內(nèi)生時(shí)機(jī)下多階段R&D博弈的均衡行動(dòng)順序

楊曉花，夏火松，谷 偉，陳文磊

內(nèi)生時(shí)機(jī)下多階段R&D博弈的均衡行動(dòng)順序

楊曉花1，夏火松1，谷 偉2，陳文磊3

基于內(nèi)生時(shí)機(jī)的博弈理論，研究了內(nèi)生的R&D時(shí)機(jī)下雙寡頭企業(yè)先進(jìn)行R&D活動(dòng)后進(jìn)行產(chǎn)品市場價(jià)格競爭的多階段動(dòng)態(tài)博弈的均衡R&D順序，其中產(chǎn)品市場上的需求函數(shù)是線性的且企業(yè)在產(chǎn)品市場上的行動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的。運(yùn)用逆向歸納法研究表明均衡R&D順序只由企業(yè)的R&D外溢水平?jīng)Q定：若兩企業(yè)的外溢水平都較低（較高），則均衡R&D順序?yàn)閮善髽I(yè)同時(shí)行動(dòng)（分別以兩企業(yè)為領(lǐng)頭者的序貫行動(dòng)）；若一個(gè)企業(yè)的外溢水平較低而另一企業(yè)的外溢水平較高，則均衡R&D順序?yàn)橐缘屯庖缢降钠髽I(yè)為領(lǐng)頭者的序貫行動(dòng)。在序貫R&D時(shí)兩企業(yè)的R&D總水平、社會(huì)總福利水平及產(chǎn)品市場產(chǎn)量（價(jià)格）都高于（低于）同時(shí)R&D時(shí)的情形。

內(nèi)生時(shí)機(jī)；R&D；外溢；均衡

1 引言

寡頭企業(yè)策略性R&D競爭往往是一個(gè)既包括R&D策略又包括產(chǎn)品市場策略的多階段博弈問題。在這種博弈中企業(yè)往往先進(jìn)行R&D競爭后在產(chǎn)品市場進(jìn)行競爭，由于企業(yè)R&D的目的是為了產(chǎn)品市場上獲得更大的收益，同時(shí)由于產(chǎn)品市場上的策略又影響企業(yè)的R&D決策，因此其均衡結(jié)果往往不同于單一產(chǎn)品市場競爭或單一R&D競爭時(shí)的均衡。

對這種企業(yè)間先進(jìn)行R&D競爭后在產(chǎn)品市場競爭的博弈已有研究主要是從兩個(gè)大的方面進(jìn)行的：第一方面主要研究不同的R&D組織形式或外溢形式對均衡R&D水平及企業(yè)收益的影響。這一類研究基本以d'Aspremont［1］的研究為基礎(chǔ)。d' Aspremont［1］研究了兩企業(yè)首先同時(shí)合作或非合作的選擇R&D投入，然后在產(chǎn)品市場上進(jìn)行Cournot競爭的兩階段動(dòng)態(tài)博弈模型，比較了在兩種情況下均衡的相對技術(shù)改進(jìn)量及產(chǎn)品產(chǎn)量，并把它和兩階段都完全壟斷的情況做了比較。Kamien等［2］對d' Aspremont［1］的研究進(jìn)行了擴(kuò)展與推廣：將競爭的企業(yè)由兩個(gè)推廣到n個(gè)；R&D進(jìn)行的方式推廣到完全競爭、R&D卡特爾、合資研究中心及合資卡特爾。孫樹磊［3］則放松了d'Aspremont［1］對模型的對稱性假設(shè)，研究了不同的R&D形式下企業(yè)的均衡行為。Kamien等［4］還研究了既存在R&D競爭又存在產(chǎn)品市場競爭的多階段博弈中R&D方法和R&D預(yù)算對企業(yè)的吸收能力的影響。方海燕和達(dá)慶利［5］研究了這類博弈中不同R&D形式下的市場績效。方海燕和達(dá)慶利［6］還研究了同時(shí)存在政府R&D補(bǔ)貼時(shí)這類多階段博弈中，企業(yè)采用不同R&D形式時(shí)政府的最優(yōu)補(bǔ)貼率。Amir［7］在d' Aspremont［1］的模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用超模博弈的方法，考察了當(dāng)外溢只由R&D產(chǎn)出較高的企業(yè)溢向R&D產(chǎn)出較低的企業(yè)，而產(chǎn)品市場上的競爭為一般情形時(shí)的兩階段雙寡頭博弈情形。Amir等［8-9］討論了內(nèi)生外溢時(shí)（即技術(shù)外溢率由企業(yè)內(nèi)部決定）不同形式的R&D合作下的最優(yōu)R&D績效。劉衛(wèi)民［10］研究了內(nèi)生外溢下政府對研發(fā)合作的激勵(lì)問題。張春輝和陳繼祥［11］則在有限理性的假設(shè)下研究了這種多階段博弈中內(nèi)生溢出和R&D投入對創(chuàng)新模式的影響。候光明［12］比較了混合外溢時(shí)（即外生外溢和內(nèi)生外溢時(shí)）合作與非合作R&D的均衡。

