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    非均衡投資收益極大指派問(wèn)題

    2014-11-01 07:17:02王立柱
    關(guān)鍵詞:指派方陣矩陣

    王立柱,劉 陽(yáng),石 洋,孫 軍

    (1.沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,沈陽(yáng) 110034;2.中國(guó)人民解放軍93115部隊(duì),沈陽(yáng) 110034)

    0 引 言

    非均衡投資收益極大的指派問(wèn)題是指有m個(gè)公司要參與n個(gè)項(xiàng)目的投資,由于每個(gè)公司業(yè)務(wù)能力不同、項(xiàng)目的不同,各公司投資各個(gè)項(xiàng)目的收益也不同,現(xiàn)希望從m個(gè)公司中選出k(0<k≤gmin{m,n})個(gè)公司去投資n個(gè)項(xiàng)目中的k項(xiàng),每個(gè)公司只投資一個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目只由一個(gè)公司完成,使得總收益最大。此類(lèi)問(wèn)題可以看作為投資小于公司和項(xiàng)目數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,記為極大(m,n,k)問(wèn)題。當(dāng)m=n=k時(shí)即為標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題。

    對(duì)于極大(m,n,k)問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]指出標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)指派問(wèn)題(極小指派問(wèn)題),利用經(jīng)典的匈牙利法求解。另外,文獻(xiàn)[2]提出了非方陣極大極小指派問(wèn)題且文獻(xiàn)[3]給出了貪婪算法;文獻(xiàn)[4]中提出了C指派問(wèn)題;文獻(xiàn)[5]任務(wù)數(shù)多于人數(shù)的指派間題;文獻(xiàn)[6]中提出了多目標(biāo)指派問(wèn)題及其在物資供應(yīng)中的應(yīng)用。查閱大量相關(guān)文獻(xiàn)[7-11],沒(méi)有對(duì)上述問(wèn)題給予好的解法。本文將給出解決此類(lèi)問(wèn)題的相關(guān)理論及重要結(jié)論,并給出解決問(wèn)題的增反點(diǎn)算法。

    1 非均衡投資收益極大指派問(wèn)題描述和數(shù)學(xué)模型

    假設(shè)有n個(gè)公司且有n個(gè)投資項(xiàng)目,每公司投資不同項(xiàng)目的收益不同?,F(xiàn)要從n個(gè)公司中選出k(0<k≤n)個(gè)投資n個(gè)項(xiàng)目中的k項(xiàng),求選哪k個(gè)公司投資哪k個(gè)項(xiàng)目才能使總收益最大。即極大(n,n,k)問(wèn)題。

    更一般的情形,從m個(gè)公司中選出k(0<k≤min{m,n})個(gè)公司去投資n個(gè)項(xiàng)目中的k個(gè)項(xiàng)目使得總投資收益最大,即極大(m,n,k)問(wèn)題。極大(n,n,k)與極大(m,n,k)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為非均衡投資收益極大指派問(wèn)題。

    其中極大(m,n,k)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

    (cij)m×n>0稱(chēng)為問(wèn)題的系數(shù)矩陣,當(dāng)取m=n時(shí),得極大(n,n,k)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)取m=n=k時(shí),即是標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

    該問(wèn)題實(shí)質(zhì)是求解m×n階系數(shù)矩陣中位于不同行、不同列的k(0<k≤min {m,n})個(gè)元素求和最大。當(dāng)k較小時(shí),問(wèn)題處理較為簡(jiǎn)單;通常對(duì)k較大時(shí)進(jìn)行研究。

    2 反點(diǎn)及相關(guān)結(jié)果

    定義1 在階數(shù)為n的方陣中,若某元素所在的行和列的其他元素都是方陣中的最大元素M,則此點(diǎn)稱(chēng)做反點(diǎn)。如式(1)中r11就是反點(diǎn),其中·表示n階方陣中的任意元素。

    定理1 對(duì)于n階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,反點(diǎn)一定不含于最優(yōu)解中。

