二元一次方程，輕松將“雞兔”“分籠”

魏敏敏

【摘 要】“雞兔同籠”問題是人教版實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容，教材先后呈現(xiàn)了猜測(cè)法，列表法，假設(shè)法，一元一次方程法，讓所有學(xué)生理解各方法并熟練應(yīng)用有一定的困難。而二元一次方程組是解決“雞兔同籠”問題的最佳數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)實(shí)踐中嘗試并運(yùn)用一些解方程組的技巧，能收到良好的效果。

【關(guān)鍵詞】“雞兔同籠”問題；二元一次方程組

意外的收獲

“雞兔同籠”問題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。原文為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

看著主題圖上抓耳撓腮、滿頭大汗的孩童們，不禁問：雞兔同籠問題真有這么難學(xué)嗎？

筆者在施教前后分別做了調(diào)查分析。在未進(jìn)行教學(xué)前，部分課外學(xué)過奧數(shù)的學(xué)生會(huì)解決“雞兔同籠”問題，但大部分學(xué)生毫無解題思路，如表一：

第一課時(shí)介紹“方程法”，第二課時(shí)教學(xué)“假設(shè)法”，然后進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生嘗試用“假設(shè)法”解題，但并沒有真正明白解題思路；而選擇二元一次方程組解題的學(xué)生則比較多，見表二：

為了檢驗(yàn)二元一次方程組是否深入人心，課后明確要求學(xué)生用這一方法解題，統(tǒng)計(jì)學(xué)生作業(yè)的正確率而得到表三中的數(shù)據(jù)。

通過以上調(diào)查分析可以看出，原本不會(huì)的學(xué)生大多數(shù)選擇了二元一次方程來解決“雞兔同籠”問題。而嘗試用假設(shè)法的30名學(xué)生（12+3+15）中，12人對(duì)其一知半解，14人原本就會(huì)，只有4人新學(xué)會(huì)了假設(shè)法。與學(xué)生進(jìn)一步談話了解到，班級(jí)后20%的學(xué)生更傾向于選擇二元一次方程。表三中的數(shù)據(jù)也正說明六年級(jí)的學(xué)生是可以理解并掌握用二元一次方程組解決“雞兔同籠”問題的。

緣起

雞兔同籠問題，多見于奧數(shù)教程中，但將其編入新課程教材尚屬首次。那么教材是如何編排的呢？

一堂課將化繁為簡(jiǎn)、畫圖、猜測(cè)嘗試、枚舉、假設(shè)、方程等多種數(shù)學(xué)思想和方法一一滲透，是教材的編寫意圖。就解題方法而言，方程法無疑是最簡(jiǎn)單快捷的。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很排斥方程。一是因?yàn)榉匠虝鴮懜袷椒爆崳欢恰半u兔同籠”問題對(duì)解方程提出了更高的要求。

教參中明確要求讓學(xué)生“嘗試用不同的方法解決‘雞兔同籠問題，并使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。”因此，該如何強(qiáng)調(diào)方程，引導(dǎo)學(xué)生去“體會(huì)代數(shù)方法的一般性”呢？二元一次方程，何嘗不是最佳的數(shù)學(xué)模型？

實(shí)踐

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者以“提出問題→獨(dú)立嘗試，全班交流→聚焦方程法→再次嘗試→拓展延伸→全課總結(jié)”的結(jié)構(gòu)來開展教學(xué)活動(dòng)。

課堂上，例題是：籠子里有雞和兔共8只，他們一共有26只腳，雞和兔各有幾只？學(xué)生通過獨(dú)立思考，交流討論，出現(xiàn)如下方法：

（1）表格法，利用“雞的只數(shù)”，“兔的只數(shù)”，“腳的總數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系記錄表格，直接得出答案。

（2）方程法a：

解：設(shè)兔子有x只，則雞有（8-x）只。

4x+2（8-x）=26

方程法b：

解：設(shè)雞有x只，則兔有（8-x）只。

2x+4（8-x）=26

方程法c：

解：設(shè)雞有x只，兔有y只。

x+y=8

2x+4y=26

一節(jié)課才40分鐘，要讓學(xué)生理解和掌握上述多種方法尚有難度，更別提靈活運(yùn)用了！所以本節(jié)課必須對(duì)解題方法進(jìn)行重點(diǎn)化，突出代數(shù)方法的一般性。