第二方面則主要研究產(chǎn)品市場上為不同競爭形式時(shí)整個(gè)博弈均衡的差異性。這一方面的研究以Qiu［13］為基礎(chǔ)。Qiu［13］比較了企業(yè)先進(jìn)行完全競爭的過程R&D活動(dòng)后在產(chǎn)品市場上競爭的兩階段博弈中當(dāng)產(chǎn)品市場分別為價(jià)格和產(chǎn)量競爭時(shí)博弈的均衡。Symeonidis［14］研究了類似的兩階段博弈中當(dāng)企業(yè)的R&D活動(dòng)為產(chǎn)品R&D時(shí)產(chǎn)品市場為兩種不同競爭形式時(shí)均衡的差異性。Lin Ping等［15］研究了差異產(chǎn)品時(shí)過程R&D和產(chǎn)品市場競爭并存時(shí)產(chǎn)品市場不同競爭形式時(shí)的均衡。另外Leahy和Neary［16-17］則分別研究了在策略性外貿(mào)活動(dòng)中，政府對先進(jìn)行R&D活動(dòng)后在產(chǎn)品市場上和國外企業(yè)競爭的企業(yè)的最優(yōu)補(bǔ)貼政策和產(chǎn)業(yè)政策。這一類已有研究中為了對兩種不同競爭形式下的比較有具體結(jié)果往往假定企業(yè)的外溢水平是相同的，且企業(yè)的R&D成本函數(shù)多為給定的二次成本函數(shù)。這一類研究的實(shí)質(zhì)是考察在存在R&D競爭的動(dòng)態(tài)環(huán)境中價(jià)格與產(chǎn)量兩種競爭形式的相對效率。研究結(jié)果表明產(chǎn)品市場上不同的競爭形式對R&D活動(dòng)的影響是不同的。同時(shí)這一類對既存在R&D又存在產(chǎn)品市場競爭的多階段博弈的已有研究中基本都假定企業(yè)的R&D活動(dòng)及產(chǎn)品市場競爭分別是在兩階段內(nèi)同時(shí)進(jìn)行的，即R&D階段和產(chǎn)品市場競爭階段每階段內(nèi)企業(yè)的行動(dòng)順序均為外生給定的同時(shí)行動(dòng)。Amir［18］比較了R&D階段外生序貫行動(dòng)和同時(shí)行動(dòng)時(shí)的均衡，但Amir的研究中產(chǎn)品市場為單一的產(chǎn)量競爭。

博弈中行動(dòng)順序外生給定這一假設(shè)一直以來廣受學(xué)者們的置疑。Hamilton和Slutsky［19］指出博弈中參與人的行動(dòng)順序本身是理性參與人博弈的結(jié)果，即博弈中參與人的行動(dòng)順序本身應(yīng)由參與人內(nèi)生決定，并給出兩種具體確定參與人博弈順序的規(guī)則——可觀測延遲和行動(dòng)承諾。在Hamilton和Slutsky［20-23］的研究的基礎(chǔ)上，學(xué)者們對內(nèi)生時(shí)機(jī)下傳統(tǒng)價(jià)格和產(chǎn)量競爭中的均衡行動(dòng)順序進(jìn)行了廣泛研究。這些研究中企業(yè)只進(jìn)行單一的產(chǎn)品市場競爭，而不存在其它方面競爭。

正如內(nèi)生時(shí)機(jī)觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的，企業(yè)對行動(dòng)時(shí)機(jī)的選擇往往是由其利益決定的，在企業(yè)既存在R&D競爭又存在產(chǎn)品市場競爭的博弈中，不同企業(yè)的R&D活動(dòng)往往并非同時(shí)進(jìn)行，有些企業(yè)傾向于在R&D活動(dòng)中先發(fā)制人，而有些企業(yè)則傾向于先觀測別人的行動(dòng)后根據(jù)別人的行動(dòng)采取行動(dòng)。在已有研究的基礎(chǔ)上，本文在非對稱外溢及一般的R&D成本函數(shù)下，考察了既存在R&D活動(dòng)又存在產(chǎn)品市場競爭的多階段雙寡頭博弈中當(dāng)企業(yè)的R&D活動(dòng)順序由企業(yè)按可觀測延遲的規(guī)則內(nèi)生決定，且產(chǎn)品市場競爭為Bertrand競爭時(shí)的均衡行動(dòng)順序。

