多屬性相對變權(quán)決策模型及方法

李春好，李孟姣，馬慧欣，杜元偉，李金津

（1.吉林大學管理學院，吉林長春 130022；2.昆明理工大學管理與經(jīng)濟學院，云南昆明 650093）

多屬性相對變權(quán)決策模型及方法

李春好1，李孟姣1，馬慧欣1，杜元偉2，李金津1

（1.吉林大學管理學院，吉林長春 130022；2.昆明理工大學管理與經(jīng)濟學院，云南昆明 650093）

為克服多因素變權(quán)決策方法以及多屬性決策Choquet積分模型沒有科學反映多屬性決策過程中決策者點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為的技術(shù)缺陷，在借鑒擺幅置權(quán)方法和網(wǎng)絡(luò)分析法技術(shù)要點的基礎(chǔ)上，運用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的相對評價思維，提出一種全新的評價與決策方法即多屬性相對變權(quán)決策方法。相對于多因素變權(quán)決策方法，新方法可以直接反映決策者的點依賴偏好結(jié)構(gòu)，從而可以克服前者在反映點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為上所存在的源于決策分析者的武斷隨意性；相對于多屬性決策Choquet積分模型，新方法可以反映決策者的點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為，并且在多數(shù)實際決策場合可以較有效地規(guī)避Choquet積分模型在決策參數(shù)判斷上的指數(shù)復雜性難題。案例應(yīng)用驗證表明：新方法可以給出與決策者關(guān)于偏好依賴關(guān)聯(lián)定性看法及客觀事實非常相符的選擇結(jié)論，可以更好地反映決策者的具體偏好。

多屬性決策；變權(quán)決策；偏好依賴；擺幅置權(quán)；網(wǎng)絡(luò)分析法；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

1 引言

由于決策者關(guān)于屬性的偏好通常并不能保證嚴格獨立，因而建立在屬性偏好獨立假設(shè)基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)多屬性決策模型即屬性權(quán)重相對方案單屬性偏好保持不變的固權(quán)評價模型在解決實際問題的適用范圍上受到了很大限制［1-3］。針對這一問題，學術(shù)界迄今提出了下述兩種研究框架。

Sugeno等基于屬性偏好關(guān)聯(lián)提出了屬性集模糊測度（fuzzy measure）概念，在此基礎(chǔ)上Grabisch等［3］利用Choquet積分給出了屬性關(guān)聯(lián)條件下的多屬性決策理論模型（下文簡稱作多屬性決策Choquet積分模型）。從技術(shù)特點上看，該模型反映的是屬性偏好之間相對于方案單屬性偏好值排序而呈現(xiàn)出的偏好依賴關(guān)系即序依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系。從理論和應(yīng)用層面上來看，多屬性決策Choquet積分模型目前尚存在如下兩方面不足。其一，它只能夠反映序依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系，不能夠更精細地反映相對方案單屬性偏好值不同而不同的點依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系。其二，屬性集模糊測度的確定會遇到指數(shù)復雜性限制，對于屬性個數(shù)為n的多屬性決策問題，需要決策者通過判斷給出的決策參數(shù)即屬性集模糊測度為2n-2個，因而對于屬性較多的決策問題往往會因決策者不能開展指數(shù)量級的判斷工作而使模型失去應(yīng)用的可行性［4-5］。

與上述的研究框架不同，基于經(jīng)驗性觀察Zhang等［6］提出了屬性權(quán)重應(yīng)隨方案單屬性偏好值變化而變化的多屬性變權(quán)決策思想。在此基礎(chǔ)上，通過公理化定義屬性變權(quán)與屬性狀態(tài)變權(quán)，Li Hongxing［7-9］帶領(lǐng)的研究團隊以“由因素（即屬性）的固權(quán)生成因素的變權(quán)”的技術(shù)路線，建立了屬性權(quán)重隨屬性值及其偏好變化而變化的多因素變權(quán)決策方法。盡管從形式上看該方法相對于多屬性決策Choquet積分模型可以反映點依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系，但從本質(zhì)上講關(guān)于多因素變權(quán)決策分析的關(guān)鍵即如何選擇狀態(tài)變權(quán)向量表達式中的參數(shù)以體現(xiàn)實際問題的變權(quán)機理、恰當反映決策者的偏好行為，學術(shù)界迄今尚未給出較為合理有效的技術(shù)方法。目前確定狀態(tài)變權(quán)向量的方法無論是樂觀系數(shù)法［8］、調(diào)權(quán)水平法［9］還是態(tài)度因子法［10］，均沒有從理性層面上描述出其中需由決策分析者予以選定的參數(shù)值與決策者實際偏好結(jié)構(gòu)之間的明確對應(yīng)聯(lián)系，因此在狀態(tài)變權(quán)向量的確定上尚存在著明顯的武斷隨意性。

