基于雙層位勢的Poisson方程無奇異方法

林 鑫，高發(fā)玲

（青島理工大學 琴島學院，山東 青島 266106）

0 引言

在用傳統(tǒng)邊界元法求解位勢問題時，通常需要求解奇異積分，特別是當公式中有雙層位勢的法向?qū)?shù)時，會遇到超強奇異積分計算。孫煥純等［1］采用的虛邊界法是基于虛擬邊界上的單層位勢表達式來推導(dǎo)虛邊界積分方程，可避免傳統(tǒng)邊界元中強奇異積分的計算。受此啟發(fā)，本文利用在虛邊界上分布的虛擬密度函數(shù)，得出一種基于雙層位勢的虛邊界積分方程，這種間接邊界積分公式的優(yōu)點在于，積分點和場點分別位于虛邊界和實邊界上，可避免強奇異積分和超強奇異積分的計算。針對求解Poisson方程的3類邊值問題，應(yīng)用這種思想建立了虛邊界元求解公式并用配置法求解，最后通過算例來驗證方法的有效性和精確性。

1 基于雙層位勢的虛邊界積分方程

不妨考慮二維位勢問題。設(shè)在以Γ為邊界的區(qū)域Ω上定義位勢函數(shù)u，滿足Poisson方程位勢u可以用單層位勢或雙層位勢分別表示，也可以用兩者的組合表示［2］。如果將u的法向?qū)?shù)以連續(xù)穿越Γ的方式延拓到Ω的補域，則位勢u適合用雙層位勢表示。不妨在Ω的補域中設(shè)置一條與原邊界Γ成相似比的虛擬閉曲線，稱之為虛邊界，記為 ?！洌瑒t在以 ?！渌鶉膮^(qū)域Ω′內(nèi)（見圖1），得到u的雙層位勢表達式

同時，其法向?qū)?shù)為

其中μ′是分布在虛邊界 ?！渖系奶摂M密度函數(shù)，簡稱矩密度；u*（x,y)=-ln|x-y|是二維 Laplace方程的基本解，是對虛邊界 ?！涞耐夥ň€方向n的導(dǎo)數(shù)。

圖1 虛實邊界及配點示意圖Fig.1 Physical，virtual boundary and point collocation

當Y位于原邊界Γ時，積分式（2）和（3）仍然成立。此時方向nY為Y點處對Γ的單位外法向量。由于點X和Y分別位于虛實邊界，故積分式（2）和（3）不再有奇異性。不妨以Poisson混合邊值問題為例得出如下的基于雙層位勢的無奇異虛邊界積分方程組

邊界積分方程組（4）是間接積分方程，其解具有存在唯一性［3］。通過常單元離散以及m-Gauss積分公式，可以將方程組（4）離散成形如Hμ′=F 的線性代數(shù)方程組。解出μ′(X)的值后，再回代到（2）和（3）式的右端，即可求得區(qū)域Ω或其邊界Γ上任意一點處未知的位勢值及其法向?qū)?shù)值。當然，此方法的求解精度在很大程度上受虛實邊界之間距離的影響。為此，引入?yún)?shù)λ為虛實邊界長度的相似比值［4］，即

通過計算知，對內(nèi)問題的比值在1.3～7.0間選取，對外問題一般在 0.6～0.8［1，4］內(nèi)變動。

2 算例

考慮如圖2所示的正方形區(qū)域的Poisson混合邊值問題［5］，其解析解為 u=y(y+1)。 在計算中，首先考慮虛實邊界比例對于計算結(jié)果的影響，部分內(nèi)點位勢值見表1。

圖2 算例的邊界條件Fig.2 Boundary condition of example

表1 區(qū)域內(nèi)點位勢值uTab.1 Potentialuat internal points

由表1可以看出，虛實邊界之間的比值可以在1.3～7.0的合理范圍內(nèi)變動而對計算結(jié)果的精度并無很大的影響，但是虛實邊界之間的距離不可以太近。接著，根據(jù)不同邊界剖分數(shù)目所得到的結(jié)果繪出誤差圖（見圖3），從圖3可以看出計算結(jié)果的精度會隨著區(qū)域剖分的加密而提高。

圖3 不同邊界剖分對應(yīng)的結(jié)果誤差圖Fig.3 Relative error of different boundary elements

3 結(jié)論

對于求解Poisson方程，本文采用了一種完全無奇異性的邊界元方法。通過數(shù)值試驗可以看出：計算結(jié)果的精度與虛實邊界之間的相似比以及節(jié)點數(shù)目有一定的關(guān)系。對于虛實邊界距離，在1.3～7.0范圍內(nèi)都會取得比較好的數(shù)值計算結(jié)果，但是兩者之間不可以太近（即 λ接近于1）。與普通邊界元法相比，本方法只需用較少的邊界節(jié)點數(shù)就可以得到相對較高的精度，而且完全避免了奇異與強奇異積分的計算。

（References）

［1］孫煥純，張立洲，許強，等，無奇異邊界元法［M］.大連：大連理工大學出版社，1999：1-25.

［2］祝家麟，袁政強.邊界元分析［M］.北京：科學出版社，2009：33-37.

［3］STROUD A H，SECREST D.Gaussian quadrature formulas［M］.Upper Saddle，NJ：Prentice-Hall，1966：78-90.

［4］WANG H，QIN Q H.A meshless method for generalized linear or nonlinear Poisson-type problem［J］.Engineering Analysis with Boundary Elements,2006（30）：515-521.

［5］王元淳.邊界元法基礎(chǔ)［M］.上海：上海交通大學出版社，1988：83-85.