車輛傳動(dòng)系統(tǒng)非線性平移扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)響應(yīng)靈敏度研究

黃 毅，劉 輝，2，項(xiàng)昌樂，2，楊志剛

（1．北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081；2．特種車輛研究所，北京 100081）

車輛傳動(dòng)系統(tǒng)非線性平移扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)響應(yīng)靈敏度研究

黃 毅1，劉 輝1，2，項(xiàng)昌樂1，2，楊志剛1

（1．北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081；2．特種車輛研究所，北京 100081）

隨著對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)要求的提高，僅固有特性及其靈敏度的分析已經(jīng)無法滿足車輛傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析的要求，對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)下響應(yīng)特性的靈敏度研究可為減振設(shè)計(jì)提供進(jìn)一步的指導(dǎo)。研究非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)軸段扭轉(zhuǎn)剛度、質(zhì)量點(diǎn)慣量以及輪齒嚙合誤差的靈敏度。將某車輛傳動(dòng)系統(tǒng)樣機(jī)作為研究對(duì)象，以發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)作為輸入，建立平移扭轉(zhuǎn)耦合集中參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型。模型中考慮時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、輪齒制造、安裝誤差以及質(zhì)量偏心等非線性因素，通過直接求導(dǎo)法建立靈敏度方程，利用數(shù)值求解的方法獲得動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的相對(duì)靈敏度并進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)化成工程中有實(shí)際意義的物理量的靈敏度結(jié)果，為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)基于動(dòng)態(tài)響應(yīng)的參數(shù)修改、模型修正和參數(shù)優(yōu)化等方面提供理論依據(jù)。

車輛傳動(dòng)系統(tǒng)；集中參數(shù)法；平移扭轉(zhuǎn)耦合；非線性；響應(yīng)靈敏度

機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題主要包括固有頻率問題、振型問題和動(dòng)力響應(yīng)振幅問題。相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度分析也在以上幾個(gè)情況下進(jìn)行。

在齒輪系統(tǒng)固有特性靈敏度分析中，Chen等［1］采用線性模型在純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式和平移扭轉(zhuǎn)耦合振動(dòng)模式下研究定軸齒輪固有頻率對(duì)嚙合剛度的靈敏度。Botman等［2－3］以單級(jí)行星排作為研究對(duì)象，用數(shù)值方法分析了固有頻率對(duì)行星和齒圈支承剛度的靈敏度；Lin等［4－5］則對(duì)單級(jí)行星排采用兩自由度模型用解析法研究其固有特性對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度。Guo等［6］以復(fù)合行星排為對(duì)象，將固有特性靈敏度的分析提升到系統(tǒng)級(jí)別，對(duì)調(diào)諧和失諧系統(tǒng)中固有特性對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行研究。

而齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)靈敏度的分析分別在線性和非線性的理論基礎(chǔ)上展開。以線性理論為基礎(chǔ)的響應(yīng)靈敏度分析中，張義民等［7］針對(duì)直接法和攝動(dòng)法進(jìn)行靈敏度分析產(chǎn)生長(zhǎng)期項(xiàng)的問題，通過對(duì)靈敏度方程的解耦并結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)有效消除了長(zhǎng)期項(xiàng)，給出了消除長(zhǎng)期項(xiàng)判斷法則。在車輛傳動(dòng)系統(tǒng)中，劉輝等［8］建立線性純扭轉(zhuǎn)集中質(zhì)量模型，用直接求導(dǎo)法推導(dǎo)了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振角位移和軸段附加扭振應(yīng)力對(duì)軸系剛度的靈敏度計(jì)算公式。黃毅等［9］在進(jìn)行線性系統(tǒng)響應(yīng)靈敏度分析時(shí)考慮平移與扭轉(zhuǎn)方向坐標(biāo)的耦合，并將靈敏度同振動(dòng)能量聯(lián)系起來。指出了靈敏度分析在平移耦合系統(tǒng)和純扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的不同。