綜上所述易見，就如何科學反映多屬性決策過程中決策者所呈現(xiàn)出的點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為，迄今尚缺乏支持科學決策的有效方法。為克服這方面的研究不足，下文在借鑒擺幅置權(quán)方法［1］（SW—Swing Weighting）和網(wǎng)絡(luò)分析方法［11］（ANP—Analytic Network Process）有關(guān)技術(shù)要點的基礎(chǔ)上，運用數(shù)據(jù)包絡(luò)分析［12］（DEA—Data Envelopment A-nalysis）的相對評價思維，提出一種旨在科學合理反映決策者相對方案單屬性偏好不同而不同的點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為的新評價與決策方法，即多屬性相對變權(quán)決策方法。

2 基礎(chǔ)知識準備與相關(guān)研究評析

2.1 多屬性固權(quán)決策方法

設(shè)多屬性決策問題共有M個備選方案，分別記為Ak，k=1，…，M，需要分析的屬性因素分別為C1，…，Cn；任意一個決策方案A在C1，…，Cn上的屬性值記為x1，…，xn，方案Ak在屬性因素Ci上的狀態(tài)值記為xi，k，則經(jīng)典多屬性固權(quán)決策模型的表達式為：

其中，Uk為決策者對第k個方案Ak的綜合偏好；Vi，k=wiui（xi，k）；ui（xi，k）為決策者對方案Ak在屬性因素Ci上的狀態(tài)值xi，k所給出的單屬性偏好，ui（xi，k）∈［0，1］；wi為決策者基于對總目標偏好貢獻的視角對單屬性偏好ui（xi，k）所判斷給出的權(quán)重，0≤wi≤1，，并且相對xi，k以及ui（xi，k）的變化，wi保持固定不變［1-2］。因此，式（1）又被稱為多屬性決策的固權(quán)綜合決策模型。

若對于x1，…，xn總存在與式（1）相聯(lián)系的綜合價值函數(shù)，則稱屬性C1，…，Cn之間偏好絕對獨立或簡稱為屬性偏好獨立［2］。顯然，當屬性偏好不能滿足獨立條件時，采用式（1）進行多屬性方案選擇并不能夠保證決策結(jié)論具有科學合理性。Winterfeldt和Edwards［1］為保證屬性權(quán)重具有合理的內(nèi)涵解釋，給出了關(guān)于屬性權(quán)重wi賦值的SW方法。不失一般性，設(shè)單屬性偏好函數(shù)ui（xi）∈［0，1］為非減函數(shù)，i=1，…，n，則SW方法可以概括為如下幾個步驟。首先，定義兩個虛擬的錨點（Anchor-point）方案，即最差虛擬方案AL和最理想虛擬方案AH，其中：

并且由ui（xi）∈［0，1］的函數(shù)非減性易知，ui（xi，H）=1和ui（xi，L）=0。然后，讓決策者進行關(guān)于（Vi，H-Vi，L）/（Vf，H-Vf，L）的主觀偏好比率判斷（下文將該種判斷模式稱為SW判斷）并將得出的判斷值記為βi，f。其中，Vf，H-Vf，L為決策者首先希望在第f（f∈｛1，…，n｝）屬性上將AL的屬性值改進為AH的屬性值所帶來的偏好變化；Vi，H-Vi，L為決策者在第i（i=1，…，n）屬性上將AL的屬性值改進為AH的屬性值所帶來的偏好變化。最后利用決策者判斷給出的偏好比率值βi，f，并結(jié)合式（1）以及ui（xi，H）=1和ui（xi，L）=0，得出如下所示的屬性權(quán)重：

2.2 多因素變權(quán)決策方法

針對多因素決策問題，Li Hongxing等［7］在承認屬性因素固權(quán)存在即承認屬性偏好獨立的前提下給出了如下式（3）所示的多因素變權(quán)綜合決策模型。

