率

使用古典概型求概率，必須先確定問題是否屬于古典概型，若屬于，則進一步確定基本事件的總數(shù)及所求事件包含的基本事件數(shù)。

2 錯誤原因分析

很顯然，根據(jù)古典概型的概念，上文中的“選旗問題”應(yīng)屬于古典概型。因為每面小旗被取到的可能性相同，所以是一個等可能隨機試驗，且出現(xiàn)的基本事件只有有限個。若以被取的小旗的顏色分類，所有可能出現(xiàn)的基本事件可以分為10類，即紅紅紅、黃黃黃、藍藍藍、紅紅黃、紅紅藍、黃黃紅、黃黃藍、藍藍紅、藍藍黃、紅黃藍。原教材編者把基本事件發(fā)生的10個種類數(shù)當(dāng)成了基本事件的總數(shù)，二者不能劃等號。

如果把3面紅色小旗、3面黃色小旗、3面藍色小旗分別標(biāo)上序號，記為紅1，紅2，紅3；黃1，黃2，黃3；藍1，藍2，藍3。以出現(xiàn)雙色旗“紅紅黃”這一事件為例，基本事件數(shù)應(yīng)是9，即紅1紅2黃1，紅1紅2黃2，紅1紅2黃3，紅1紅3黃1，紅1紅3黃2，紅1紅3黃3，紅2紅3黃1，紅2紅3黃2，紅2紅3黃3。

類似地，出現(xiàn)其他5種類型雙色旗的基本事件數(shù)也是9，這樣，出現(xiàn)雙色旗的基本事件數(shù)應(yīng)該是

6×9=54。

同理，出現(xiàn)三色旗的基本事件數(shù)為27。

出現(xiàn)單色旗的基本事件有：紅1紅2紅3，黃1黃2黃3，藍1藍2藍3，即出現(xiàn)單色旗的基本事件數(shù)是3。

因此，基本事件總數(shù)是

54+27+3=84。

這84個基本事件中的每一事件都是等可能隨機事件，而出現(xiàn)3面全是紅色小旗的基本事件數(shù)是1，從而出現(xiàn)3面全是紅色小旗的概率應(yīng)該是

類似地，恰有兩面是紅色小旗的基本事件數(shù)不是2，而是18，所以恰有兩面是紅色小旗的概率是

每次選出的3面小旗，只有這10類基本事件中的某一類會發(fā)生，但每一類基本事件并不是等可能發(fā)生的，不屬于古典概型問題，不能用古典概型的概率公式解決。

例1有紅球1個，白球1個，其大小形狀都相同，現(xiàn)從中任意取出一個小球，問取到紅球的概率是多少？

分析任意取出一個球，從顏色上分，只有紅或白兩種結(jié)果，其基本事件種類數(shù)是2，如果以此認為基本事件總數(shù)也是2，即這個問題的答案是，那么改變條件，如紅球10個，白球1個，基本事件種類數(shù)依舊是2，得到的結(jié)果仍然還是，顯然不通。

因此，確定古典概型中基本事件總數(shù)時，一定要從基本概念出發(fā)，不能將基本事件種類數(shù)當(dāng)成基本事件總數(shù)來計算概率。

3 古典概型基本事件總數(shù)的確定

3.1 合理運用排列組合的基本原理

在古典概型中，所進行的試驗都是等可能隨機試驗，且出現(xiàn)的基本事件數(shù)是有限的，其基本事件總數(shù)的確定有時可以借助于排列組合的基本原理來進行。比如，上文中的“選旗問題”，其基本事件總數(shù)可以運用組合公式確定，即=84。

例2有n個人，每個人以同樣的概率分配到N（n＜N）個房間中的一間，求某指定n間房中各有1人的概率是多少？

分析這個問題既不是從N間房中任選n間房，也不是從N間房中任選n間房按照一定順序排列，所以其基本事件總數(shù)不能用組合數(shù)或排列數(shù)來確定，而應(yīng)該用分步計數(shù)原理（乘法原理）確定。由題意知，每個人都以同樣的概率被分配到某間房，即第1人有N種可能，第2人有N種可能…第n人有N種可能，共有

種可能，從而基本事件總數(shù)應(yīng)該是Nn。

3.2 基本事件數(shù)與基本事件總數(shù)屬于同一樣本空間

在同一個古典概型問題中，只要保持基本事件的等可能性，樣本空間可以有不同的取法，但在計算時，基本事件數(shù)和基本事件總數(shù)一定要在同一個樣本空間中，否則就會產(chǎn)生錯解［3］。