除了線性建模之外，齒輪系統(tǒng)中還包含作為參數(shù)激勵(lì)的時(shí)變嚙合剛度、輪齒在制造和安裝過程中的位置偏離理想位置造成的周期性的位移激勵(lì)、齒側(cè)由于間隙的存在其嚙合線變形量和嚙合力為分段線性關(guān)系所表現(xiàn)出來的強(qiáng)非線性以及齒輪系統(tǒng)中各部件旋轉(zhuǎn)中心和質(zhì)量中心不重合造成的質(zhì)量偏心等非線性因素。而目前對(duì)車輛傳動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)靈敏度分析中，大多并未考慮上述各種非線性因素的影響。Zhao等［10］在蝸桿蝸輪嚙合的研究中加入了中心距誤差、軸角誤差以及蝸桿蝸輪軸向位置誤差的影響，用數(shù)值方法獲得蝸桿蝸輪嚙合力對(duì)以上因素的靈敏度。Athervale等［11］研究了系統(tǒng)振動(dòng)對(duì)制造和裝配過程中的誤差的靈敏度。Petrov［12］在研究汽輪機(jī)葉片動(dòng)力學(xué)特性時(shí)考慮了不同間隙的影響，推導(dǎo)了響應(yīng)頻率和共振情況下的響應(yīng)級(jí)對(duì)間隙的靈敏度。但以上并未對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)各種非線性因素進(jìn)行詳細(xì)的靈敏度分析。故對(duì)車輛傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行包含多種非線性因素的響應(yīng)靈敏度分析變得非常必要。

本文以某車輛傳動(dòng)系統(tǒng)樣機(jī)作為研究對(duì)象，采用發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)輸入，建立了平移扭轉(zhuǎn)耦合集中參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型。模型中考慮嚙合剛度的時(shí)變性、齒側(cè)間隙、輪齒在制造和安裝等過程中的誤差以及質(zhì)量偏心等非線性因素的影響，通過理論推導(dǎo)和數(shù)值求解獲得了動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度，并進(jìn)一步推導(dǎo)出有實(shí)際工程意義的物理量對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度、慣量以及輪齒誤差的相對(duì)靈敏度結(jié)果，為動(dòng)力學(xué)修改和動(dòng)態(tài)優(yōu)化等提供理論基礎(chǔ)。

1 響應(yīng)靈敏度方程的建立

前面提到文獻(xiàn)［9］中建立線性平移扭轉(zhuǎn)耦合系統(tǒng)基于響應(yīng)的靈敏度方程組。本文在此基礎(chǔ)上引入時(shí)變嚙合剛度、各點(diǎn)的質(zhì)量偏心、輪齒嚙合的綜合傳動(dòng)誤差和齒側(cè)間隙等非線性因素采用文獻(xiàn)［9］中的方法建立非線性系統(tǒng)基于響應(yīng)的靈敏度方程組（1）。

式（1）中x，y平動(dòng)位移坐標(biāo)，θ為扭轉(zhuǎn)位移坐標(biāo)；j為質(zhì)量點(diǎn)編號(hào)；c表示設(shè)計(jì)參數(shù)；Fa／Ta表示慣性力／力矩；Fb表示同一軸上各質(zhì)量點(diǎn)之間的相互作用力；Fe／Te表示質(zhì)量偏心力／力矩；Tt表示兩質(zhì)量點(diǎn)之間的扭轉(zhuǎn)力矩；Fn／Tn表示非軸上接觸力／力矩；?Fb／?c和?Tt／?c的表達(dá)式見文獻(xiàn)［9］，其它各量表達(dá)式如下面式（2）～式（6）所示。

式（2）中Fe／Te如式（2）以及Ta如式（3）中考慮了質(zhì)量偏心的影響，m為質(zhì)量，e為質(zhì)量偏心距，ψ為質(zhì)量偏心角，ω表示轉(zhuǎn)速。

不同部件承受的非軸上接觸力／力矩Fn和Tn對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)c的靈敏度?Fn／?c和?Tn／?c具有不同表達(dá)式，接下來以質(zhì)量點(diǎn)j為對(duì)象分別進(jìn)行說明。