    證明 以(n=7)為例,設(shè)式(2)為標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題的系數(shù)矩陣。假設(shè)w1={r14,r23,r32,r41,r55,r66,r77}是標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題的最優(yōu)解,且包含反點(diǎn)r14,記相加之和v1=r14+r23+r32+r41+r55+r66+r77。

    從屬于最優(yōu)解并且不是反點(diǎn)的元素中任取一元素如r55,現(xiàn)選取r15和r54分別替換r14與r55得到新的可行解w2={r15,r23,r32,r41,r54,r66,r77},如(3)所示。記相加之和v2=r15+r23+r32+r41+r54+r66+r77。

    由于r15=M、r54=M,顯然v1≤v2,這與w1是最優(yōu)解矛盾。對(duì)于n階系數(shù)矩陣結(jié)論同樣成立,因而結(jié)論得證。

    定理2 對(duì)于n階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,如果系數(shù)矩陣中有k個(gè)反點(diǎn),則最優(yōu)解中一定有2k個(gè)最優(yōu)點(diǎn)處于此k個(gè)反點(diǎn)所在的行與列,剩下的n-2k個(gè)最優(yōu)點(diǎn)一定是由去掉反點(diǎn)所在行、列所得到的n-k階方陣中不同行、列的n-2k個(gè)和達(dá)到最大的元素組成。

    證明 由上面的結(jié)論知,反點(diǎn)必不是n階極大指派問(wèn)題最優(yōu)解w1中的元素。因?yàn)樽顑?yōu)解須滿(mǎn)足處于不同的行與列,因而,最優(yōu)解中必有一個(gè)元素處于反點(diǎn)所在的行與列上。所以,最優(yōu)解w1中必有2k個(gè)點(diǎn)處于反點(diǎn)所在的行與列。

    去掉這k個(gè)反點(diǎn)所在的行與列的元素,得到n-k階方陣。由于n階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題的最優(yōu)解w1中含有n個(gè)位于不同行、列的元素,其中2k個(gè)處于反點(diǎn)所在的行列,剩余n-2k個(gè)最優(yōu)點(diǎn)必落在未被去掉的n-k階矩陣中,且位于不同行、列和最大的n-2k個(gè)點(diǎn)。倘若剩余的n-2k個(gè)最優(yōu)點(diǎn)不是n-k階方陣中位于不同行、列和最大的n-2k個(gè)點(diǎn),則與w1是最優(yōu)解矛盾。定理得證。

    由定理2可知:對(duì)于n階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,若系數(shù)矩陣含有k個(gè)反點(diǎn),則問(wèn)題最優(yōu)解就轉(zhuǎn)化為求劃去反點(diǎn)所在行、列得到的n-k階方陣中位于不同行不同列的n-2k個(gè)和最大的點(diǎn)。反之,若求n-k階方陣中位于不同行不同列的n-2k個(gè)和最大的點(diǎn),可以通過(guò)增加k個(gè)反點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求n階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題。

    定理3 對(duì)于求解極大(n,n,k)問(wèn)題,可通過(guò)增加n-k個(gè)反點(diǎn)求解2n-k階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題得到。

    證明 當(dāng)k=n時(shí),即為n階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,當(dāng)k<n時(shí),即求n階系數(shù)矩陣中位于不同行、列且和最大的k個(gè)點(diǎn)的位置,不妨在該n階矩陣的外面增加n-k個(gè)反點(diǎn),此時(shí)變成一個(gè)2n-k階矩陣,由定理1、2求解此2n-k階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,便可得到極大(n,n,k)問(wèn)題的最優(yōu)解。

    定理4 對(duì)于求解極大(m,n,k)問(wèn)題,可通過(guò)先將其系數(shù)矩陣補(bǔ)成max{m,n}階方陣,增加max{m,n}-k個(gè)反點(diǎn)求解2max{m,n}-k階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題得到。