式（3）中，xi，k與ui（xi，k）的含義同前，ui（xi，k）∈［0，1］；U′k為方案Ak的綜合評價值；wi（x1，k，…，xn，k）為屬性因素Ci（相對方案Ak）的變權(quán)，并且wi（x1，k，…，xn，k）需滿足規(guī)一化條件…，xn，k）=1。若將屬性偏好獨立條件下屬性因素Ci的固權(quán)權(quán)重仍記為wi，記狀態(tài)向量X=（x1，…，xn），S（X）=（S1（X），…，Sn（X））為X的狀態(tài)變權(quán)向量，則式（3）中的屬性變權(quán)即wi（X）須由下式（4）予以確定：

在多因素變權(quán)綜合決策方法中，若wi（X）相對xi單調(diào)遞增（遞減）則被稱為激勵型變權(quán)（懲罰型變權(quán)）。由式（4）易知，如何科學確定出狀態(tài)變權(quán)向量S（X）是應(yīng)用多因素變權(quán)綜合決策方法的關(guān)鍵所在。目前，確定狀態(tài)變權(quán)向量S（X）主要有樂觀系數(shù)法、調(diào)權(quán)水平法和態(tài)度因子法［8-10］。其中，樂觀系數(shù)法通過樂觀系數(shù)（α）來確定S（X）。其表達式為

2.3 ANP方法

Saaty［13］提出的ANP方法是為了反映評價與決策問題中元素之間依賴（偏好依賴）關(guān)系而對層次分析方法（AHP—Analytic Hierarchy Process）的發(fā)展。其主要分析步驟依次為：對決策問題構(gòu)建由元素集組成、反映元素集及其元素之間依賴關(guān)系（及反饋關(guān)系）的網(wǎng)絡(luò)分析結(jié)構(gòu)；基于該結(jié)構(gòu)邀請專家或決策者主觀判斷給出決策問題的超矩陣或加權(quán)超矩陣；對構(gòu)造出的超矩陣或加權(quán)超矩陣求極限并由此得出各個元素集和元素的極限排序權(quán)重（向量）［11］。

圖1 ANP網(wǎng)絡(luò)分析結(jié)構(gòu)

特別地，參見圖1所示的ANP網(wǎng)絡(luò)分析結(jié)構(gòu)，當決策問題由1個元素集構(gòu)成并且該元素集有3個元素時，ANP要求決策者給出的超矩陣Q具有式（6）所示的結(jié)構(gòu)形式。

i=1qji=1（?j=1，2，3），超矩陣Q因此為列隨機矩陣?；谠摼仃囂攸cANP指出，當Q+∞存在時，Q+∞為列相等矩陣，其列向量即為決策問題各元素的極限排序權(quán)重。當Q+∞不存在時，極限排序權(quán)重向量需要用Cessaro和予以求出［11］。

分析上述超矩陣構(gòu)造所采用的主觀偏好判斷模式可以看出，其中需要采用一種 “相對于甲來比較甲和乙”的特殊判斷邏輯。一些專家學者如Feng Chengmin等［15］和Wu Weiwen［16］認為決策者按照上述邏輯進行主觀偏好判斷是極其困難的?；谶@方面考慮，后文在應(yīng)用ANP構(gòu)建新決策方法時將給出一種不依賴上述特殊邏輯的超矩陣構(gòu)建手段。

2.4 DEA方法

DEA是由Charnes、Cooper和Rhodes［12］所提出的旨在評價決策單元相對效率的一種定量分析方法。若決策單元DMUk是僅有產(chǎn)出而無投入的決策單元，其產(chǎn)出向量為dk=（dk1，…，dkn）＞0，k= 1，…，M，其中dki為DMUk第i個產(chǎn)出的指標值，i =1，…，n，則對DMUo（o=1，…，M）而言的DEA模型可以表示為：

其中，ε為非阿基米德無窮??；ωi，o為第i個產(chǎn)出的虛擬權(quán)重（或虛擬價格），i=1，…，n，并且它們被統(tǒng)稱為決策單元的虛擬權(quán)重體系；Zoo的最優(yōu)值稱為DMUo的相對效率評價值，?o=1，…，M。

設(shè)式（7）關(guān)于ωi，o的最優(yōu)解向量即最優(yōu)虛擬權(quán)重體系為（ω，…，ω），則由于它使得Zoo取最優(yōu)值即令DMUo相對效率最大化，因而是最有利于DMUo的虛擬權(quán)重體系［17］。由此可知，Zok是在最有利于DMUo的最優(yōu)虛擬權(quán)重體系下DMUk的相對效率評價值，?k=1，…，M。