（1）離合器

離合器有接合和斷開兩種狀態(tài)，斷開時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)c的靈敏度表達(dá)式為式（4）上式，結(jié)合時(shí)為下式。其中i（i≠j）表示與離合器接合的質(zhì)量點(diǎn)編號(hào)。

（2）軸承

軸承支反力／力矩Fn／Tn對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)c的靈敏度表達(dá)式如式（5）。

（3）齒輪

齒輪承受非軸上接觸力為輪齒的嚙合力，第k對(duì)齒輪嚙合主被動(dòng)齒輪之間的嚙合線方向的時(shí)變嚙合剛度kmk（t）隨時(shí)間變化取矩形波，時(shí)變阻尼cmk（t）與嚙合剛度相關(guān)按公式（7）進(jìn)行計(jì)算，考慮到傳動(dòng)誤差ek（t）以及齒側(cè)間隙f（Δk）的作用。其嚙合力對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)a的靈敏度表達(dá)式如式（6）。

式中αk為主被動(dòng)輪的位置角，βk為壓力角，R為基圓半徑，mp和mg為主被動(dòng)齒輪的等效質(zhì)量，ξ為齒輪嚙合的阻尼比。

采用多項(xiàng)式擬合的方式對(duì)分段間隙函數(shù)f（Δk）以及f（）進(jìn)行擬合，擬合式以及由其推導(dǎo)的靈敏度公式如式（8）和式（9）。其中h＝1，3，5，…，n，由于h隨著次數(shù)的增大精度提高有限并耗費(fèi)機(jī)時(shí)，當(dāng)h＝3時(shí)就能對(duì)分段曲線做很好的近似，擬合曲線的系數(shù)取值為：α1＝1．945×10－2，α3＝1．222×107。間隙函數(shù)采用分段線性函數(shù)時(shí)的曲線和多項(xiàng)式擬合時(shí)的曲線如圖1。

式（9）中嚙合線變化量及其對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)Δk和對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)c的靈敏度表達(dá)式如式（10）。

圖1 間隙分段函數(shù)曲線與擬合曲線Fig．1 The comparison between piecewise curve and fitting curve of backlash function of spur gear pair

k對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式如式（11）；ekpE和ekpA分別為第k對(duì)嚙合齒輪副主動(dòng)輪的制造和安裝誤差幅值，ωkp為其轉(zhuǎn)頻；ekgE和ekgA分別為第k對(duì)嚙合齒輪副被動(dòng)輪的制造和安裝誤差幅值，ωkg為其轉(zhuǎn)頻；ekpg為第k對(duì)嚙合齒輪副主被動(dòng)齒輪誤差干涉的的幅值，ωk為其嚙合頻率。

在進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，通常選取便于修改的變量進(jìn)行計(jì)算。本文以系統(tǒng)中質(zhì)量點(diǎn)j的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)為對(duì)象研究其對(duì)質(zhì)量點(diǎn)l的參數(shù)的靈敏度。質(zhì)量點(diǎn)l的參數(shù)選取單對(duì)齒輪副動(dòng)力學(xué)分析中的支承剛度kl、慣量Jl和傳動(dòng)誤差el以及系統(tǒng)級(jí)別中的扭轉(zhuǎn)剛度ktl－1，l進(jìn)行響應(yīng)靈敏度分析。

（1）動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)軸段扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度

此種情況的討論見文獻(xiàn)［9］。

（2）動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量靈敏度

當(dāng)c＝Jl（l≠j）時(shí)靈敏度表達(dá)式如式（2）～式（10）所示；當(dāng)c＝Jl（l＝j(luò)）時(shí)，以上其它式不變，式（3）變?yōu)槭剑?）。

（3）動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)傳動(dòng)誤差幅值靈敏度

計(jì)算動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)傳動(dòng)誤差幅值的靈敏度時(shí)表達(dá)式如式（2）～式（10）所示。c＝elpE當(dāng)l≠j的情況如式（13）上式所示；當(dāng)l＝j(luò)的情況如下式所示。

