一類單自由度齒輪系統(tǒng)動力學特性分析

史建文，王 楠，李曉蕾

（蘭州交通大學數理學院，甘肅蘭州730070）

一類單自由度齒輪系統(tǒng)動力學特性分析

史建文，王 楠，李曉蕾

（蘭州交通大學數理學院，甘肅蘭州730070）

摘要：建立了考慮齒側間隙、時變嚙合剛度等因素下的單自由度齒輪系統(tǒng)非線性動力學模型，采用變步長Runge-Kutta法對系統(tǒng)運動微分方程進行數值求解.結合系統(tǒng)的分岔圖、Lyapunov指數圖、相圖、龐加萊映射圖、時間相應圖，分析系統(tǒng)隨阻尼比變化時的動力學特性和嚙合剛度對系統(tǒng)的影響，得到系統(tǒng)的混沌運動形成過程.結果表明，隨著阻尼比變化，系統(tǒng)表現出豐富的動力學特性，同時嚙合剛度影響系統(tǒng)的分岔點位置.

關鍵詞：非線性動力學；分岔；齒輪；阻尼比；嚙合剛度

齒輪傳動是現在使用非常廣泛的一種傳動裝置，研究齒輪系統(tǒng)的動力學特性具有重要的理論價值和工程意義.目前，國內外學者已經做了大量的研究工作，Kahraman等［1］建立考慮誤差激勵、齒側間隙的單級齒輪系統(tǒng)動力學模型，研究系統(tǒng)的混沌響應和次諧響應.王三民等［2］考慮時變剛度、輪齒間隙和摩擦，建立了單自由度直齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型，并研究摩擦對系統(tǒng)動力學行為的影響.王立華等［3］利用龐加萊映射、相平面研究包含時變嚙合剛度和間隙的單自由度齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型.隨著齒輪系統(tǒng)理論知識不斷發(fā)展、完善，近年來大量學者把齒輪的工程背景考慮在內，建立許多具有工程意義的模型［4］.大部分的研究都是借助數值方法探討系統(tǒng)分叉、混沌等現象的存在.本文以單自由度齒輪副非線性動力學模型為研究對象，采用數值模擬方法，研究阻尼比和嚙合剛度對系統(tǒng)動力學特性的影響.

1 齒輪副非線性動力學模型及其運動微分方程

僅考慮輪齒的扭轉振動，忽略支承系統(tǒng)的彈性變形以及傳動軸的橫向和軸向彈性變形等因素，采用集中質量法建立了如圖1所示的齒輪副非線性模型［5］.

圖1中θ1、θ2為主、被動齒輪的扭轉振動位移；I1、I2為主、被動齒輪的轉動慣量；Rb1、Rb2為主、被動齒輪的基圓半徑；cg為齒輪副的嚙合阻尼；e（t）為齒輪副的嚙合綜合誤差；k（t）為齒輪副的嚙合綜合剛度；T1、T2為作用在主、被動齒輪上的轉矩.

根據牛頓第二定律，可得到系統(tǒng)的運動微分方程：

為了消除剛體位移并將系統(tǒng)進行無量綱化處理，引入齒輪嚙合線上的相對位移作為廣義坐標：

將方程（3）轉化為狀態(tài)方程：

Fa為齒輪傳動的外部激勵幅值，ε為齒輪嚙合剛度.Fm為齒輪傳動的等效外部激勵，動載荷為P＝（1-εcf（x1））.

2 非線性特性數值仿真分析

2.1 阻尼比對系統(tǒng)的影響

選取參數ε＝0.1，Fm＝0.05，Fa＝0.1，ωn＝1.5，初值x1＝0，x2＝0，齒側間隙＝0.5.系統(tǒng)隨阻尼比ξ變化的分岔圖和Lyapunov指數圖如圖2～3.