例3有10件產(chǎn)品，其中7件是正品，3件是次品，現(xiàn)每次從中取出1件產(chǎn)品，取后不放回，連取3次，求取到的產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率。

分析設(shè)事件A=｛所取的3件產(chǎn)品中恰有1件次品｝。

由于3件產(chǎn)品是一件一件取出的，取法與先后順序有關(guān)，所以樣本空間中共有P個基本事件。另一方面，題中只關(guān)心所取的3件產(chǎn)品中有1件是次品，并不關(guān)心這1件次品是在哪一次取出的，因此，可以用組合數(shù)構(gòu)成另一個樣本空間。如果將事件的概率解為

3.3 巧取樣本空間

選取恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g是解決古典概型問題的關(guān)鍵。構(gòu)造樣本空間時盡量做到最優(yōu)化，使得樣本空間中的基本事件數(shù)最少，會給后面的概率計算帶來更多的方便，起到事半功倍的效果［4］。

例4任取一非負整數(shù)，求該數(shù)的平方的個位數(shù)字是6的概率。

分析若將非負整數(shù)的全體作為樣本空間，則是一個無限空間，不符合古典概型的第1個特征，變換一下思路便能很快找出另一個更加簡單的樣本空間。非負整數(shù)的平方的個位數(shù)字只取決于該數(shù)的個位數(shù)字，所以，可將非負整數(shù)的個位數(shù)字的取值，即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，作為樣本空間，其基本事件總數(shù)n=10。

例5有n個人圍繞一張圓桌而坐，求甲、乙兩人相鄰而坐的概率。

3.4 利用基本事件的有關(guān)性質(zhì)

在古典概型中基本事件的發(fā)生是等可能的，勢必出現(xiàn)許多對稱和對等的問題［5-6］，如果能巧妙地加以運用，問題將變得異常簡單且容易理解。

例6在線段AB上任取不同的3點P1，P2，P3，求P2位于P1與P3之間的概率。

分析此題若按常規(guī)方法去做有一定難度，但從對稱性角度考慮就簡單多了。設(shè)

M1=｛P1位于P2與P3之間｝，

M2=｛P2位于P1與P3之間｝，

M3=｛P3位于P1與P2之間｝，事件M1，M2，M3是對稱的，其發(fā)生的可能性相等，且M1，M2，M3中任意兩個事件是互斥的，則樣本空間為｛M1，M2，M3｝，基本事件總數(shù)是3，所求事件概率

例7袋中有m只白球，n只黑球，現(xiàn)從中將球一一摸出（無放回），直至袋中剩下的球顏色都相同為止，求最后剩下的全是白球的概率。

分析如果先分別計算最后剩下1個，2個，…，m個白球的概率，再相加，其計算量將非常大?？梢赃@樣考慮，“最后剩下的全是白球”與“最后摸出的全是白球”是同一事件，而摸球共有m+n種可能，最后摸出白球有m種可能，從而摸出白球的概率是。

［1］何家順.古典概型中樣本空間的選?。跩］.安慶師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1998，3（3）：72-73.

［2］劉文斌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.上海：同濟大學(xué)出版社，2012：12-13.

［3］陳朝霞，楊雨慧.概率論中常見古典概型錯題辨析［J］.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2004，4（3）：86-88.

［4］曾文建.古典概型中樣本空間的選?。跩］.福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2007（3）：120-121.

［5］吳宏鍔，梁瑛.優(yōu)化樣本空間，簡化古典概型［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，16（4）：12-13.

［6］張國儉.對等性在古典概型中的應(yīng)用［J］.晉中學(xué)院學(xué)報，2009，6（3）：35-37.

〔責(zé)任編輯：盧 蕊〕

Determ ination of the total number of the basic events about the classical probability from solutions to a problem

WANG Hong-ping
（Basic Courses Teaching and Research Division，Jiangsu Judicial and Police Officer Higher Vocational School，Zhenjiang 212003，China）

The classical probability problem is one of the difficulties in one of the higher vocationalmathematics teaching，and how to determine the total number of basic events is the key to this kind of problem.There are two methods to determine the total number of basic events and so themethods are flexibly used for solutions to the problem.

classical probability；basic event；total number

G642

C

1008-8148（2014）04-0110-03

2014-05-09

王宏平（1965—），男，江蘇東臺人，講師，主要從事高職數(shù)學(xué)教學(xué)研究。