對(duì)于計(jì)算出的靈敏度結(jié)果，利用式（14）可以計(jì)算出相對(duì)靈敏度。其中φ和為質(zhì)量點(diǎn)j在i（i＝x，y或ij

θ）方向上動(dòng)力學(xué)響應(yīng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

其數(shù)值仿真流程圖如圖2所示，其中動(dòng)力學(xué)方程和靈敏度方程均采用定步長(zhǎng)的四階龍格庫(kù)塔進(jìn)行計(jì)算。

圖2 靈敏度結(jié)果計(jì)算流程圖Fig．2 The procedure flow chart of calculating sensitivity

2 系統(tǒng)參數(shù)

利用上述方法對(duì)某車輛傳動(dòng)系統(tǒng)樣機(jī)模型進(jìn)行響應(yīng)靈敏度分析。該樣機(jī)能實(shí)現(xiàn)8個(gè)前進(jìn)擋位和4個(gè)倒擋，CH、BL、BR、C1、C2、C3、C4為換擋離合器，本文進(jìn)行計(jì)算的工況為離合器BL和C4接合，其它離合器分離。另外系統(tǒng)還包括一個(gè)輸入慣量盤、兩個(gè)輸出慣量盤、11個(gè)軸承、7個(gè)離合器、4對(duì)定軸齒輪副和兩個(gè)簡(jiǎn)單行星排共計(jì)42個(gè)質(zhì)量點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)量點(diǎn)包括x，y和θ三個(gè)方向自由度共計(jì)126自由度。其動(dòng)力學(xué)模型圖如圖3所示，圖4為行星部分的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖。

圖3 某樣機(jī)平移－扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型Fig．3 Dynamic model of lateral－torsional coupling system

圖4 行星部分運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig．4 Kinematic sketch of planetary gear

圖3所示的傳動(dòng)系統(tǒng)采用發(fā)動(dòng)機(jī)從質(zhì)量點(diǎn)1處輸入，輸入轉(zhuǎn)矩如圖5所示。在質(zhì)量點(diǎn)32和42之間加入等值負(fù)載，其和等于輸入轉(zhuǎn)矩乘以該工況傳動(dòng)比。將分別計(jì)算8種轉(zhuǎn)速下的計(jì)算結(jié)果，輸入轉(zhuǎn)速?gòu)?800 r／min－4 200 r／min每200 r／min計(jì)算一組值。其中各軸段扭轉(zhuǎn)剛度和各質(zhì)量點(diǎn)的慣量如表1和表2所示。

圖5 發(fā)動(dòng)機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩Fig．5 The input torque of engine

表1 軸段扭轉(zhuǎn)剛度列表Tab.1 Torsional shaft stiffness of the example system shown in Fig.2

表2 慣量列表Tab.2 Moment of inertia of the example system shown in Fig.2

3 數(shù)值仿真結(jié)果與分析

由于系統(tǒng)中各參數(shù)值大小各異，對(duì)不同大小的參數(shù)研究相同大小的數(shù)值攝動(dòng)情況下靈敏度并無太大實(shí)際意義。在工程中往往更關(guān)心響應(yīng)變化量占響應(yīng)的百分比隨參數(shù)攝動(dòng)百分比的變化情況，這就是相對(duì)靈敏度。接下來將采用式（14）定義的相對(duì)靈敏度公式進(jìn)行響應(yīng)靈敏度分析。

3.1 軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各軸段扭轉(zhuǎn)剛度相對(duì)靈敏度

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)中振動(dòng)能量在動(dòng)能和彈性勢(shì)能之間轉(zhuǎn)化。各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度為彈性儲(chǔ)能元件，研究動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)其靈敏度有著重要的意義。圖6給出了從2 800 r／min到4 200 r／min共8種輸入轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)中四段軸的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)靈敏度結(jié)果。其中附加扭轉(zhuǎn)力矩的定義詳見文獻(xiàn)［9］。

圖6 各轉(zhuǎn)速下軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度相對(duì)靈敏度Fig．6 The relative sensitivity of additional torque of shaft segments with respect to shaft torsional stiffness in different speed