Dyson和Thanssoulis［18］、Wong和Beasley［19］等建議在式（7）的約束條件中引入權(quán)重置信域（AR—assurance region）以約束虛擬權(quán)重的取值范圍，并將引入權(quán)重置信域的DEA模型稱作DEA/ AR模型。特別地，Wong和Beasley［19］從多屬性決策視角將決策單元在兩個指標上的虛擬價值（即虛擬權(quán)重與指標值的乘積）之比解釋為相應(yīng)指標的單屬性偏好值之比，在此基礎(chǔ)上建議利用決策者關(guān)于單屬性偏好值之比的偏好判斷信息來構(gòu)建出DEA的權(quán)重置信域。另外，從理論上講DEA/AR模型特別是DEA并不能保證最優(yōu)虛擬權(quán)重體系即最優(yōu)解向量的唯一性。為此，學術(shù)界提出了激進型求解策略［17］、仁慈型求解策略［17］、中立性求解策略［20］等多種技術(shù)方法。因此，在后文采用DEA技術(shù)建構(gòu)有關(guān)決策模型時，不妨假定其中涉及到的DEA/AR模型存在唯一最優(yōu)虛擬權(quán)重體系。

3 模型構(gòu)建

若我們在SW判斷中不改變最差錨點方案AL而將方案Ak視為最理想錨點方案，那么對任意一個備選方案Ak而言，SW判斷對由備選方案Ak和最差錨點方案所組成的方案對仍然適用。因此對于備選方案Ak和最差錨點方案AL，可以讓決策者進行關(guān)于（Vi，k-Vi，L）/（Vfk，k-Vfk，L）的主觀偏好變化比率判斷，其中，Vfk，k-Vfk，L為決策者首先希望在第fk（fk∈｛1，…，n｝）屬性上將AL的屬性值改進為Ak的屬性值所帶來的偏好變化量，Vi，k-Vi，L為在第i屬性上將AL的屬性值改進為Ak的屬性值所帶來的決策者偏好變化量，i=1，…，n。設(shè)關(guān)于（Vi，k-Vi，L）/（Vfk，k-Vfk，L）決策者所給出的偏好變化比率判斷值為β，wi，k為基于決策者對方案Ak和AL的SW判斷信息所確定出的第i個屬性Ci的權(quán)重，則由式（1）和ui（xi，L）=0可知：對于方案對Ak和AL而言，

wi，k∈R，i∈｛1，…，n｝，?k=1，…，M （8c）

由式（8a）、（8b）和式（8c）可知，屬性權(quán)重之比（如wi，k/wfk，k）或?qū)傩詸?quán)重并非總能夠滿足多屬性固權(quán)綜合模型屬性權(quán)重的內(nèi)在性質(zhì)要求，即屬性權(quán)重之比或?qū)傩詸?quán)重在偏好獨立的假設(shè)條件下相對備選方案的變化而保持固定不變。特別地，由式（8a）可知，屬性權(quán)重之比wi，k/wfk，k歸根結(jié)底是xi，k、的函數(shù)，因而一般說來它既會隨方案Ak各個屬性值的變化而呈現(xiàn)出非線性函數(shù)變化，也會隨決策者關(guān)于方案Ak各個屬性值的偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系（體現(xiàn)為）的變化而變化。

由于屬性值x1，…，xn是方案A在各個屬性上的特征描述，因此當決策者對屬性的偏好存在關(guān)聯(lián)關(guān)系即屬性偏好關(guān)聯(lián)依賴時，決策者對各個備選方案的偏好也是關(guān)聯(lián)依賴的。這表明人們可以從ANP的分析視角將多屬性決策問題的備選方案集視為一個ANP元素集，將各個備選方案視為彼此之間（包括自己與自己之間）相互影響并且這種相互影響可以由偏好關(guān)聯(lián)依賴關(guān)系和ANP超矩陣予以表示的ANP元素。有鑒于此，對于擁有M個備選方案、屬性偏好關(guān)聯(lián)的多屬性評價問題，我們可以將它表示為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與圖1類似、含有1個元素集并且元素集中有M個元素的ANP評價問題。類似于式（6），其對應(yīng)的ANP超矩陣為：

其中，第j列矩陣元素的含義為相對于備選方案Aj而言決策者對備選方案A1，A2，…，AM的相對偏好程度，它們滿足

下面在借鑒DEA技術(shù)的基礎(chǔ)上，通過對ANP超矩陣構(gòu)建所采用的比較邏輯的理性解釋，給出一種能夠反映決策者主觀偏好比率判斷信息（i∈｛1，…，n｝，?k=1，…，M）的超矩陣Q的構(gòu)建方法。

