Alpha穩(wěn)定分布序列的數(shù)值仿真方法

彭 成，王平波，劉旺鎖

(海軍工程大學(xué)，湖北武漢 430033)

0 引 言

水聲混響信號的統(tǒng)計(jì)特性表明，它具有顯著的尖峰脈沖特性和厚拖尾現(xiàn)象。這與機(jī)載雷達(dá)的地面散射干擾非常相似。因此主動(dòng)聲吶抗混響可以借鑒Alpha穩(wěn)定(Sα)分布在雷達(dá)雜波抑制[1]中的應(yīng)用方法[2]。

Alpha穩(wěn)定分布[3]又稱為非高斯穩(wěn)定分布，最初由利維(Levy)于1925年提出。但直到1993年，Shao和 Nikias的論文[4]才將對稱 Alpha穩(wěn)定分布(S Sα分布，一類Sα分布特例)模型應(yīng)用于描述具有尖峰沖激、厚拖尾的噪聲。目前大多數(shù)信號處理的研究都假設(shè)噪聲或干擾是服從高斯分布[5,6]。然而實(shí)際干擾的統(tǒng)計(jì)特性并不總是符合高斯假設(shè)的，它們常具有顯著的尖峰，如雷達(dá)地面散射干擾、主動(dòng)聲吶混響干擾、音頻信號噪聲、遠(yuǎn)程電話噪聲等。對于這些干擾信號，基于高斯假設(shè)顯然是不恰當(dāng)?shù)?。而Sα分布模型，能取得較好的處理效果。

目前信號處理中都使用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系表征Sα分布。因此本文從Sα分布模型的定義和性質(zhì)出發(fā)，討論了易混淆的三種參數(shù)系的關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下Sα分布隨機(jī)變量的產(chǎn)生。通過該方法產(chǎn)生不同參數(shù)組合的隨機(jī)序列，并將對應(yīng)的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)與理論對PDF進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證Sα分布隨機(jī)變量產(chǎn)生方法的正確性。

1 Alpha穩(wěn)定分布的定義及性質(zhì)

αS分布是廣義的高斯分布，它比高斯分布具有更廣泛的適用性。通常通過特征函數(shù)來給出αS分布的定義。αS分布具有三種不同的參數(shù)系[7]表征方法，即標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系S、S1參數(shù)系和S2參數(shù)系。而標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下的定義是最常用的。

定義 1[3]：如果隨機(jī)變量X存在參數(shù)0 ＜α≤2,γ≥ 0 ,?1 ≤β≤1和實(shí)數(shù)μ使其特征函數(shù)如式(1)所示?(t)=

則稱隨機(jī)變量X服從S參數(shù)系下的αS分布。式(1)中，參數(shù)α稱為特征指數(shù)，決定分布脈沖特性的程度；β稱為對稱參數(shù)，用它來確定分布的斜度；σ稱為分散系數(shù)，它是分散程度的度量；參數(shù)μ稱為位置參數(shù)。然而在標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下，當(dāng)α=1，β≠0時(shí)，其特征函數(shù)在隨機(jī)變量的取值上均不連續(xù)。

定義 2[3]：S1參數(shù)系的產(chǎn)生是為了消除S參數(shù)系特征函數(shù)的不連續(xù)性，其特征函數(shù)如式(3)所示?(t)=

其中μ1與S參數(shù)系的μ具有如下式的關(guān)系

這個(gè)特征函數(shù)在α、β的所有值均聯(lián)合連續(xù)，但有一點(diǎn)不足是其μ1不再具有位置參數(shù)原有的意義，而其他三個(gè)參數(shù)與S參數(shù)系下對應(yīng)參數(shù)相同。

定義 3[3]：S2參數(shù)系主要是利于理論分析和推導(dǎo)，其特征函數(shù)具有如式(5)所示的形式?(t)=

其中參數(shù)α和μ與標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系的對應(yīng)參數(shù)相同，參數(shù)β2和σ2與標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下的參數(shù)變換關(guān)系如下：

當(dāng)1≠α?xí)r

當(dāng)1=α?xí)r

特征函數(shù)是研究αS分布的一個(gè)有用工具，利用它可以得出穩(wěn)定分布的很多性質(zhì)，下面只給出本文需要的兩個(gè)基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：若X～S(α,σ,β,μ)，a是一個(gè)實(shí)常數(shù)，則

性質(zhì)2：若X～S(α,σ,β,μ)，b是一個(gè)非零的實(shí)常數(shù)，則

2 Alpha穩(wěn)定分布的產(chǎn)生方法

S1參數(shù)系的作用是為了消除S參數(shù)系在α=1,β≠ 0 時(shí)的不連續(xù)性；而S2參數(shù)系的主要作用是便于理論推導(dǎo)和分析。因此通過S1、S2參數(shù)系與S參數(shù)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就能產(chǎn)生出S參數(shù)系下符合αS分布的隨機(jī)變量及畫出PDF圖。

(2) 然后再根據(jù)S和S2兩個(gè)參數(shù)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下服從S(α,β, 1, 0)分布的隨機(jī)變量Y的生成方法。

當(dāng)α≠1時(shí)，首先定義

其中Mα,β代表了參數(shù)σ2與σ間的變換關(guān)系；Nα,β代表了參數(shù)β2與β間的變換關(guān)系，用以替代S2參數(shù)系產(chǎn)生方法中的V0。于是Y=

當(dāng)α=1時(shí)，M =π/2，β2=β ，有

生成的Y即為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下服從Y～S(α,β,1,0)分布的隨機(jī)變量。