從圖6中可以看出軸段對(duì)各參數(shù)相對(duì)靈敏度結(jié)果隨轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生變化，并不是一個(gè)定值。對(duì)（b）圖中軸段21－22和（c）圖中軸段25－26而言，不同轉(zhuǎn)速下的各相對(duì)靈敏度數(shù)值在一定范圍內(nèi)變化，并沒有數(shù)量級(jí)差異的情況出現(xiàn)。而對(duì)于（a）圖中軸段1－2和（d）圖中的軸段32－33，都出現(xiàn)對(duì)自身以及鄰近扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)靈敏度數(shù)值明顯區(qū)別于其它值的情況。而軸段1－2和32－33分別為系統(tǒng)輸入輸出端，41－42同為雙輸出端之一但卻沒有出現(xiàn)對(duì)自身扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)靈敏度較大的情況。從表1中可以看出軸段1－2 和32－33對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)剛度kt1－2和kt32－33數(shù)值較小而kt41－42數(shù)值較大，這說明在輸入輸出端附近較小的扭轉(zhuǎn)剛度是造成本身附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)其相對(duì)靈敏度較大的原因。結(jié)合靠近該兩軸段的其它軸段的相對(duì)靈敏度結(jié)果發(fā)現(xiàn)kt1－2和kt32－33對(duì)鄰近幾個(gè)軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩的影響都較大，特別是在三軸上各軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)kt32－33和kt33－35的相對(duì)靈敏度都較大。

圖7 各轉(zhuǎn)速下軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各點(diǎn)慣量相對(duì)靈敏度Fig．7 The relative sensitivity of additional torque of shaft segments with respect to inertia of mass points in different speed

而不同軸段的相對(duì)靈敏度數(shù)值進(jìn)行比較時(shí)，從圖6各圖可以看出軸段21－22的相對(duì)靈敏度數(shù)值比其它軸段大。雖然其它參數(shù)的變化造成軸段21－22附加扭轉(zhuǎn)力矩以及振動(dòng)能量變化數(shù)值較小，但由于該軸段不在動(dòng)力的傳動(dòng)路線上其本身振動(dòng)能量較小，變化部分占原值百分比較大，于是造成了該軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度相對(duì)靈敏度較大。

結(jié)合上面的分析可以知道，非線性系統(tǒng)中響應(yīng)靈敏度數(shù)值隨著轉(zhuǎn)速的變化而變化。由于系統(tǒng)是一個(gè)整體，系統(tǒng)中任何一個(gè)扭轉(zhuǎn)剛度發(fā)生變化時(shí)各軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩也隨之發(fā)生變化，在部分軸段中對(duì)各扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)靈敏度在一個(gè)數(shù)量級(jí)上并沒有出現(xiàn)比其它相對(duì)靈敏度大很多的靈敏度。輸入輸出端附近有較小扭轉(zhuǎn)剛度時(shí)容易出現(xiàn)該軸段及附近軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)其有較大相對(duì)靈敏度；而較小扭轉(zhuǎn)剛度出現(xiàn)在系統(tǒng)中部時(shí)卻不一定出現(xiàn)其所在軸段以及鄰近軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)其較大相對(duì)靈敏度數(shù)值的出現(xiàn)。不在動(dòng)力傳動(dòng)路線上的軸段由于本身振動(dòng)能量以及幅值較小，造成其附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)其他扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)靈敏度數(shù)值較大。

3.2 軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各點(diǎn)慣量相對(duì)靈敏度

與扭轉(zhuǎn)剛度作為彈性儲(chǔ)能元件不同，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)中各質(zhì)量點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是振動(dòng)能量的直接體現(xiàn)，動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行靈敏度分析時(shí)對(duì)各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的靈敏度分析也是有實(shí)際意義的。圖7中給出了各轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)中四段軸的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各質(zhì)量點(diǎn)慣量的相對(duì)靈敏度結(jié)果。