    證明 將極大(m,n,k)問(wèn)題的m×n階系數(shù)矩陣(rij)m×n增加行或列的0元素得到max{m,n}階方陣,由定理3知,增加 max{m,n}-k個(gè)反點(diǎn)后 max{m,n}階方陣變成2max{m,n}-k階方陣,以此方陣為系數(shù)的指派問(wèn)題的最優(yōu)解中除處于反點(diǎn)上的2(max{m,n}-k)個(gè)最優(yōu)點(diǎn)外,其余的最優(yōu)點(diǎn)組成極大(m,n,k)指派問(wèn)題的最優(yōu)解。以m=3,n=4,k=3為例,如(4)所示。先將3×4階系數(shù)矩陣增加一行0元素,然后增加一個(gè)反點(diǎn),根據(jù)上面的結(jié)論知,極大(3,4,3)指派問(wèn)題的最優(yōu)解可通過(guò)求解5階標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題得到。

    3 提出的算法

    求解極大(n,n,k)和(m,n,k)問(wèn)題的算法如下:

    第1步 標(biāo)準(zhǔn)化極大派問(wèn)題的系數(shù)矩陣。

    1)若求解極大(n,n,k)問(wèn)題,則系數(shù)矩陣不變。

    2)若求解極大(m,n,k)問(wèn)題,則增加行或列的0元素,將系數(shù)矩陣變?yōu)閙ax{m,n}階方陣。

    第2步 計(jì)算所需增加反點(diǎn)數(shù)。

    經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后,得到的依然是n階方陣,在此方陣的外側(cè)增加n-k個(gè)反點(diǎn)使之變換成2n-k階方陣;極大(m,n,k)問(wèn)題系數(shù)矩陣變?yōu)?max{m,n}階方陣,在此方陣的外側(cè)再增加 max{m,n}-k個(gè)反點(diǎn)使其變成2max{m,n}-k階方陣。

    第3步 求解經(jīng)第2步處理得到的方陣為系數(shù)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題。

    利用匈牙利法[12]或已有的求解標(biāo)準(zhǔn)指派問(wèn)題的算法求解[13-16]。

    第4步 計(jì)算最優(yōu)解。

    通過(guò)以上3個(gè)步驟,可以得到標(biāo)準(zhǔn)指派問(wèn)題的最優(yōu)解,然后將此最優(yōu)解劃去位于反點(diǎn)所在行和列的最優(yōu)點(diǎn),剩余的最優(yōu)點(diǎn)即為非均衡極大(n,n,k)及(m,n,k)指派問(wèn)題的最優(yōu)解。

    4 Matlab程序及實(shí)例

    算法的Matlab程序代碼如下:

    例1 設(shè)有5個(gè)公司和4個(gè)投資項(xiàng)目,每個(gè)公司投資各個(gè)項(xiàng)目的收益如表1,現(xiàn)希望從這5個(gè)公司中選出3個(gè)投資4個(gè)項(xiàng)目中的3項(xiàng),問(wèn)選哪3個(gè)公司投資哪3個(gè)項(xiàng)目才能使總收益最大。

    解 此問(wèn)題是極大(m=5,n=4,k=3)問(wèn)題,其的系數(shù)矩陣是5×4階矩陣,且=73.6,解決此問(wèn)題可以補(bǔ)一列0元素且增加2個(gè)反點(diǎn),將系數(shù)矩陣處理為R1=(rij)9×9。以R1為系數(shù)矩陣解標(biāo)準(zhǔn)極大指派問(wèn)題,可得對(duì)應(yīng)極大(m=5,n=4,k=3)問(wèn)題的最優(yōu)解矩陣R*。

    表1 投資項(xiàng)目表

    運(yùn)行實(shí)例:

    5 結(jié) 語(yǔ)

    本文對(duì)極大非均衡投資問(wèn)題給出了反點(diǎn)算法,此方法通過(guò)增加反點(diǎn)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化、易于處理。此算法同時(shí)也應(yīng)用于具體實(shí)例,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法的科學(xué)性和有效性。同時(shí)也為解決指派問(wèn)題提供了新思路、新方法。

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