2 可觀測延遲的內(nèi)生時(shí)機(jī)規(guī)則

由于博弈中參與人的行動(dòng)時(shí)機(jī)也由參與人內(nèi)生確定的這一觀點(diǎn)更符合非合作博弈中“理性參與人以最大化自己的收益為目的”的這一基本假設(shè)。本文研究可觀測延遲的內(nèi)生R&D時(shí)機(jī)下既存在R&D競爭又存在產(chǎn)品市場競爭的多階段博弈的均衡，為此首先簡單介紹Hamilton和Slutsky［20-23］給出的可觀測延遲的內(nèi)生時(shí)機(jī)規(guī)則。

在對內(nèi)生時(shí)機(jī)博弈的研究中，通常稱對應(yīng)的外生時(shí)機(jī)博弈為基本博弈。按這種稱呼任何一個(gè)兩人博弈的基本博弈實(shí)質(zhì)上包含三個(gè)博弈，一個(gè)同時(shí)行動(dòng)博弈和兩個(gè)序貫行動(dòng)博弈，如在價(jià)格競爭中基本博弈實(shí)質(zhì)表示同時(shí)行動(dòng)的價(jià)格競爭和分別以兩個(gè)參與人為領(lǐng)頭者的序貫博弈?？捎^測延遲的內(nèi)生時(shí)機(jī)博弈規(guī)定在基本博弈之前參與人先就基本博弈中的行動(dòng)順序進(jìn)行博弈——同時(shí)選擇在基本博弈中的行動(dòng)階段。參與人同時(shí)選擇行動(dòng)順序的這個(gè)階段稱為基本博弈的擴(kuò)展的階段。在擴(kuò)展的階段如果兩參與人都選擇在基本博弈中先動(dòng)（或后動(dòng)），則基本博弈中的行動(dòng)順序?yàn)閮蓞⑴c人同時(shí)行動(dòng)；如果兩參與人分別選擇在基本博弈中先動(dòng)和后動(dòng)，則基本博弈中的行動(dòng)順序?yàn)樾蜇炐袆?dòng)，且行動(dòng)順序按參與人在擴(kuò)展階段中所選擇的行動(dòng)順序進(jìn)行。按這種內(nèi)生時(shí)機(jī)機(jī)制任何一個(gè)基本博弈都可擴(kuò)展為兩個(gè)大的階段——參與人關(guān)于行動(dòng)順序選擇的擴(kuò)展階段和基本博弈階段。在基本博弈之前參與人在擴(kuò)展的階段中的選擇為所有參與人觀測到，且若在擴(kuò)展的階段參與人選擇在基本博弈中進(jìn)行序貫行動(dòng)，則在基本博弈中后行動(dòng)者可觀測到先行動(dòng)者的行動(dòng)。因此整個(gè)擴(kuò)展的博弈為一個(gè)完全信息的動(dòng)態(tài)博弈，其均衡概念為子博弈精煉Nash均衡。本文只考慮純策略均衡，而不考慮混合策略均衡。整個(gè)博弈的任何一個(gè)子博弈精煉Nash都對應(yīng)著基本博弈中的一個(gè)行動(dòng)順序，該行動(dòng)順序即為內(nèi)生行動(dòng)機(jī)制下博弈的均衡行動(dòng)順序。

若記同時(shí)行動(dòng)的基本博弈中參與人i的均衡（Nash均衡）支付為，而序貫行動(dòng)的基本博弈中參與人i作為領(lǐng)頭者和尾隨者時(shí)的均衡支付（子博弈精煉均衡）分別為和。由于整個(gè)包含內(nèi)生時(shí)機(jī)的擴(kuò)展的博弈為完全信息的動(dòng)態(tài)博弈，采用逆向歸納法，給定參與人在基本博弈中的支付由其均衡支付代替，參與人在擴(kuò)展的階段關(guān)于行動(dòng)順序的選擇可簡化為如下的2×2博弈：

圖1 參與人關(guān)于行動(dòng)順序選擇的博弈

其中E表示在基本博弈中先動(dòng)，而L表示在基本博弈中后動(dòng)。

下面介紹上述內(nèi)生時(shí)機(jī)規(guī)則下企業(yè)先進(jìn)行R&D競爭后進(jìn)行產(chǎn)品市場價(jià)格競爭的博弈（后面簡記為R&D/Bertrand競爭）的基本模型及假設(shè)。

3 基本模型及假設(shè)

在R&D/Bertrand競爭的多階段博弈中，很多因素都可能影響內(nèi)生R&D時(shí)機(jī)下的均衡，如R&D活動(dòng)的組織形式、R&D的功能、外溢的水平、R&D成本函數(shù)、產(chǎn)品市場上的競爭形式、產(chǎn)品市場上的需求及成本函數(shù)等。本節(jié)討論的R&D/Bertrand競爭博弈中假設(shè)企業(yè)在第一階段的R&D活動(dòng)是完全競爭的，R&D活動(dòng)以確定的形式減少企業(yè)的單位生產(chǎn)成本；企業(yè)在產(chǎn)品市場上的競爭是同時(shí)進(jìn)行的，且代表性消費(fèi)者的效用函數(shù)為：