三個(gè)方程中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系對(duì)于六年級(jí)學(xué)生來說是完全可以理解的，甚至可以說二元一次方程中的數(shù)量關(guān)系更淺顯易懂。

那么解方程呢？如果仍按代入法解方程組，其實(shí)又與方程法a和方程法b一樣了，無法凸顯二元一次方程的優(yōu)越性。所以解二元一次方程組應(yīng)該另辟捷徑。

x+y=8

2x+4y=26

2x+2y=16……利用等式的基本性質(zhì)，對(duì)方程組中的第一個(gè)方程進(jìn)行恒等變化

2x+4y=26

2x+2y+2y=26……將4y拆分成2y+2y

16+2y=26……對(duì)2x+2y=16進(jìn)行等量代換

16+2y-16=26-16

2y÷2=10÷2

y=5

x+5=8

x=3

學(xué)方程前先學(xué)等式的基本性質(zhì)，學(xué)生已爛熟于心；等量代換，一二年級(jí)就開始接觸，六年級(jí)學(xué)生已輕車熟路。由此可見，利用等式的基本性質(zhì)和等量代換來解二元一次方程組，既不需要去小括號(hào)，合并同類項(xiàng)，也回避了x為減數(shù)時(shí)的解題困難。

在“再次嘗試”教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者出示的問題是：一個(gè)籠子里有雞和兔共35只，它們的腳一共有94只，雞和兔各有幾只？通過觀察發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生選擇二元一次方程組來解決問題，他們表示“列二元一次方程組根本不需要?jiǎng)幽X筋”，更有學(xué)生表示列好方程組后，“我口算一下就馬上知道答案了”。學(xué)生的話不正表明他們已經(jīng)深刻地體會(huì)到二元一次方程組的優(yōu)越性了嗎？

總結(jié)

我們都知道，“二元一次方程組是解決‘雞兔同籠問題的最佳數(shù)學(xué)模型”，雖說這樣的方程是完全超標(biāo)的，但學(xué)習(xí)的主人是學(xué)生，學(xué)習(xí)的組織者是教師，這兩者都具有主觀能動(dòng)性，為何不靈活處理問題呢？以二元一次方程組解決“雞兔同籠”問題，這樣的教學(xué)，這樣的方法，學(xué)生能理解，會(huì)應(yīng)用，說明這一數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)確實(shí)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上；一部分學(xué)生經(jīng)歷了解題方法從難到易的過程，一部分學(xué)生經(jīng)歷了解題方法從無到有的飛躍，不就實(shí)現(xiàn)了不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展嗎？這樣的教學(xué)，這樣的方法，不也很有意義嗎？！

參考文獻(xiàn)：

[1]徐澤洲，陳潔云，李金生，李濟(jì)元.小學(xué)奧數(shù)讀本（小學(xué)五年級(jí)）[M].南京：江蘇教育出版社，2000.

[2]王繼延.“雞兔同籠”與方程——談“一元一次方程”與“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)[J].中學(xué)生數(shù)理化（七年級(jí)數(shù)學(xué)）（華師大版），2008（Z1）.

【摘 要】“雞兔同籠”問題是人教版實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容，教材先后呈現(xiàn)了猜測(cè)法，列表法，假設(shè)法，一元一次方程法，讓所有學(xué)生理解各方法并熟練應(yīng)用有一定的困難。而二元一次方程組是解決“雞兔同籠”問題的最佳數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)實(shí)踐中嘗試并運(yùn)用一些解方程組的技巧，能收到良好的效果。

【關(guān)鍵詞】“雞兔同籠”問題；二元一次方程組

意外的收獲

“雞兔同籠”問題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。原文為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

看著主題圖上抓耳撓腮、滿頭大汗的孩童們，不禁問：雞兔同籠問題真有這么難學(xué)嗎？

筆者在施教前后分別做了調(diào)查分析。在未進(jìn)行教學(xué)前，部分課外學(xué)過奧數(shù)的學(xué)生會(huì)解決“雞兔同籠”問題，但大部分學(xué)生毫無解題思路，如表一：

第一課時(shí)介紹“方程法”，第二課時(shí)教學(xué)“假設(shè)法”，然后進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生嘗試用“假設(shè)法”解題，但并沒有真正明白解題思路；而選擇二元一次方程組解題的學(xué)生則比較多，見表二：