從圖7中可以看出軸段對(duì)各點(diǎn)慣量的相對(duì)靈敏度結(jié)果隨轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生變化，并不是一個(gè)定值。對(duì)（a）圖中軸段1－2、（b）圖中軸段21－22和（c）圖中軸段25－26而言，不同轉(zhuǎn)速下的各相對(duì)靈敏度數(shù)值在一定范圍內(nèi)變化，并沒有數(shù)量級(jí)差異的情況出現(xiàn)。而（b）圖中軸段21－22的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)質(zhì)量點(diǎn)22慣量的相對(duì)靈敏度在各轉(zhuǎn)速下都為正值，相同的情況也發(fā)生在軸段29－31的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)質(zhì)量點(diǎn)31的相對(duì)靈敏度中。從圖3可以看出質(zhì)量點(diǎn)22和31分別為一軸左側(cè)軸承和二軸右側(cè)軸承且都不在動(dòng)力的傳動(dòng)路線上，這說明為減小不在傳遞路線上的軸段振動(dòng)能量和幅值應(yīng)減小該軸段以及相關(guān)部件（如本文中質(zhì)量點(diǎn)22 和31為軸承）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)（d）圖中軸段32－33的結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)其附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)大部分質(zhì)量點(diǎn)慣量的相對(duì)靈敏度都在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，但對(duì)J32、J29和J35的相對(duì)靈敏度較大。根據(jù)表2中各點(diǎn)慣量和表1中各扭轉(zhuǎn)剛度的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)點(diǎn)為慣量較大的質(zhì)量點(diǎn)且kt32－33和kt33－35較小，故可以認(rèn)為軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)質(zhì)量點(diǎn)慣量相對(duì)靈敏度較大是由較大的質(zhì)量點(diǎn)和較小的扭轉(zhuǎn)剛度共同作用形成。J32、J29和J35這幾個(gè)慣量除了對(duì)軸段32－33和33－35的附加扭轉(zhuǎn)力矩影響較大之外，對(duì)三軸上各軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩影響也叫其它慣量大。相同的情況也發(fā)生在二軸上，由于kt25－26較小且J26較大，在動(dòng)力傳遞路線上各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)J26相對(duì)靈敏度大于對(duì)其它慣量。

而不同軸段的相對(duì)靈敏度數(shù)值進(jìn)行比較時(shí)，情況和上一節(jié)對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的相對(duì)靈敏度分析類似，不在傳遞路線上的軸段21－22的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各點(diǎn)慣量的相對(duì)靈敏度數(shù)值大于在傳遞路線上軸段對(duì)相同慣量的相對(duì)靈敏度。

根據(jù)上面的分析知道大部分軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各點(diǎn)慣量的相對(duì)靈敏度在一個(gè)數(shù)量級(jí)上并隨轉(zhuǎn)速變化而變化，并且由于系統(tǒng)是一個(gè)整體，各部分之間互相影響造成同一軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)不同慣量的相對(duì)靈敏度有正有負(fù)，并且即使同一相對(duì)靈敏度在不同轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)正值和負(fù)值都有可能。一個(gè)例外的情況出現(xiàn)于不在動(dòng)力傳遞路線上軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)同樣不在傳遞路線上的慣量的靈敏度始終是正值，這說明為減小該軸段的振動(dòng)能量和幅值應(yīng)減小相關(guān)的不在傳遞路線上部件的慣量。較大的相對(duì)靈敏度出現(xiàn)在附近扭轉(zhuǎn)剛度較小且本身數(shù)值較大的慣量上，這種慣量對(duì)鄰近且在動(dòng)力傳遞路線上各軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩影響都較大。

3.3 軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)各齒輪副傳動(dòng)誤差相對(duì)靈敏度

除了前面討論的扭轉(zhuǎn)剛度和慣量，研究動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)輪齒嚙合本身相關(guān)參數(shù)的相對(duì)靈敏度對(duì)系統(tǒng)減振的修改和優(yōu)化有著更為直接的意義。圖8中給出了各轉(zhuǎn)速下四段軸的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)系統(tǒng)中各齒輪副傳動(dòng)誤差幅值的相對(duì)靈敏度。