以式（9）的第j列矩陣元素為分析對象，在確定這些矩陣元素的取值時，ANP要求決策者主觀判斷回答的是相對于備選方案Aj而言他對備選方案A1，A2，…，AM的相對偏好程度。從理性上講，這實際上是允許決策者選擇出一種最有利于、最適宜于方案Aj的權(quán)重體系并采用該體系來評價方案A1，A2，…，AM的偏好值以及它們之間的相對偏好值。按照這一解釋并結(jié)合DEA的技術(shù)特點（參見前文2.4），我們便可以利用DEA技術(shù)來識別出最有利于方案Aj的虛擬權(quán)重體系，并在此基礎(chǔ)上利用DEA/AR分析技術(shù)識別出最有利于且最適宜于方案Aj的虛擬權(quán)重體系。

從DEA分析的視角上看，多屬性決策方案Aj是一個僅有產(chǎn)出、沒有投入的決策單元，其中決策單元Aj的第i產(chǎn)出為它在屬性Ci上的單屬性偏好函數(shù)值ui（xi，j）。由此參見式（7），可以建構(gòu)如下DEA分析模型。

求解該線性規(guī)劃模型，即可以得出最有利于方案Aj的虛擬權(quán)重體系｛｜i=1，…，n｝，j=1，…，M。但是，該權(quán)重體系并非一定適合于決策者對方案Aj具體屬性特征的偏好看法（即）。

借鑒Wong和Beasley［19］的虛擬權(quán)重置信域構(gòu)建思想可知，決策單元即方案Aj相對于AL在產(chǎn)出i上的虛擬價值變化即是Aj相對于AL在屬性Ci上的偏好值變化，因此當≥0且ui（xi，j）≠0時有：

由此并結(jié)合ui（xi，L）=0和ufj（xfj，L）=0可知：

這樣，結(jié)合式（8a）和式（8b）便可以構(gòu)建出如下最適宜于方案Aj（即能夠反映決策者關(guān)于方案Aj所給出的判斷信息）的DEA虛擬權(quán)重置信域。即：

將上述最適宜于方案Aj的DEA虛擬權(quán)重置信域添加到式（10）的約束條件之中，可以得出如下DEA/AR模型。

求解該線性規(guī)劃模型，便可以得出最有利于且最適宜于方案Aj的虛擬權(quán)重體系｛ω*i，j｜i=1，…，n｝，j=1，…，M；對應(yīng)于權(quán)重體系｛ω*i，j｜i=1，…，n｝，方案A1，A2，…，AM的綜合偏好值分別為Z1，j，…，ZM，j，j=1，…，M。利用這些偏好評價值便可以得出A1，A2，…，AM在權(quán)重體系｛ω*i，j｜i=1，…，n｝下的相對偏好值（即相對Aj而言決策者對A1，A2，…，AM的相對偏好程度）qjt。其具體表達式為：

其中，I=（1，1，…，1）T為M維列向量。當極限超矩陣Q+∞不存在時，由于Q為列隨機矩陣，因此一定存在循環(huán)周期c（c為正整數(shù)）使得存在［11］。此時利用Cessaro和可以得出［11］：

在此基礎(chǔ)上，決策者可以利用式（14）或（15）給出的優(yōu)選排序權(quán)重向量（δ1，δ2，…，δM）篩選出一個優(yōu)選排序權(quán)重值最大的方案或幾個優(yōu)選排序權(quán)重值較大的方案做為最終的決策選擇。

由超矩陣Q的構(gòu)建過程可以看出，其中采用的主觀偏好比率信息，i∈｛1，…，n｝，?j=1，…，M，實質(zhì)上反映的是隨待評方案Aj變化而變化的權(quán)重ω1，j，…，ωn，j之間的比率。因此，由式（14）（或式（15））及其依賴的式（12）、式（13）和式（9）所構(gòu)成的決策模型，是一種所使用的虛擬權(quán)重體系相對于待評方案變化而變化、因而可以反映點依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系的多屬性變權(quán)決策模型。另外，除（i∈｛1，…，n｝）之外，結(jié)合式（14）（或（15））及其依賴的式（12）可以看出，δj依賴的虛擬權(quán)重體系還要受到ui（xi，k）（i=1，…，n；k=1，…，M）即歸根結(jié)底要受到備選方案集｛Ak｜k=1，…，M｝的影響。由此可知，與DEA效率評價的本質(zhì)即相對評價類似，由式（14）（或式（15））及其依賴的式（12）、式（13）和式（9）所構(gòu)成的決策模型，歸根結(jié)底也是一種虛擬權(quán)重體系相對于備選方案集變化而變化的相對評價模型。綜合以上兩方面的模型特點，我們將由式（14）（或式（15））及其依賴的式（12）、式（13）和式（9）所構(gòu)成的決策模型稱為多屬性相對變權(quán)決策模型。