其中qi為企業(yè)i的產(chǎn)量（i=1，2），b∈（0，1）為產(chǎn)品的差異程度。

在此效用函數(shù)下市場逆需求函數(shù)為：

其中i，j=1，2，i≠j，a為初始需求，且a＞c。

在（1）式給出的逆需求函數(shù)下市場的需求函數(shù)為：

另外不同于以往的研究本章的研究中企業(yè)的外溢水平是不同的，且企業(yè)的R&D順序由企業(yè)內(nèi)生確定。假設(shè)企業(yè)i的初始單位生產(chǎn)成本相同都為c，R&D活動(dòng)以確定的形式減少單位生產(chǎn)成本c，R&D成本函數(shù)為：

fi（·）：［0，∞］→［0，c］，其中i=1，2；

假設(shè)兩企業(yè)的外溢水平分別為β1和β2，βi∈［0，1］，βi=0表示R&D為完全專用的，而βi=1表示R&D為完全公用品。在以上假設(shè)下若企業(yè)i的 R&D投入為fi（xi），則其有效的單位成本減少量為：

xi+βjxj，i，j=1，2，i≠j

其中xi為自身的R&D投入帶來的單位成本減少量，而βjxj為對手R&D投入的外溢帶來的單位成本減少量。

值得說明的是，這里即使企業(yè)內(nèi)生選擇在R&D階段序貫行動(dòng)，仍然假設(shè)外溢是雙向的，這是因?yàn)橥庖绮粌H體現(xiàn)了企業(yè)自身的保密程度，更體現(xiàn)了企業(yè)在R&D活動(dòng)上的交叉學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，當(dāng)企業(yè)序貫R&D時(shí)，這種雙向外溢可以理解為企業(yè)先進(jìn)行R&D決策，當(dāng)兩企業(yè)的R&D決策都確定后實(shí)際的R&D活動(dòng)才會(huì)發(fā)生。

在內(nèi)生的R&D順序下企業(yè)之間的R&D/Bertrand競爭博弈分為三個(gè)大的階段。首先，在第一階段企業(yè)內(nèi)生確定R&D階段的行動(dòng)順序，其內(nèi)生確定R&D順序的行動(dòng)規(guī)則為第2節(jié)中所介紹的可觀測延遲的內(nèi)生時(shí)機(jī)。其次，在第二階段，觀測到內(nèi)生確定的R&D階段的行動(dòng)順序，企業(yè)按這種行動(dòng)順序進(jìn)行R&D投資。事實(shí)上，若企業(yè)內(nèi)生確定在R&D階段序貫行動(dòng)，該階段便包括兩個(gè)R&D階段（從而整個(gè)博弈為一個(gè)四階段博弈）。最后，在第三階段，觀測到關(guān)于行動(dòng)順序和具體R&D支出水平的決策后，企業(yè)在產(chǎn)品市場上同時(shí)進(jìn)行價(jià)格競爭。由于企業(yè)在每階段行動(dòng)時(shí)可以觀測到之前階段的所有行動(dòng)，給定企業(yè)在R&D階段的行動(dòng)順序確定，若企業(yè)i在R&D階段的投入為fi（xi），則產(chǎn)品市場價(jià)格競爭時(shí)企業(yè)的策略為pi（xi，xj）。整個(gè)博弈為完美信息的動(dòng)態(tài)博弈，其均衡為子博弈精煉Nash均衡。

在上述內(nèi)生時(shí)機(jī)下，所有可能的均衡對應(yīng)于R&D階段的三種不同的行動(dòng)順序，分別為同時(shí)行動(dòng)和兩種領(lǐng)頭者-尾隨者式的序貫行動(dòng)。記企業(yè)在R&D階段選擇同時(shí)行動(dòng)時(shí)所對應(yīng)的后續(xù)基本兩階段博弈為G；而在R&D階段選擇以i為領(lǐng)頭者的序貫行動(dòng)時(shí)所對應(yīng)的后續(xù)基本博弈為Gi，i=1，2，Gi是一個(gè)包含序貫R&D和產(chǎn)品市場價(jià)格競爭的三階段博弈。記博弈G中兩企業(yè)的均衡R&D水平為（，），產(chǎn)品市場上的均衡價(jià)格為（，）。同時(shí)記博弈Gi中兩企業(yè)的均衡R&D水平為（，），產(chǎn)品市場的均衡價(jià)格為（，）。其中N表示Nash，而L和F分別表示領(lǐng)頭者（leader）和尾隨者（follower）。值得說明的是即使企業(yè)選擇在R&D階段同時(shí)行動(dòng)，整個(gè)包含內(nèi)生時(shí)機(jī)的博弈仍然是一個(gè)三階段的動(dòng)態(tài)博弈，其解仍然是子博弈精煉均衡，因此這里的上標(biāo)只是對應(yīng)于R&D階段的情形。

