執(zhí)行器飽和的不確定時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

杜鴻波，景 麗

（沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034）

0 引 言

飽和現(xiàn)象廣泛地存在于各種工業(yè)系統(tǒng)當(dāng)中，對實際工程來說，控制往往屬于容許控制，即控制輸入需要滿足一定的約束條件，執(zhí)行器飽和限制是一種最常見的約束控制，所以對于這類問題的研究自然就有非常重要的意義。

1964年Fuller首次提出飽和系統(tǒng)，20世紀90年代，學(xué)者們對飽和系統(tǒng)的理論研究熱情高漲，取得了豐碩的成果。近幾年，Hu等［1－2］針對狀態(tài)反饋下的執(zhí)行器飽和控制系統(tǒng)，利用飽和非線性的特性，提出了凸組合的處理方法，通過引入輔助矩陣H處理飽和非線性項，將穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，通過LMI求解。司玉琴等［3］研究了多輸入線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，通過迭代算法進行吸引域估計。Cao等［4］基于飽和關(guān)聯(lián)函數(shù)，給出了線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，應(yīng)用線性矩陣不等式計算最大吸引域。2008年，Zou等［5］通過對Lyapunov方程的模型轉(zhuǎn)換，給出了一種改進的穩(wěn)定條件。Guan等［6］基于錐互補的線性化程序給出了動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計方法。2010年，Ma等［7］根據(jù)Finsler’s引理，得到了線性離散執(zhí)行器飽和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性新方法，并通過迭代算法進行吸引域估計。2011年，朱發(fā)旺等［8］及基于飽和關(guān)聯(lián)函數(shù)研究了線性離散時間系統(tǒng)的吸引域估計問題，通過為每一個橢球?qū)ふ逸o助的增益矩陣來降低吸引域估計的保守性。針對含有不確定項的執(zhí)行器飽和問題，魏愛榮等［9］基于飽和度函數(shù)，研究了單輸入不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。針對含有時滯的執(zhí)行器飽和問題，Hind等［10－12］相繼應(yīng)用扇形非線性法進行研究分析，得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性條件。此外，張美玉等［13－14］將飽和應(yīng)用到時滯切換系統(tǒng)中，并給出了控制器的設(shè)計。

本文根據(jù)文獻［10］和文獻［12］研究含有不確定時滯的執(zhí)行器飽和問題，給出了使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的無記憶狀態(tài)反饋控制器的存在條件和設(shè)計方案。

1 問題描述

考慮以下狀態(tài)方程描述的帶有不確定時滯的執(zhí)行器飽和系統(tǒng)：

其中：x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u（t）∈Rm為控制輸入向量；d＞0是滯后的時間常數(shù)；φ（t）為初始函數(shù)；A、Ad、B為適當(dāng)維數(shù)的實值矩陣；ΔA（t）、ΔAd（t）和ΔB（t）是不確定實值矩陣，且具有范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu)，可寫成其中H、E1、Ed、E2是已知實數(shù)矩陣，N（t）為元素是Lebesgue可測的不確定矩陣，但是滿足不等式NT（t）N（t）≤I；sat（·）表示飽和非線性函數(shù)，定義如下：

2 穩(wěn)定性分析

對于執(zhí)行器飽和系統(tǒng)的研究，早期將飽和函數(shù)建模在一個扇形區(qū)域內(nèi)，利用波波夫（Popov）準則和圓判據(jù)，對執(zhí)行器飽和系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析。其中比較典型的方法是引入無記憶狀態(tài)反饋控制器［12］

同樣，本文對于系統(tǒng)（1）引入無記憶狀態(tài)反饋（2），則有

其中Ak＝A＋BF。

定理1 對于閉環(huán)系統(tǒng)（1），給定狀態(tài)反饋控制增益矩陣F，如果存在對稱正定矩陣P和S，標(biāo)量ε＞0，λ＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

則閉環(huán)系統(tǒng)（1）在給定的狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的。

把式（3）與式（4）相加，可知若式（5）成立，則V（t）＜0，

上式對所有滿足NT（t）N（t）≤I的參數(shù)不確定矩陣N（t）成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個標(biāo)量λ＞0，使得

根據(jù)Schur補引理，可知式（6）等價于

則當(dāng)式（7）成立時，有V（t）＜0，即閉環(huán)系統(tǒng)（1）在給定的狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的。

3 控制器設(shè)計

定理2 考慮閉環(huán)系統(tǒng)（1），如果存在對稱正定矩陣P，U和任意適維矩陣Q，標(biāo)量ε＞0，λ＞0，使得下面的矩陣不等式成立：

則閉環(huán)系統(tǒng)（1）在無記憶狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的，其中F＝QP－1。

證明 對于（7）式根據(jù)Schur補引理可轉(zhuǎn)換為

令＝P－1，Q＝FP－1，U＝P－1SP－1＝ε－1，那么式（10）可寫成式（8），則當(dāng)式（8）成立時，閉環(huán)系統(tǒng)（1）在無記憶狀態(tài)反饋控制器（2）下是漸近穩(wěn)定的，且狀態(tài)反饋控制器F＝。

4 仿真算例

例 考慮二階的控制系統(tǒng)（1），具有如下參數(shù)

利用Matlab的LMI工具箱求解矩陣不等式（8），得

選取初始狀態(tài)x0＝（－2，25）T，則系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡是漸近穩(wěn)定的，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡

5 結(jié) 語

本文研究了執(zhí)行器飽和的不確定時滯系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題?；谏刃螀^(qū)域法和李亞普諾夫函數(shù)方法研究了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件，并且在系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件下，給出了無記憶狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方案，仿真算例驗證了結(jié)論的有效性和可行性。

［1］HU Tingshu，LIN Zongli，CHEN B M.An analysis and design method for linear systems subject to actuator saturation and disturbance［J］.Automatica，2002，38（2）：351－359.

［2］HU Tingshu，LIN Zongli，CHEN B M.Analysis and design for discrete－time systems subject to actuator saturation［J］.Systems ＆ Control Letters，2002，45（2）：97－112.

［3］司玉琴，陳東彥.具有控制約束的多輸入系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報，2009，14（6）：66－69.

［4］CAO Yongyan，LIN Zongli.Stability analysis of discrete－time systems with actuator saturation by a saturationdependent Lyapunov function［J］.Automatica，2003，39（7）：1235－1241.

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［6］GUAN Wei，YANG Guanghong.Analysis and design of output feedback control systems with actuator saturation［J］.J Control Theory Appl，2008，6（4）：421－426.

［7］MA Yongmei，YANG Guanghong.Stability analysis for linear discrete－time systems subject to actuator saturation［J］.J Control Theory Appl，2010，8（2）：245－248.

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［9］魏愛榮，趙克友.執(zhí)行器飽和不確定線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計［J］.電機與控制學(xué)報，2006，9（5）：448－451.

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［13］張美玉，劉玉忠.具有非線性執(zhí)行器飽和的時滯切換系統(tǒng)的控制器設(shè)計［J］.沈陽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，27（2）：144－147.

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