需要特別指出，相對于多因素變權(quán)決策方法在狀態(tài)變權(quán)向量確定上所存在的、源于決策分析者的武斷隨意性問題而言，該模型依賴的偏好信息即均由決策者給出，因而可以直接反映決策者的偏好結(jié)構(gòu)；相對于多屬性決策Choquet積分模型，該模型具有精細反映點依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系的技術(shù)優(yōu)勢。此外，由于多屬性相對變權(quán)決策模型要求決策者判斷給出的偏好比率為M（n-1）個，因而一般說來當決策屬性多、備選方案不多時其要求決策者判斷給出的參數(shù)會遠小于多屬性決策Choquet積分模型所需要確定的屬性集模糊測度的個數(shù)即2n-2。由于實際的多屬性決策問題往往具有決策屬性多但備選方案不多的系統(tǒng)特征，因而多屬性相對變權(quán)決策模型在多數(shù)的實際決策場合可以較有效地規(guī)避多屬性決策Choquet積分模型關(guān)于屬性集模糊測度判斷的指數(shù)復雜性難題。盡管有的多屬性決策問題僅具有少數(shù)幾個決策屬性，但我們不能因此而否定現(xiàn)實管理實踐中具有決策屬性多但備選方案不多系統(tǒng)特征的決策問題的存在。由此可以保守地講，多屬性相對變權(quán)決策模型至少也是多屬性決策Choquet積分模型的重要補充。

還需要強調(diào)指出，關(guān)于多屬性相對變權(quán)決策模型依賴的變權(quán)思想，即對同一個多屬性決策問題的不同方案在計算優(yōu)劣排序權(quán)重δj時潛在使用的可能是數(shù)值不同的屬性權(quán)重組，其科學合理性，可以從如下兩方面予以解釋。其一，上述變權(quán)思想已在現(xiàn)有的多因素變權(quán)決策方法中予以了采用（參見式（5）易知該方法對不同方案予以不同狀態(tài)變權(quán)并且由此結(jié)合式（4）可知對不同方案可予以不同的屬性權(quán)重組），其科學合理性由文獻［6-10］可知已為學術(shù)界所認可（注：本文支持現(xiàn)有多因素變權(quán)決策方法的變權(quán)思想但不支持其中的具體變權(quán)作法）。其二，上述變權(quán)思想，從哲學層面上講正是“具體問題、具體分析”的辯證分析觀在決策實踐上的具體體現(xiàn)，即對于具體方案予以具體分析，因而具有可靠的哲學基礎(chǔ)。

從理論上講，多屬性相對變權(quán)決策模型給出的評價結(jié)論會隨著備選方案集的變化而出現(xiàn)逆序現(xiàn)象。盡管部分關(guān)于多屬性決策的已有常用方法如AHP、優(yōu)劣解距離法（TOPSIS［21］）等均會出現(xiàn)逆序現(xiàn)象［22］，并且因此它們的科學合理性受到了學術(shù)界的質(zhì)疑，但該現(xiàn)象的出現(xiàn)對于多屬性相對變權(quán)決策模型而言并不意味著模型存在理論缺陷。其中原因在于：當屬性偏好關(guān)聯(lián)依賴時備選方案之間也是偏好關(guān)聯(lián)依賴的（關(guān)于這一點請參見前文），因而在屬性偏好獨立假設(shè)下要求決策方法不出現(xiàn)逆序現(xiàn)象的必要條件即方案之間偏好獨立，對于旨在揭示屬性偏好關(guān)聯(lián)依賴關(guān)系的多屬性相對變權(quán)決策模型而言已不再適用。

最后有必要指出，多屬性相對變權(quán)決策模型仍然可以保證多屬性決策理論關(guān)于偏好序的基本公理假設(shè)，即存在下述定理。

定理1 對于決策方案集｛Ak｜k=1，…，M｝中任意兩個屬性值向量為Xa和Xb的方案，若Xa≤Xb，則多屬性相對變權(quán)決策模型對它們所給出的優(yōu)選排序權(quán)重δa、δb恒滿足δa≤δb。