由上述關(guān)于基本模型的介紹，給定企業(yè)在R&D階段的行動(dòng)順序確定，若企業(yè)i在R&D階段的投入為fi（xi），其中xi∈［0，c］，在產(chǎn)品市場上的價(jià)格為pi，則企業(yè)i在產(chǎn)品市場競爭時(shí)面臨的收益函數(shù)為：

由于企業(yè)在產(chǎn)品市場上行動(dòng)時(shí)可以完全觀測到之前階段的所有行動(dòng)且產(chǎn)品市場上企業(yè)是同時(shí)行動(dòng)的，運(yùn)用逆向歸納法及一階條件=0，企業(yè)i在產(chǎn)品市場上的定價(jià)策略pi（xi，xj）為：

若內(nèi)生時(shí)機(jī)結(jié)果確定企業(yè)在R&D階段進(jìn)行以i為領(lǐng)頭者的序貫R&D，即參與人之間進(jìn)行基本博弈Gi，則顯然由（4）式此時(shí)參與人j在R&D階段的反應(yīng)函數(shù)rj：［0，c］→［0，c］由

因此若內(nèi)生時(shí)機(jī)結(jié)果確定兩企業(yè)在R&D階段同時(shí)行動(dòng)，即參與人之間進(jìn)行基本博弈G，則企業(yè)i在R&D階段的收益函數(shù)為：

下面為分析內(nèi)生時(shí)機(jī)下的均衡行動(dòng)順序，給出如下基本假設(shè)：

假設(shè)1：fi（·）為嚴(yán)格遞增的二次連續(xù)可微函數(shù)，且fi（0）=0；

假設(shè)2：a（2-b-b2）-c（2-b2）（1-βi）＞0；

因此此時(shí)參與人i在R&D階段的收益函數(shù)為：確定，具體的

假設(shè)4：對于?x∈［0，c］，fi″（x）＞。

下面逐一對以上假設(shè)進(jìn)行說明。假設(shè)1是平凡的。假設(shè)2其實(shí)只有在βi（2-b2）-b＜0時(shí)才是必要的，它要求初始需求足夠大，是為了保證在產(chǎn)品市場上所有企業(yè)都會(huì)進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品市場上的內(nèi)點(diǎn)解存在。事實(shí)上由（2）及（3）式企業(yè)i在產(chǎn)品市場上的產(chǎn)量為：

qi（xi，xj）=［（a-c）（2-b-b2）+（2-b2-bβi）xi+（βj（2-b2）-b）xj］/［（1-b2）（4-b2）］

顯然qi（xi，xj）關(guān)于xi是總是遞增的。當(dāng)βi（2 -b2）-b＞0時(shí)，qi（xi，xj）關(guān)于xj也是遞增，因而此時(shí)對于任意的xi∈［0，c］都有qi（xi，xj）＞0；當(dāng)βi（2-b2）-b＜0時(shí)，qi（xi，xj）關(guān)于xj是遞減的，因此此時(shí)只要qi（0，c）＞0就有qi（xi，xj）＞0，而假設(shè)2即保證了qi（0，c）＞0。假設(shè)3實(shí)質(zhì)是Inada條件，它要求當(dāng)R&D投入較小時(shí)，R&D邊際成本增長的速度較小，而當(dāng)R&D投入較大時(shí)邊際成本會(huì)快速增長。這是符合現(xiàn)實(shí)的，現(xiàn)實(shí)中當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)效率較低時(shí)往往很容易減少生產(chǎn)成本，而當(dāng)企業(yè)的生產(chǎn)成本本身已經(jīng)很小時(shí)往往就很難再減少了。假設(shè)4要求R&D成本函數(shù)足夠凸，它是為了保證企業(yè)在R&D階段所面臨的利潤函數(shù)滿足一定的凹性條件，從而不致于使企業(yè)在R&D后的邊際成本為零或負(fù)值。假設(shè)3和假設(shè)4共同保證了在R&D階段所有的企業(yè)都會(huì)進(jìn)行R&D，即R&D階段的均衡存在。

