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    某類解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式

    2014-07-19 11:54:38郭棟李宗濤許慶兵
    關(guān)鍵詞:子類滁州極值

    郭棟,李宗濤,許慶兵

    (1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽滁州239000;2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東廣州510403)

    某類解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式

    郭棟1,李宗濤2,許慶兵1

    (1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽滁州239000;2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,廣東廣州510403)

    利用正實(shí)部函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式,對D(λ,α,β)函數(shù)類上的系數(shù)泛函作了精確估計,在此基礎(chǔ)上得到了利用Hadamard卷積定義的新函數(shù)類上的Fekete-Szeg?不等式。

    單葉函數(shù);D(λ,α,β)函數(shù);Fekete-Szeg?不等式;Hadamard卷積

    1 引言及預(yù)備知識

    令H表示形如

    設(shè)f(z)和g(z)都在U內(nèi)解析。若存在U內(nèi)滿足|ω(z)|≤|z|的解析函數(shù)ω(z),使得f(z)≡g(ω(z)),則稱f(z)從屬于g(z),記作f(z)?g(z)。

    算子Dτ首先由Ruscheweyh研究,也稱Ruscheweyh導(dǎo)數(shù)。Fekete和Szego¨[5]于1933年證明了如下結(jié)果。

    定理A設(shè)f(z)∈S,f(z)由(1)式給出,則且對每個μ等號都成立。

    文獻(xiàn)[6-8]研究了H中一些子類的Fekete-Szeg?問題。本文研究D(λ,α,β)函數(shù)類上的Fekete-Szeg?問題,本文中定理1推廣了文獻(xiàn)[3]中定理[2]的結(jié)果,并給出Hadamard卷積在其上的應(yīng)用。

    為了導(dǎo)出文中主要結(jié)果,我們需要引用如下引理。

    引理1[9]如果內(nèi)具有正實(shí)部的解析函數(shù),則對任意的實(shí)數(shù)ν,有

    引理中的估計是精確的,ν≤0和ν>1時,其極值函數(shù)為

    0<ν≤1時,其極值函數(shù)為

    引理2[10]如果內(nèi)具有正實(shí)部的解析函數(shù),則對任意的復(fù)數(shù)ν,有。等號在函數(shù)或者時成立。

    2 主要結(jié)果及證明

    將f(z),p(z)的冪級數(shù)展開式代入(2)式,比較恒等式兩邊z和z2的系數(shù),可得

    定理1的結(jié)果是精確的,對所有的μ等號都成立。當(dāng)μ≤δ1或μ≥δ2時,若λ>0,對應(yīng)的極值函數(shù)為

    若λ=0,對應(yīng)的極值函數(shù)為

    當(dāng)δ1<μ<δ2時,若λ>0,對應(yīng)的極值函數(shù)為

    若λ=0時,對應(yīng)的極值函數(shù)為

    注:令α=1時,定理1就是文獻(xiàn)[3]中的定理2。

    由(5)式及引理2可得下面的定理。

    定理2設(shè)f(z)∈H由(1)式給出,f(z)∈D(λ,α,β),μ為復(fù)數(shù),則有

    且對所有的μ等號都能成立。

    定理3設(shè)f(z)∈H由(1)式給出,時,則有

    其中,δ1=,且對所有的μ等號都能成立。

    類似于定理1的證明過程可證定理3。

    由(5)式及引理2可得定理4。

    定理4設(shè)f(z)∈H由(1)式給出,,μ為復(fù)數(shù),則有

    且對所有的μ等號都能成立。

    推論1設(shè)f(z)∈H由(1)式給出,Dτf(z)∈D(λ,α,β),則

    (References)

    [1]譚立云,張玉林.Bazilevic函數(shù)族的一個從屬關(guān)系及相應(yīng)極值問題[J].延安大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1994(4):7-14.

    [3]何維明.某類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式[J].長沙交通學(xué)院學(xué)報,1994,10(3):13-17.

    [4]張小平,何建軍.一類解析函數(shù)的從屬關(guān)系及其應(yīng)用[J].江西科學(xué),2012,30(4):429-431.

    [5]FEKETE M,SZEG? G.Eine Bermerkung uberungerade schlichte functionen[J].J London Math Soc,1933(8):85-89.

    [6]郭棟,李宗濤,楊家穩(wěn).一類解析函數(shù)類的Fekete-Szego¨問題[J].華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,44(4):32-34.

    [7]周從會.γ-星函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式[J].安徽理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2010(2):75-78.

    [8]崔志峰,劉名生.用卷積定義的解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(5):954-961.

    [9]MA W,MINDA D.A unified treatment of some special classes of univalent functions[C]//Li Z,Ren F,Yang L,et al.Pro?ceedings of the conference on complex analysis.Beijing:International Press Inc,1994:157-169.

    [10]RAVICHANDRAN V,BOLCAL M,POLATOGLU Y,et al.Certain subclasses of starlike and convex functions of complex orde[rJ].Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics,2005,34:9-15.

    (責(zé)任編輯:強(qiáng)士端)

    Fekete-Szeg? Inequalities for Certain Subclasses of Analytic Functions

    GUO Dong1,LI Zongtao2,XU Qingbing1
    (1.Foundations Department,Chuzhou Vocational and Technical College,Chuzhou 239000,Anhui,China;
    2.Foundations Department,Guangzhou Civil Aviation College,Guangzhou 510403,Guangdong,China)

    The coefficient of fonctionelleon the class ofD(λ,α,β)functions was accurate? ly estimated,usingFekete-Szeg?inequality for the class of real component functions.On this basis,F(xiàn)ekete-Szeg?inequalities for the classes of functions defined by Hadamard convolution were obtained.

    univalent function;D(λ,α,β)function;Fekete-Szeg?inequality;Hadamard convolu?tion

    O174.51

    A

    1673-0143(2014)02-0027-04

    2013-11-18

    安徽省高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2012Z300)

    郭棟(1976—),男,講師,碩士,研究方向:復(fù)分析及其應(yīng)用。

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