為了檢驗(yàn)二元一次方程組是否深入人心，課后明確要求學(xué)生用這一方法解題，統(tǒng)計(jì)學(xué)生作業(yè)的正確率而得到表三中的數(shù)據(jù)。

通過以上調(diào)查分析可以看出，原本不會(huì)的學(xué)生大多數(shù)選擇了二元一次方程來解決“雞兔同籠”問題。而嘗試用假設(shè)法的30名學(xué)生（12+3+15）中，12人對(duì)其一知半解，14人原本就會(huì)，只有4人新學(xué)會(huì)了假設(shè)法。與學(xué)生進(jìn)一步談話了解到，班級(jí)后20%的學(xué)生更傾向于選擇二元一次方程。表三中的數(shù)據(jù)也正說明六年級(jí)的學(xué)生是可以理解并掌握用二元一次方程組解決“雞兔同籠”問題的。

緣起

雞兔同籠問題，多見于奧數(shù)教程中，但將其編入新課程教材尚屬首次。那么教材是如何編排的呢？

一堂課將化繁為簡(jiǎn)、畫圖、猜測(cè)嘗試、枚舉、假設(shè)、方程等多種數(shù)學(xué)思想和方法一一滲透，是教材的編寫意圖。就解題方法而言，方程法無疑是最簡(jiǎn)單快捷的。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很排斥方程。一是因?yàn)榉匠虝鴮懜袷椒爆?；二是“雞兔同籠”問題對(duì)解方程提出了更高的要求。

教參中明確要求讓學(xué)生“嘗試用不同的方法解決‘雞兔同籠問題，并使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性?！币虼?，該如何強(qiáng)調(diào)方程，引導(dǎo)學(xué)生去“體會(huì)代數(shù)方法的一般性”呢？二元一次方程，何嘗不是最佳的數(shù)學(xué)模型？

實(shí)踐

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者以“提出問題→獨(dú)立嘗試，全班交流→聚焦方程法→再次嘗試→拓展延伸→全課總結(jié)”的結(jié)構(gòu)來開展教學(xué)活動(dòng)。

課堂上，例題是：籠子里有雞和兔共8只，他們一共有26只腳，雞和兔各有幾只？學(xué)生通過獨(dú)立思考，交流討論，出現(xiàn)如下方法：

（1）表格法，利用“雞的只數(shù)”，“兔的只數(shù)”，“腳的總數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系記錄表格，直接得出答案。

（2）方程法a：

解：設(shè)兔子有x只，則雞有（8-x）只。

4x+2（8-x）=26

方程法b：

解：設(shè)雞有x只，則兔有（8-x）只。

2x+4（8-x）=26

方程法c：

解：設(shè)雞有x只，兔有y只。

x+y=8

2x+4y=26

一節(jié)課才40分鐘，要讓學(xué)生理解和掌握上述多種方法尚有難度，更別提靈活運(yùn)用了！所以本節(jié)課必須對(duì)解題方法進(jìn)行重點(diǎn)化，突出代數(shù)方法的一般性。

三個(gè)方程中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系對(duì)于六年級(jí)學(xué)生來說是完全可以理解的，甚至可以說二元一次方程中的數(shù)量關(guān)系更淺顯易懂。

那么解方程呢？如果仍按代入法解方程組，其實(shí)又與方程法a和方程法b一樣了，無法凸顯二元一次方程的優(yōu)越性。所以解二元一次方程組應(yīng)該另辟捷徑。

x+y=8

2x+4y=26

2x+2y=16……利用等式的基本性質(zhì)，對(duì)方程組中的第一個(gè)方程進(jìn)行恒等變化

2x+4y=26

2x+2y+2y=26……將4y拆分成2y+2y

16+2y=26……對(duì)2x+2y=16進(jìn)行等量代換

16+2y-16=26-16

2y÷2=10÷2

y=5

x+5=8

x=3

學(xué)方程前先學(xué)等式的基本性質(zhì)，學(xué)生已爛熟于心；等量代換，一二年級(jí)就開始接觸，六年級(jí)學(xué)生已輕車熟路。由此可見，利用等式的基本性質(zhì)和等量代換來解二元一次方程組，既不需要去小括號(hào)，合并同類項(xiàng)，也回避了x為減數(shù)時(shí)的解題困難。