4 內(nèi)生R&D時(shí)機(jī)下R&D/Bertrand競爭的多階段博弈的均衡

有了上述基本模型及假設(shè)，關(guān)于上述多階段博弈首先有如下的關(guān)于解的存在性結(jié)論：

命題1 在假設(shè)1-4下，上述基本博弈G及Gi中的解存在。

證明：首先注意到參與人有效的策略空間為：

X=｛（x1，x2）：x1+β2x2≤c，x1+β2x2≤c，xi≥0，i=1，2｝

其次由（4）式有：

所以：

（2）若βi＞b/（2-b2），i=1，2，則ri（·）在［0，x-j］上嚴(yán)格遞增，在［x-j，c］上ri（xj）=c-βjxj，從而嚴(yán)格遞減。且ri（·）的曲線總在曲線xi=x-i之下，即?，其中＜0，又πi（xi，xj）在策略空間上連續(xù)，所以基本博弈G中解存在。又因?yàn)樯鲜鲇行У牟呗钥臻g為緊的，所以基本博弈Gi中的解也存在［24］。

其次，關(guān)于參與人的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)ri（xj）=由方程組確定，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)邊界條件）。

（3）若βi＞b/（2-b2）＞βj，其中i，j=1，2，i≠j，則ri（·）嚴(yán)格遞減，rj（·）在［0，］上嚴(yán)格遞增，在［，c］上ri（xj）=c-βjxj，從而嚴(yán)格遞減。

因此當(dāng)βi＜b/（2-b2）時(shí)＜0，即結(jié)論（1）成立。

（2）若βi＞b/（2-b2），則顯然ri（·）先遞增，當(dāng)?shù)竭_(dá)邊界直線的交點(diǎn)時(shí)，在，c］上ri（xj）=cβjxj，從而嚴(yán)格遞減。另外由于ri（·）先增后減所以其在xj=處達(dá)到最大值。所以要證?xj，ri（xj）＜，只證ri（）＜。又0，而。所以由假設(shè)3，。而，所以。即（2）得證。

（3）由結(jié)論（1）及（2）的證明，結(jié)論（3）是顯然的。

上述關(guān)于參與人在R&D階段的反應(yīng)函數(shù)的結(jié)論可直觀上表示如下：

圖2 （a） βi＞b/（2-b2）

圖2 （b） βi＞b/（2-b2）

圖2 （c） βi＞b/（2-b2）βj

有了上述關(guān)于反應(yīng)函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論，下面給出本節(jié)的主要結(jié)論：

命題3 （1）若βi＜b/（2-b2），i=1，2，則企業(yè)在R&D階段的內(nèi)生時(shí)機(jī)結(jié)果為同時(shí)行動(dòng)，即R&D/Bertrand競爭的均衡結(jié)果為博弈G。

（2）若βi＞b/（2-b2），i=1，2，則企業(yè)在R&D階段的內(nèi)生時(shí)機(jī)結(jié)果為兩種序貫行動(dòng)，即R&D/Bertrand競爭的均衡結(jié)果為博弈G1和G2。

（3）若βi＞b/（2-b2）＞βj，i，j=1，2，，i≠j。則企業(yè)在R&D階段的內(nèi)生時(shí)機(jī)結(jié)果為以企業(yè)j領(lǐng)頭的序貫行動(dòng)，即R&D/Bertrand競爭的均衡行動(dòng)結(jié)果為博弈Gj。

證明：（1）若βi＜b/（2-b2），i=1，2，則顯然由（4）式有，又，其中第一個(gè)不等式是由于Stackelberg領(lǐng)頭者的支付大于Nash均衡支付，第二個(gè)不等式是由Nash均衡的性質(zhì)，因此即。又由命題2的結(jié)論（1），rj（·）為嚴(yán)格遞減的，所以。所以）。其中第一個(gè)不等式也是由Nash均衡的性質(zhì)，而第二個(gè)不等式是因?yàn)?，即。所以由?節(jié)中的關(guān)于內(nèi)生時(shí)機(jī)時(shí)的圖1，顯然均衡結(jié)果為博弈G。

（2）若βi＞b/（2-b2），i=1，2，則顯然由（4）式有，而ri（·）在［0，］上嚴(yán)格遞增且?xj，ri（xj）＜。又由于。所以，即）。所以。所以，即。同理由第2節(jié)中關(guān)于內(nèi)生時(shí)機(jī)時(shí)的圖1，顯然均衡結(jié)果為博弈G1和G2。

（3）若βi＞b/（2-b2）＞βj，i，j=1，2，i≠j，則對于i的分析類似于結(jié)論（2）中的證明而對于j的分析類似于結(jié)論（1）中的證明，即有），而。所以均衡結(jié)果為博弈Gj。