通過對(duì)圖3所示系統(tǒng)中各軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)傳動(dòng)誤差幅值的相對(duì)靈敏度圖比較可以發(fā)現(xiàn)相對(duì)靈敏度圖可以有五種形狀結(jié)構(gòu)。輸入端所在軸段1－2、2－3 和3－4相對(duì)靈敏度圖結(jié)構(gòu)形狀相同，如圖8中（a）圖所示；左輸出端附近的軸段32－33和33－35的相對(duì)靈敏度圖有相同結(jié)構(gòu)形狀，如（d）圖所示；而右輸出端附近軸段40－41和41－42由于扭轉(zhuǎn)剛度比左輸出端軸段大，其相對(duì)靈敏度圖的結(jié)構(gòu)與（d）圖并不相同；還有就是不在動(dòng)力傳遞路線上的軸段21－22、23－24和29 －31由于本身振動(dòng)能量較小，具有較大的相對(duì)靈敏度數(shù)值且各點(diǎn)分布比較均勻，這說明各齒輪副誤差對(duì)不在傳遞路線上軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩的影響比較接近；剩下的就是在傳遞路線上且不在系統(tǒng)輸入輸出端的軸段4－s1、s1－s2、c2－20、20－21、24－25、25－26、26－27、27－29、35－37、37－38、38－39和39－40，這12段軸的相對(duì)靈敏度圖有相同結(jié)構(gòu)形狀，如（c）圖所示。

圖8 各轉(zhuǎn)速下軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)傳動(dòng)誤差幅值相對(duì)靈敏度Fig．8 The relative sensitivity of additional torque of shaft segments with respect to transmission error in different speed

對(duì)圖8中各圖進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)傳力齒輪副誤差的靈敏度不一定大于空轉(zhuǎn)齒輪，在部分軸段上甚至小于對(duì)空轉(zhuǎn)齒輪傳動(dòng)誤差的相對(duì)靈敏度。而且隨著轉(zhuǎn)速的變化靈敏度數(shù)值有正有負(fù)，因此并不能簡(jiǎn)單的通過增加或減小齒輪精度的方法來達(dá)到減小軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩的目的。

3.4 軸承支反力對(duì)各齒輪副傳動(dòng)誤差相對(duì)靈敏度

除了扭轉(zhuǎn)方向上的附加扭轉(zhuǎn)力矩，彎曲方向上的力對(duì)于齒輪箱的減振設(shè)計(jì)同樣重要。其中，軸承支反力的大小直接決定了軸承座和箱體振動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性。圖9給出了各轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)中4處軸承支反力對(duì)各齒輪傳遞誤差的相對(duì)靈敏度結(jié)果。

對(duì)系統(tǒng)中各軸承支反力對(duì)傳動(dòng)誤差幅值的相對(duì)靈敏度圖比較可以發(fā)現(xiàn)相對(duì)靈敏度圖可以有五種形狀結(jié)構(gòu)。軸承1和軸承2的相對(duì)靈敏度結(jié)果圖雖然數(shù)值不同但有類似的結(jié)構(gòu)形狀見圖9（a）圖所示，軸承2由于所受支反力較小，因此有較大的相對(duì)靈敏度數(shù)值，原因可以參見3．1節(jié)中對(duì)軸段21－22相對(duì)靈敏度的分析；軸承3、軸承4、軸承5、軸承7、軸承10和軸承11相對(duì)靈敏度結(jié)果圖有類似的形狀結(jié)構(gòu)如（b）圖所示，從圖3中可以發(fā)現(xiàn)這6組軸承位于系統(tǒng)中定軸部分傳力齒輪的兩側(cè)承受著較大的支反力；軸承8（（d）圖）和軸承9位于三軸左側(cè)輸出端，它們相對(duì)靈敏度圖的結(jié)構(gòu)并不相同但有著較大的相對(duì)靈敏度，這說明三軸上大部分軸承支反力都由右側(cè)的軸承10和11來承擔(dān)；另外一個(gè)承擔(dān)較大支反力的軸承是軸承6，其位于整個(gè)系統(tǒng)的中部，雖然承受較大的支反力但和其它6個(gè)位于傳力齒輪兩側(cè)的軸承的結(jié)果圖并不相同。

