用代數(shù)方法探討四階幻方的解

楊俊平，孟憲濤

（1.大連海洋大學，應用技術(shù)學院 遼寧 大連 116300；2.沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，沈陽 110034）

0 引 言

幻方為中國人所發(fā)明，早在漢朝就開始了三階幻方的研究［1－3］。而我國南宋時期著名數(shù)學家楊輝則是對四階幻方開展較為系統(tǒng)研究的第一人。他在所著的《續(xù)古摘奇算法》中給出了極為巧妙的四階幻方構(gòu)造方法：先將1～16這16個數(shù)排列成圖1a，然后將四角位置的四個數(shù)按對角線方向兩兩對換，即1?16，4?13。再將位于中心位置2×2方陣的4個數(shù)按對角線方向兩兩對換，即10?7，11?6。對換后即得圖1b，則圖1b稱為楊輝四階幻方的陰圖。對陰圖1、2兩行互換，3、4兩行互換，即得圖1c，圖1c稱為楊輝四階幻方的陽圖。注意到圖1b、圖1c中的每一行、列和對角線上的四數(shù)之和均為34，此處稱34為四階幻方常數(shù)。

和三階幻方不同，四階幻方的數(shù)量眾多，且構(gòu)造方法也不唯一，甚至可以用矩陣運算生成幻方：用0，1，2，3作為元素構(gòu)造矩陣

由此矩陣即得圖2幻方，且圖2幻方為異于圖1b、圖1c的四階幻方［4］。

幻方的研究一般包括尋求幻方的全部解和幻方特性的研究［5－7］。本文通過建立四階幻方的約束方程組，利用代數(shù)方法得出四階幻方解的約束條件，并結(jié)合試驗方法給出四階幻方的求解舉例［8－10］。

1 約束條件

圖2 矩陣運算產(chǎn)生的幻方

在圖1b、圖1c和圖2中，給出了四階幻方的3種形式，或稱為是四階幻方的3個解。

一般地設圖3為四階幻方的一個解，則有如下約束方程組成立，

圖3 四階幻方的一般形式

此處｛a11，a12，…，a44｝＝｛1，2，…，16｝。

對方程組（1）的增廣矩陣進行初等變換得到對應的同解方程組

其中a24，a32，a33，a34，a42，a43，a44為自由未知量。

由方程組（2）中的a21＋a24＝a32＋a33，及其在圖3中位置的對稱性可得

圖4刻劃了等式a21＋a24＝a32＋a33的意義，即位于垂線陰影部分的兩數(shù)之和與位于斜線陰影部分的兩數(shù)之和是相等的。同理由對稱性可解釋（3）中后3個等式的意義。

由式（2）中a11＝a24＋a34＋a42＋a43＋a44－34可得

圖4 方程（3）生成的幻方

考慮對稱性，容易得出

圖5 方程（4）生成的幻方

式（4）的意義在于，凡圖3中具有如圖5相應位置關(guān)系的垂線陰影部分，兩數(shù)之和與斜線陰影部分兩數(shù)之和是相等的。

在圖3中的4個頂角位置數(shù)字之和為34。

四階幻方圖3中，位于中心位置2×2方陣4個數(shù)之和為34（圖6）。事實上，由式（3）可得

圖6 中心位置之和為34的幻方

位于一條對角線頂點位置的2個2×2方陣子塊4數(shù)之和相等（如圖7）。事實上，由式（2）容易得出

同理有a11＋a12＋a21＋a22＝a33＋a34＋a43＋a44。

由于幻方常數(shù)為34，可知每一行每一列及每條對角線上的4個數(shù)中奇數(shù)（或偶數(shù)）的個數(shù)必定為偶數(shù)。

圖7 四個字塊相等的幻

2 應用約束條件探求幻方解

在利用約束條件求幻方解的時候，必須結(jié)合試驗進行。下面給出求解舉例。

已知楊輝四階幻方陰圖如圖1b，由式（3）中的

與式（4）中的

圖8 “行變換”形成的幻方

對圖1b進行“行變換”即得圖8，則圖8為圖3一個解，且該幻方異于楊輝的陰圖。

再在式（3）中選擇

兩式，同時在式（4）中選擇

圖9 “列變換”形成的幻方

并利用其對圖8“列變換”，得圖9，則圖9為圖3的一個異于圖1b與圖8的一個解。

若圖3為四階幻方的一個解，則按四階方陣轉(zhuǎn)置方法得到的仍是幻方的解。又若圖3四階幻方的一個解，則圖3按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)90°所得到的仍然是幻方的解。

3 結(jié) 語

在上述實例中，筆者利用式（3）、式（4）分別對已知幻方進行“行變換”與“列變換”而得到3個新的幻方。這種由一個已知幻方構(gòu)造新的幻方的方法不是唯一的［11－13］。

此外，可將一個已知幻方的一、二兩列互換，再三、四兩行互換，則生成的幻方為基本幻方；又可將一個已知幻方的一、三兩列互換，再將二、四兩行互換，或者先一、三兩列互換，再一、三兩行互換，等等，得到的都是基本幻方［14－15］。但需注意的是，在2次行、列對換的時候要考慮到對稱性?？梢娪梢阎梅缴尚碌幕梅降姆椒ㄊ呛芏嗟?。

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