上述結(jié)果表明，在內(nèi)生的R&D順序下，多階段博弈的均衡行動(dòng)順序與R&D效率無關(guān)，而只與外溢水平和產(chǎn)品的差異程度相關(guān)。當(dāng)兩企業(yè)的外溢水平都較低時(shí)，兩企業(yè)都偏好于做領(lǐng)頭者，并且寧愿同時(shí)行動(dòng)也不愿做尾隨者，因此此時(shí)企業(yè)在選擇R&D時(shí)機(jī)時(shí)都會(huì)選擇先動(dòng)而最終導(dǎo)致同時(shí)行動(dòng)；當(dāng)兩企業(yè)的外溢水平都較高時(shí)，企業(yè)的尾隨者支付高于其Nash均衡支付，因此此時(shí)會(huì)導(dǎo)致兩種序貫行動(dòng)；當(dāng)一個(gè)企業(yè)的外溢水平低于b/（2-b2），而另外一個(gè)企業(yè)的外溢水平高于b/（2-b2）時(shí)，低外溢水平的企業(yè)寧愿同時(shí)行動(dòng)也不愿充當(dāng)尾隨者，而高外溢水平的企業(yè)寧愿做尾隨者也不愿同時(shí)行動(dòng)，因而最終導(dǎo)致以低外溢水平的企業(yè)為領(lǐng)頭者的序貫行動(dòng)。這說明外溢水平在決定企業(yè)的行動(dòng)順序時(shí)起著至關(guān)重要的做用，是符合現(xiàn)實(shí)的。

進(jìn)一步的，當(dāng)外溢較高時(shí)基本博弈中的均衡R&D水平、價(jià)格、產(chǎn)量及社會(huì)總福利水平有如下結(jié)論：

推論1 若βi＞b/（2-b2），i=1，2，則：

（1）X（Gi）≥X（G），其中X（Gi）=X（G）=，分別表示基本博弈Gi及G中的均衡R&D總水平。

（2）pi（Gi）≤pi（G），pj（Gi）≤pj（G）；qi（Gi）≥qi（G），qj（Gi）≥qj（G），即每個(gè)企業(yè)在基本博弈Gi中的價(jià)格（產(chǎn)量）都低于（高于）其在G中的價(jià)格（產(chǎn)量）。

（3）W（Gi）≥W（G），i=1，2。其中W（Gi）表示基本博弈Gi中的社會(huì)總福利，它等于消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者利潤之和。

證明：（1）由命題3的證明若βi＞b/（2-b2），i =1，2，則，所以（1）顯然成立。

（2）由（3）式企業(yè)的均衡定價(jià)策略pi（xi，xj）關(guān)于xi及xj遞減，而由（2）及（3）式均衡處企業(yè)的產(chǎn)量為：

顯然對?b、β∈（0，1）有2-b2-bβi＞0，即qi（xi，xj）關(guān)于xi為遞增的；而當(dāng)βi＞b/（2-b2），i =1，2時(shí)，顯然qi（xi，xj）關(guān)于xj也是遞增。所以由結(jié)論（1）結(jié)論（2）成立。

（3）由于社會(huì)總福利為消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者利潤之和，即：

上述結(jié)論說明當(dāng)外溢水平較大時(shí)，企業(yè)的內(nèi)生行動(dòng)結(jié)果為序貫行動(dòng)，而序貫行動(dòng)所帶來的R&D水平、社會(huì)總福利及企業(yè)的利潤較同時(shí)行動(dòng)時(shí)的相應(yīng)量都要大（對于企業(yè)的利潤見命題3中（2）的證明）。

5 算例分析

為了使上述結(jié)論更直觀，我們進(jìn)一步通過圖形來研究內(nèi)生時(shí)機(jī)下的均衡R&D結(jié)果。由于我們主要是研究內(nèi)生的R&D時(shí)機(jī)對博弈均衡的影響，因此假設(shè)產(chǎn)品市場上的參數(shù)是固定的。具體的假設(shè)a =2，b=1/2，c=1，，i=1，2。同時(shí)理論研究表明均衡只與R&D外溢水平有關(guān)，因此下面將通過圖形比較不同外溢水平下不同行動(dòng)順序博弈中的均衡R&D水平。

對于給定的產(chǎn)品市場上的以上參數(shù)，企業(yè)在R&D階段的利潤函數(shù)為πi（xi，xj）=64［5/4+（7/4-βi/2）xi+（7βj/4-1/2）xj］2/675-2xi2，序貫行動(dòng)中的反應(yīng)函數(shù)為：

通過復(fù)雜計(jì)算及MATLAB仿真，下面圖3（a）給出了單個(gè)企業(yè)分別在不同行動(dòng)順序博弈中的均衡R&D水平的比較，即x1（G）和x1（G1）。而圖3（b）則給出了不同行動(dòng)順序博弈中兩企業(yè)總的均衡R&D水平的比較，即X（G）和X（G1）。

圖3 （a） 單個(gè)企業(yè)在不同行動(dòng)順序博弈中均衡R&D水平的比較

通過圖3（a）容易看出，雖然當(dāng)外溢水平不同時(shí)兩平面有交叉，但當(dāng)外溢水平都較大時(shí)曲面x1（G1）顯然在曲面x1（G）之上，這表明當(dāng)外溢水平較大時(shí)內(nèi)生序貫行動(dòng)中企業(yè)的R&D投入要高于同時(shí)行動(dòng)，與上文中的結(jié)論是一致的。