在“再次嘗試”教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者出示的問題是：一個(gè)籠子里有雞和兔共35只，它們的腳一共有94只，雞和兔各有幾只？通過觀察發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生選擇二元一次方程組來解決問題，他們表示“列二元一次方程組根本不需要?jiǎng)幽X筋”，更有學(xué)生表示列好方程組后，“我口算一下就馬上知道答案了”。學(xué)生的話不正表明他們已經(jīng)深刻地體會(huì)到二元一次方程組的優(yōu)越性了嗎？

總結(jié)

我們都知道，“二元一次方程組是解決‘雞兔同籠問題的最佳數(shù)學(xué)模型”，雖說這樣的方程是完全超標(biāo)的，但學(xué)習(xí)的主人是學(xué)生，學(xué)習(xí)的組織者是教師，這兩者都具有主觀能動(dòng)性，為何不靈活處理問題呢？以二元一次方程組解決“雞兔同籠”問題，這樣的教學(xué)，這樣的方法，學(xué)生能理解，會(huì)應(yīng)用，說明這一數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)確實(shí)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上；一部分學(xué)生經(jīng)歷了解題方法從難到易的過程，一部分學(xué)生經(jīng)歷了解題方法從無到有的飛躍，不就實(shí)現(xiàn)了不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展嗎？這樣的教學(xué)，這樣的方法，不也很有意義嗎？！

參考文獻(xiàn)：

[1]徐澤洲，陳潔云，李金生，李濟(jì)元.小學(xué)奧數(shù)讀本（小學(xué)五年級(jí)）[M].南京：江蘇教育出版社，2000.

[2]王繼延.“雞兔同籠”與方程——談“一元一次方程”與“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)[J].中學(xué)生數(shù)理化（七年級(jí)數(shù)學(xué)）（華師大版），2008（Z1）.

【摘 要】“雞兔同籠”問題是人教版實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容，教材先后呈現(xiàn)了猜測(cè)法，列表法，假設(shè)法，一元一次方程法，讓所有學(xué)生理解各方法并熟練應(yīng)用有一定的困難。而二元一次方程組是解決“雞兔同籠”問題的最佳數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)實(shí)踐中嘗試并運(yùn)用一些解方程組的技巧，能收到良好的效果。

【關(guān)鍵詞】“雞兔同籠”問題；二元一次方程組

意外的收獲

“雞兔同籠”問題是我國(guó)民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。原文為：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

看著主題圖上抓耳撓腮、滿頭大汗的孩童們，不禁問：雞兔同籠問題真有這么難學(xué)嗎？

筆者在施教前后分別做了調(diào)查分析。在未進(jìn)行教學(xué)前，部分課外學(xué)過奧數(shù)的學(xué)生會(huì)解決“雞兔同籠”問題，但大部分學(xué)生毫無解題思路，如表一：

第一課時(shí)介紹“方程法”，第二課時(shí)教學(xué)“假設(shè)法”，然后進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生嘗試用“假設(shè)法”解題，但并沒有真正明白解題思路；而選擇二元一次方程組解題的學(xué)生則比較多，見表二：

為了檢驗(yàn)二元一次方程組是否深入人心，課后明確要求學(xué)生用這一方法解題，統(tǒng)計(jì)學(xué)生作業(yè)的正確率而得到表三中的數(shù)據(jù)。

通過以上調(diào)查分析可以看出，原本不會(huì)的學(xué)生大多數(shù)選擇了二元一次方程來解決“雞兔同籠”問題。而嘗試用假設(shè)法的30名學(xué)生（12+3+15）中，12人對(duì)其一知半解，14人原本就會(huì)，只有4人新學(xué)會(huì)了假設(shè)法。與學(xué)生進(jìn)一步談話了解到，班級(jí)后20%的學(xué)生更傾向于選擇二元一次方程。表三中的數(shù)據(jù)也正說明六年級(jí)的學(xué)生是可以理解并掌握用二元一次方程組解決“雞兔同籠”問題的。

緣起

雞兔同籠問題，多見于奧數(shù)教程中，但將其編入新課程教材尚屬首次。那么教材是如何編排的呢？

一堂課將化繁為簡(jiǎn)、畫圖、猜測(cè)嘗試、枚舉、假設(shè)、方程等多種數(shù)學(xué)思想和方法一一滲透，是教材的編寫意圖。就解題方法而言，方程法無疑是最簡(jiǎn)單快捷的。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很排斥方程。一是因?yàn)榉匠虝鴮懜袷椒爆?；二是“雞兔同籠”問題對(duì)解方程提出了更高的要求。