圖9 各轉(zhuǎn)速下軸承支反力對(duì)傳動(dòng)誤差幅值相對(duì)靈敏度Fig．9 The relative sensitivity of support force of bearing with respect to transmission error in different speed

從上面的分析可以看出，軸承支反力對(duì)各傳動(dòng)誤差的相對(duì)靈敏度圖形結(jié)構(gòu)同軸承在系統(tǒng)中的位置以及所受支反力的大小有關(guān)；另外根據(jù)相對(duì)靈敏度數(shù)值的大小也可以得出該軸承受力的大小情況，通常受力大的軸承相對(duì)靈敏度較小，受力小的軸承則反之；非線性系統(tǒng)中是否傳力齒輪的傳動(dòng)誤差對(duì)軸承支反力的影響并沒有簡(jiǎn)單單一的規(guī)律，不能簡(jiǎn)單的給出定性的結(jié)論。

4 結(jié) 論

本文研究了包含時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、質(zhì)量偏心和輪齒嚙合誤差等非線性因素的齒輪系統(tǒng)的響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度，并將其轉(zhuǎn)化為工程中有實(shí)際意義物理量對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的相對(duì)靈敏度結(jié)果，結(jié)論如下：

（1）非線性系統(tǒng)中響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度結(jié)果與轉(zhuǎn)速相關(guān)、所處位置以及響應(yīng)本身相關(guān)，相同類型的力矩／力有著類似的相對(duì)靈敏度圖形結(jié)構(gòu)，較大的響應(yīng)對(duì)應(yīng)著較大的響應(yīng)靈敏度；

（2）不在動(dòng)力傳遞路線上軸段的附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)同樣不在傳遞路線上的慣量的靈敏度始終是正值，這表明為減小該軸段的振動(dòng)能量和幅值應(yīng)盡可能減小與其相鄰且不在傳遞路線上的慣量；

（3）較大的慣量以及鄰近軸段較小的扭轉(zhuǎn)剛度是造成軸段附加扭轉(zhuǎn)力矩對(duì)慣量相對(duì)靈敏度數(shù)值較大的原因。

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Response sensitivity of nonlinear translation-torsional vibration coupled model of a vehicle transmission system

HUANG Yi1，LIU Hui1，2，XIANG Chang-le1，2，YANG Zhi-gang1
（1．Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2．Vehicle Research Center，Beijing 100081，China）

With increase in requirements of dynamic quality of a transmission system，only the eigensensitivities analysis can not meet the requirements of dynamic characteristics of a vehicle transmission system．It's needed to do response sensitivity study to find a guideline to reduce vibration of a vehicle transmission system in designing stage．Here，the sensitivities of dynamic response with respect to design parameters such as，shaft torsional stiffness，moment of inertia，and transmission errors of gear pairs，et al．were investigated．The translation-torsional coupled dynamic model of a vehicle transmission system taking engine excitation as an input source was built up with the lumped parameter method．The sensitivity equations were derived from dynamic equations containing nonlinear terms，such as，time-varying mesh stiffness，backlash of gear pairs，mass eccentricity，transmission error et al．The relative sensitivities of dynamic response with respect to design parameters then turned into relative sensitivities of force／torque with respect to design parameters were acquired with the numerical simulation method．The results of the relative response sensitivities provided a theoretical basis for parameter modification，model updating and parameter optimization of vehicle transmission systems based on their dynamic responses．

vehicle transmission system；lumped parameter method；translation-torsional vibration coupled；nonlinear；response sensitivity

U461．1

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．017

國(guó)家自然科學(xué)基金（51375047）；教育部新世紀(jì)人才支持計(jì)劃（NCET－12－0043）

2014－01－28 修改稿收到日期：2014－07－29

黃毅男，博士生，1982年生

劉輝女，教授，博士生導(dǎo)師，1975年生