圖2～3可以看出，阻尼比ξ∈［0.056 1，0.25］時，Lyapunov指數為負，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，當時系統(tǒng)運動為穩(wěn)定的周期一運動，當ξ＝0.137 1時系統(tǒng)運動經倍化分岔為二周期運動，當ξ＝0.077 2時二周期變?yōu)樗闹芷谶\動，ξ＝0.058 7時四周期變?yōu)榘酥芷谶\動.此后，隨著ξ的增大，當ξ∈［0.030 5，0.056 1］時，Lyapunov指數為正，系統(tǒng)經倍化分岔進入混沌狀態(tài).ξ∈［0.000 7，0.030 5］時，Lyapunov指數為負，系統(tǒng)由混沌退化為三周期運動，ξ＝0.017 1時經倍化分岔由三周期變?yōu)榱芷谶\動.當ξ∈［0，0.000 7］時，Lyapunov指數為正，系統(tǒng)又進入混沌狀態(tài).圖4～8為阻尼比ξ取不同值時的相圖、龐加萊截面圖和時間相應圖.

2.2 剛度對系統(tǒng)的影響

其他參數保持不變，分別取嚙合剛度ε＝0.1、0.2、0.3和0.4，分別畫出了系統(tǒng)隨阻尼比變化的分岔圖，將4個分岔圖放在同一坐標系下，如圖9所示.當ε＝0.1時，系統(tǒng)分岔點為阻尼比ξ＝0.137 1，隨著嚙合剛度ε逐漸增大，當ε＝0.4時，系統(tǒng)分岔點變?yōu)棣危?.218 2.同時.隨著ε逐漸增大，混沌區(qū)域越來越大.因此，在其他參數值不變的情況下，嚙合剛度ε越大，系統(tǒng)的分岔點也就越大，系統(tǒng)表現出更加豐富的動力學行為.

3 結語

利用變步長Runge-Kutta法對單自由度齒輪系統(tǒng)運動微分方程進行數值求解，給出系統(tǒng)隨參數變化的分岔圖，結合Lyapunov指數圖、相圖、龐加萊映射圖以及時間相應圖，分析系統(tǒng)隨阻尼比變化時復雜的動力學行為.同時，在其余參數保持不變時，隨著嚙合剛度逐漸變大，系統(tǒng)分岔點越來越大，混沌區(qū)域越來越大，因此，在其他參數值不變的情況下，嚙合剛度ε越大系統(tǒng)的分岔點變大，系統(tǒng)表現出更加豐富的動力學行為.

參考文獻：

［1］KAHRAMA N A，SINGH R.Non-linear dynamics of a spur gear pair［J］.

Journal of Sound and Vibration，1990，142（1）：49-75.

［2］王三民，沈允文，董海軍.含摩擦和間隙直齒輪副的混沌與分岔研究［J］.機械工程學報，2002，38（9）：8-11.

［3］王立華，李潤方，林騰蛟，等.齒輪系統(tǒng)時變剛度和間隙非線性振動特性研究［J］.中國機械工程，2003，14（13）：1143-1146.

［4］JOANNA M，MARTIN H，EDDIE W R.Mathematical models of gear rattle in roots blower vacuum pumps［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，308（3／4／5）：431-440.

［5］蘇程.單級齒輪傳動系統(tǒng)非線性動力學特性分析［J］.蘭州理工大學學報，2012，38（1）：32-36.

（責任編輯 梁志茂）

中圖分類號：TH132.41

文獻標志碼：A

文章編號：1672-8513（2014）06-0447-04

收稿日期：2014-02-10.

作者簡介：史建文（1985-），男，碩士研究生.主要研究方向：微分方程及應用動力系統(tǒng).

Analysis of the nonlinear dynamic characteristics of a single-degree-of-freedom spur gear pair system

SHI Jian-wen，WANG Nan，LI Xiao-lei
（School of Mathematics，Physics and Software Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：A nonlinear dynamic model for a spur gear pair system was established wherein the backlash and mesh stiffness were considered.The nonlinearsingle degree-of-freedom equations were solved by employing the variable step-size Runge-Kutta integration method.The nonlinear dynamic characteristics of the system were discussed concerning different damping ratios based on bifurcation diagrams，Lyapunov exponents andphase portraits，Poincare maps，the time response figure，and mesh stiffness′s effect on the system.The result has showed that along with the changed damping ratio，the system has showed abundant dynamic characteristics，and its mesh stiffness has affected the location of the bifurcation point of the system.

Keywords：nonlinear dynamic；bifurcation；chaos；gear；damping ratio；mesh stiffness