證明：設(shè)Xa和Xb對應(yīng)的單屬性偏好值向量分別為（u1，a，…，un，a）、（u1，b，…，un，b）。由于Xa≤Xb，因此結(jié)合單屬性偏好函數(shù)的非減性易知（u1，a，…，un，a）≤（u1，b，…，un，b）。由此并結(jié)合式（12）的第一組約束條件可知，Za，j≤Zb，j，j=1，…，M，進而由式（13）可知qja≤qjb，j=1，…，M。由此，結(jié)合矩陣相乘的數(shù)學知識由式（14）（或式（15））可知δa≤δb。證畢。

4 多屬性相對變權(quán)決策的方法步驟

步驟1：基于備選方案集｛Ak｜k=1，…，M｝構(gòu)造出虛擬最差方案AL并讓決策者分別以最差方案AL和待評方案Aj為錨點方案，運用SW判斷給出屬性C1，…，Cn中其首先希望將AL的屬性值改進為Aj的屬性值的那個屬性，并將該屬性記為屬性fj，fj∈｛1，…，n｝；然后，以屬性fj為比較基準給出主觀偏好比率判斷值，i=1，…，n；j= 1，…，M。

步驟2：請決策者對備選方案Ak在屬性C1，…，Cn上屬性值的單屬性偏好ui（xi，k）予以判斷賦值，其中i=1，…，n，k=1，…，M。由單屬性偏好函數(shù)ui（xi）的非減性和ui（xi，L）=0可知：當備選方案集中某個方案在各個屬性上單屬性偏好均為0時，該方案必是與最差方案等價、無需再采用評價模型予以評價的最劣方案，因而這里不妨假定｛Ak｜k=1，…，M｝中的每個方案至少在一個屬性上的單屬性偏好不為0。

步驟4：利用式（13）和步驟3得出的Z1，j，…，ZM，j，計算得出qjt，其中t，j=1，…，M；在此基礎(chǔ)上利用式（9）構(gòu)造出超矩陣Q。

步驟5：利用式（14）（或（15））得出方案Ak的優(yōu)選排序權(quán)重δk，k=1，…，M；在此基礎(chǔ)上篩選出一個優(yōu)選排序權(quán)重值最大的方案或幾個優(yōu)選排序權(quán)重值較大的方案做為最終的決策選擇。

5 多屬性相對變權(quán)決策方法的實證分析

現(xiàn)有某大學管理科學與工程專業(yè)5名高年級大學生（視為備選方案Ak；k=1，2，…，5）提出了該專業(yè)推免碩士研究生的報名申請。根據(jù)有關(guān)規(guī)定，該碩士點的負責人（視為決策者）需要從學生大學階段數(shù)學平均成績（百分制）、英語六級成績（折算為百分制）和已修專業(yè)課的平均成績（百分制）三方面（依次視為屬性C1、C2、C3）優(yōu)選出3名學生進入面試。5名學生在3個屬性上的屬性值即xi，k（i=1，2，3；k =1，…，5）如下表1所示。

由于決策者在評價決策過程中可能在C1、C2、C3上存在偏好依賴關(guān)聯(lián)關(guān)系，因此在讓決策者給出其具體數(shù)值偏好信息之前，首先關(guān)于屬性上是否存在偏好依賴關(guān)聯(lián)關(guān)系向決策者做出了兩方面定性調(diào)查。決策者對定性調(diào)查所做出的回答為：（1）當學生的數(shù)學成績或英語成績特別好時，專業(yè)課的成績可以差一些；（2）當學生的數(shù)學成績和英語成績均比較差時，即使學生的專業(yè)課成績非常好也不應(yīng)獲得較高的綜合評價結(jié)論。由上述回答可以看出，決策者關(guān)于方案的屬性值存在偏好依賴關(guān)聯(lián)關(guān)系，因此下文采用前面給出的多屬性相對變權(quán)決策方法來對學生的優(yōu)選予以決策支持。

根據(jù)多屬性相對變權(quán)決策的方法步驟，決策者經(jīng)偏好判斷分別給出了如表2（其中AL=（60，70，80））所示的主觀偏好比率和如表3所示的各個方案的單屬性偏好值。將表2和表3的數(shù)據(jù)信息代入到式（12）可以得到如表4所示的綜合偏好評價值Zt，j，t，j=1，…，5。