(3) 再利用αS分布的兩個(gè)基本性質(zhì)，可得

這里，隨機(jī)變量Z即滿足Z～S(α,β,σ,μ)。

如此即產(chǎn)生了標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下滿足四個(gè)參數(shù)規(guī)定范圍內(nèi)的、服從任意參數(shù)值組合的αS分布隨機(jī)變量。

3 Alpha穩(wěn)定分布序列的生成

由于Sα分布的特征函數(shù)與概率密度函數(shù)具有如下的對應(yīng)關(guān)系：

而S參數(shù)系下特征函數(shù)在α=1、β≠0時(shí)不連續(xù)，因此采用直接數(shù)值積分法[8]來計(jì)算概率密度函數(shù)值。首先對S1參數(shù)系下的特征函數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分，克服S參數(shù)系下的不連續(xù)性，然后利用S參數(shù)系與S1參數(shù)系下參數(shù)間的變換關(guān)系及αS分布的兩個(gè)基本性質(zhì)，即可計(jì)算出S參數(shù)系下的概率密度函數(shù)值。

通過運(yùn)用上述αS分布隨機(jī)變量生成方法，分別產(chǎn)生三組不同參數(shù)組合的 1000點(diǎn)穩(wěn)定分布隨機(jī)變量序列。同時(shí)利用產(chǎn)生的隨機(jī)變量序列通過直接數(shù)值積分法計(jì)算出概率密度函數(shù)值，并與統(tǒng)計(jì)PDF進(jìn)行性能分析比較，如圖1~3所示。

圖1 S(1.8,0,1,0)分布序列及PDFFig.1 The sequence and PDF of S(1.8,0,1,0)

圖2 S(1.5,0.8,4,1)分布序列及PDFFig.2 The sequence and PDF of S(1.5,0.8,4,1)

圖3 S(1.2,0.5,2,1)分布序列及PDFFig.3 The sequence and PDF of S(1.2,0.5,2,1)

由圖1(a)~3(a)可以看出，αS分布隨機(jī)變量隨著特征指數(shù)α的減小，其尖峰脈沖性越顯著。而由圖1(b)~3(b)可知，本文方法產(chǎn)生的隨機(jī)變量序列通過直接積分法得到的PDF與Sα分布的統(tǒng)計(jì)PDF擬合性能很好，驗(yàn)證了本方法的正確性。

圖4 Sα(0,1,0)分布的PDF拖尾Fig.4 The PDF tails of Sα(0,1,0)

圖4繪出了不同α取值下的Sα分布PDF拖尾比較，可進(jìn)一步演示驗(yàn)證Sα分布的特性：α取值越小，其拖尾越厚，說明大樣本發(fā)生概率越高，非高斯脈沖性越強(qiáng)；反之，α取值越大，其拖尾越薄，說明大樣本發(fā)生概率越低，非高斯脈沖性越弱。

4 結(jié)束語

本文詳細(xì)介紹了如何在標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)系下產(chǎn)生αS分布隨機(jī)變量的方法，即利用S1、S2參數(shù)系與S參數(shù)系參數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系來產(chǎn)生隨機(jī)變量，克服了S系不便于理論分析和推導(dǎo)的缺點(diǎn)。

通過產(chǎn)生三組不同參數(shù)組合的Sα分布隨機(jī)變量序列，對產(chǎn)生的序列直接積分求PDF并與Sα分布的統(tǒng)計(jì)PDF進(jìn)行性能比較，結(jié)果擬合非常好，驗(yàn)證了產(chǎn)生方法的正確性和有效性。本文的隨機(jī)變量產(chǎn)生方法能產(chǎn)生S Sα分布隨機(jī)變量，這為后續(xù)主動(dòng)聲吶抗混響信號處理研究能提供準(zhǔn)確的仿真數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，是值得深入研究的。

參考文獻(xiàn)

[1] 呂曉蕊. Alpha穩(wěn)定分布的模型仿真及參數(shù)估計(jì)[D]. 武漢: 華中科技大學(xué), 2008.Lü Xiaorui. Modeling simulation and parameter estimation of alpha stable distribution[D]. Wuhan: Huzhong University of Science and Technology, 2008.

[2] 王汗青. 基于對稱 Alpha穩(wěn)定分布的水聲信號處理技術(shù)研究[D].武漢: 海軍工程大學(xué), 2012.WANG Hanqing. Study on underwater acoustic signals processing based on symmetrical alpha stable distribution[D]. Wuhan: Naval University of Engineering, 2012.

[3] 邱天爽, 張旭秀, 李小兵, 等. 統(tǒng)計(jì)信號處理: 非高斯信號處理及其應(yīng)用[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2004.QIU Tianshuang, ZHANG Xuxiu, LI Xiaobing, et al. Statistical signal processing: non-gaussian signal processing and its application[M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2004.

[4] Shao M, Nikias C L. Signal processing with fractional lower order moments: stable processes and their applications[J]. Proceedings of the IEEE, 1993, 81(7): 986-1010.

[5] 朱埜. 主動(dòng)聲吶檢測信息原理[M]. 北京: 海洋出版社, 1990.ZHU Ye. Information principles of active sonar signal detection[M]. Beijing: Ocean Press, 1990.

[6] Whalen A D. Detection of signals in noise[M]. New York: Academic Press, 1971.

[7] Rafal Weron. On the Chambers-Mallows-S-tuck method for simulating skewed stable random variables[J]. Statistics & Probability Letters, 1996, 28(2): 165-171.

[8] Nolan J P. An algorithm for evaluating stable densities in zolotarev’s parameterization[J]. Mathematical and Computer Modelling,1999, 29(3): 229-235.