教參中明確要求讓學(xué)生“嘗試用不同的方法解決‘雞兔同籠問題，并使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性?！币虼耍撊绾螐?qiáng)調(diào)方程，引導(dǎo)學(xué)生去“體會(huì)代數(shù)方法的一般性”呢？二元一次方程，何嘗不是最佳的數(shù)學(xué)模型？

實(shí)踐

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者以“提出問題→獨(dú)立嘗試，全班交流→聚焦方程法→再次嘗試→拓展延伸→全課總結(jié)”的結(jié)構(gòu)來開展教學(xué)活動(dòng)。

課堂上，例題是：籠子里有雞和兔共8只，他們一共有26只腳，雞和兔各有幾只？學(xué)生通過獨(dú)立思考，交流討論，出現(xiàn)如下方法：

（1）表格法，利用“雞的只數(shù)”，“兔的只數(shù)”，“腳的總數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系記錄表格，直接得出答案。

（2）方程法a：

解：設(shè)兔子有x只，則雞有（8-x）只。

4x+2（8-x）=26

方程法b：

解：設(shè)雞有x只，則兔有（8-x）只。

2x+4（8-x）=26

方程法c：

解：設(shè)雞有x只，兔有y只。

x+y=8

2x+4y=26

一節(jié)課才40分鐘，要讓學(xué)生理解和掌握上述多種方法尚有難度，更別提靈活運(yùn)用了！所以本節(jié)課必須對(duì)解題方法進(jìn)行重點(diǎn)化，突出代數(shù)方法的一般性。

三個(gè)方程中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系對(duì)于六年級(jí)學(xué)生來說是完全可以理解的，甚至可以說二元一次方程中的數(shù)量關(guān)系更淺顯易懂。

那么解方程呢？如果仍按代入法解方程組，其實(shí)又與方程法a和方程法b一樣了，無法凸顯二元一次方程的優(yōu)越性。所以解二元一次方程組應(yīng)該另辟捷徑。

x+y=8

2x+4y=26

2x+2y=16……利用等式的基本性質(zhì)，對(duì)方程組中的第一個(gè)方程進(jìn)行恒等變化

2x+4y=26

2x+2y+2y=26……將4y拆分成2y+2y

16+2y=26……對(duì)2x+2y=16進(jìn)行等量代換

16+2y-16=26-16

2y÷2=10÷2

y=5

x+5=8

x=3

學(xué)方程前先學(xué)等式的基本性質(zhì)，學(xué)生已爛熟于心；等量代換，一二年級(jí)就開始接觸，六年級(jí)學(xué)生已輕車熟路。由此可見，利用等式的基本性質(zhì)和等量代換來解二元一次方程組，既不需要去小括號(hào)，合并同類項(xiàng)，也回避了x為減數(shù)時(shí)的解題困難。

在“再次嘗試”教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者出示的問題是：一個(gè)籠子里有雞和兔共35只，它們的腳一共有94只，雞和兔各有幾只？通過觀察發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生選擇二元一次方程組來解決問題，他們表示“列二元一次方程組根本不需要?jiǎng)幽X筋”，更有學(xué)生表示列好方程組后，“我口算一下就馬上知道答案了”。學(xué)生的話不正表明他們已經(jīng)深刻地體會(huì)到二元一次方程組的優(yōu)越性了嗎？

總結(jié)

我們都知道，“二元一次方程組是解決‘雞兔同籠問題的最佳數(shù)學(xué)模型”，雖說這樣的方程是完全超標(biāo)的，但學(xué)習(xí)的主人是學(xué)生，學(xué)習(xí)的組織者是教師，這兩者都具有主觀能動(dòng)性，為何不靈活處理問題呢？以二元一次方程組解決“雞兔同籠”問題，這樣的教學(xué)，這樣的方法，學(xué)生能理解，會(huì)應(yīng)用，說明這一數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)確實(shí)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上；一部分學(xué)生經(jīng)歷了解題方法從難到易的過程，一部分學(xué)生經(jīng)歷了解題方法從無到有的飛躍，不就實(shí)現(xiàn)了不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展嗎？這樣的教學(xué)，這樣的方法，不也很有意義嗎？！

參考文獻(xiàn)：

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