很顯然圖3（b）表明在所給定的產(chǎn)品市場參數(shù)下，序貫行動(dòng)中的總R&D水平總是要高，這與文中的結(jié)論也是相符的。

圖3 （b） 企業(yè)在不同行動(dòng)順序博弈中總R&D水平的比較

進(jìn)一步的若假設(shè)βi=βj=0.75，則經(jīng)過繁瑣的計(jì)算=0.157，=0.099，=0.095，所以顯然有≥，x≥。X（Gi）=+=0.256＞X（G）=+=0.190。而，所以顯然此時(shí)內(nèi)生R&D時(shí)機(jī)下為序貫行動(dòng)。此時(shí)對于產(chǎn)品市場上pi（Gi）=0.030，pj（Gi）=0.654，而pi（G）= 1.223，所以顯然有pi（Gi）≤pi（G），pj（Gi）≤pj（G）；qi（Gi）=0.550，qj（Gi）=0.538，而qi（G）=0.518，所以有qi（Gi）≥qi（G），qj（Gi）≥qj（G）。另外，對于社會(huì)福利有W（Gi）=0.827＞0.768=W（G）。

6 結(jié)語

內(nèi)生的R&D時(shí)機(jī)在理論上更符合博弈中參與人理性的基本假設(shè)，在實(shí)際上由于企業(yè)的R&D活動(dòng)往往是自主進(jìn)行的從而也更符合社會(huì)現(xiàn)實(shí)。內(nèi)生R&D時(shí)機(jī)下企業(yè)先進(jìn)行R&D后在產(chǎn)品市場上進(jìn)行價(jià)格競爭的多階段博弈的均衡R&D順序只由企業(yè)的R&D外溢水平?jīng)Q定，和企業(yè)的R&D成本函數(shù)無關(guān)。具體地，若兩企業(yè)的外溢水平都較低，則均衡的R&D順序?yàn)閮善髽I(yè)同時(shí)行動(dòng)；若兩企業(yè)的外溢水平都較高，則均衡的R&D順序?yàn)榉謩e以兩個(gè)企業(yè)為領(lǐng)頭者的序貫行動(dòng)；若一個(gè)企業(yè)的外溢水平較低而另一個(gè)企業(yè)的外溢水平較高，則均衡的R&D順序?yàn)橐缘屯庖缢降钠髽I(yè)為領(lǐng)頭者的序貫行動(dòng)。在序貫R&D時(shí)兩企業(yè)的R&D總水平、社會(huì)總福利水平及產(chǎn)品市場產(chǎn)量（價(jià)格）都高于（低于）同時(shí)R&D時(shí)的情形。這說明內(nèi)生時(shí)機(jī)下僅僅通過誘導(dǎo)高的外溢水平可以誘導(dǎo)企業(yè)進(jìn)行高的R&D投入同時(shí)也可以增加社會(huì)福利。

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（1.武漢紡織大學(xué)管理學(xué)院，湖北武漢 430074；2.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北武漢 430074；3.武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，湖北武漢 430072）

Equilibrium Move Order of Multi-Period R&D Game under Endogenous Timing

YANG Xiao-hua1，XIA Huo-song1，GU Wei2，CHEN Wen-lei3
（1.School of Management，Wuhan Textile University，Wuhan 430074，China；2.School of Statistics and Mathematics，Zhongnan University of Economics and Law，Wuhan 430074，China；3.Economics and Management School，Wu Han University，Wuhan 430072，China）

Based on endogenous timing game theory，the equilibrium move order of R&D is studied in this paper in a multi-stage game in which firms R&D are followed by competition in product market，with the assumption that in product market the demand function is linear and the move-order is simultaneously. With backward induction it is shown that，equilibrium R&D order is only decided by firms'R&D spillover.When both firms'spillover rates are low（high），the equilibrium R&D order is simultaneous play（sequential play with both leader-follower configurations）.When one firm's spillover rate is low and the other's is high the equilibrium R&D order is sequential play with the low-spillover-rate-firm as the leader. When equilibrium R&D order is sequential play the total R&D level，the social welfare and the output（price）in product market are（is）higher（lower）than simultaneous R&D.

endogenous timing；R&D；spillover；equilibrium

F273

：A

1003-207（2014）05-0083-08

2011-10-24；

2013-09-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171153）；湖北省教育廳一般項(xiàng)目（2011jyty024）

楊曉花（1979-），女（漢族），湖北人，武漢紡織大學(xué)管理學(xué)院副教授，博士，研究方向：博弈論及決策理論.