表1 方案Ak的屬性值

表2 決策者判斷給出的主觀偏好比率

表2 決策者判斷給出的主觀偏好比率

j 屬性 方案Aj相對虛擬最差方案AL的屬性值變動 fjβ（j）i，fj 1 C1C2C3 60→90 70→70 80→85 1 10 0.1 0.7 2 C1C2C3 60→70 70→80 80→80 2 1 0 3 C1C2C3 60→70 70→90 80→85 2 0.3 1 0.1 0.9 4 C1C2C3 60→70 70→70 80→95 3 0 1 5 C1C2C3 60→60 70→90 80→85 2 01 0.1

表3 方案Ak在屬性C1、C2、C3上的單屬性偏好

表4 模型最優(yōu)解Zt，j

表5 超矩陣Q的元素值

基于表4和式（13）及式（9）得出的反映方案之間偏好依賴的超矩陣Q如表5所示。由超矩陣Q按照式（14）計算得出學生A1，A2，…，A5的優(yōu)選排序權(quán)重向量（δ1，δ2，δ3，δ4，δ5）為：

（0.3665，0.1624，0.1961，0.1171，0.1579）

由此可知，A1，A2，…，A5的優(yōu)選排序為：

據(jù)此決策者應(yīng)選擇A1、A3、A2進入下一輪面試。

參見表1，A3、A5僅在數(shù)學成績上存在差異并且A3的數(shù)學成績優(yōu)于A5，這客觀上表明無論屬性偏好依賴與否，進行綜合評選都必有A3優(yōu)于A5。將前面得出的優(yōu)選排序權(quán)重結(jié)果與這一事實相比可以發(fā)現(xiàn)，多屬性相對變權(quán)決策方法對學生A3和A5所給出的排序正如定理1所言與客觀事實完全相符。結(jié)合A1、A3在各科上的具體成績特征（即專業(yè)課成績雖然一般但他們要么數(shù)學成績特別好要么英語成績特別好），可以看出多屬性相對變權(quán)決策方法將A1、A3排在優(yōu)選排序的前兩位與前文決策者給出的定性看法（1）具有高度的相符性。另外，A4、A5的總成績雖然相同，但結(jié)合他們在各科上的成績特征（即A4的數(shù)學成績和英語成績均比較差但其專業(yè)課成績特別好、A5盡管在專業(yè)課成績一般并且數(shù)學成績特別差但其英語成績特別好）可以發(fā)現(xiàn)：多屬性相對變權(quán)決策方法關(guān)于A4、A5所給出的優(yōu)選排序A5?A4，與前文決策者給出的定性看法（2）及定性看法（1）也非常相符。最后結(jié)合式（16）易知，多屬性相對變權(quán)決策方法關(guān)于A4所給出的優(yōu)劣排序位置也與決策者的定性看法（2）明顯相符。上述四方面表明，多屬性相對變權(quán)決策方法是合理有效的。

下面開展多屬性相對變權(quán)決策方法與多因素變權(quán)決策方法及多屬性固權(quán)決策方法的實證對比分析，以進一步驗證多屬性相對變權(quán)決策方法的科學合理性。由于多屬性固權(quán)決策方法和多因素變權(quán)決策方法在應(yīng)用中需要引入異于多屬性相對變權(quán)決策方法的偏好信息判斷模式，因此為了保證方法比較的偏好信息可比，這里采用近似擬合手段，基于前文由多屬性相對變權(quán)決策方法對A1、A2、…、A5所得出的優(yōu)選排序權(quán)重，對多屬性固權(quán)決策方法和多因素變權(quán)決策方法需要使用的固權(quán)權(quán)重予以最優(yōu)估計。其中依賴的是一種趨向于夸大多屬性固權(quán)決策方法功效（或貶低多屬性相對變權(quán)決策方法功效）的技術(shù)思想，即由最優(yōu)估計得出的固權(quán)權(quán)重能夠盡可能使信息結(jié)構(gòu)相對簡單的多屬性固權(quán)決策方法得出與信息結(jié)構(gòu)相對復雜的多屬性相對變權(quán)決策方法相近的方案評價排序結(jié)論。由此從方法科學合理性驗證上看，若多屬性固權(quán)決策方法或多因素變權(quán)決策方法優(yōu)于多屬性相對變權(quán)決策方法，那么前兩種方法采用由上述擬合手段得出的固權(quán)權(quán)重去評價A1，A2，…，A5，便至少不能給出劣于后者的評價結(jié)論；否則便說明后者在科學合理性上優(yōu)于前兩者。關(guān)于固權(quán)權(quán)重的具體最優(yōu)估計模型為：

式（17）中，wi為待擬合的屬性C1、C2、C3的固權(quán)權(quán)重，wi≥0，i=1，2，3；εi為擬合誤差；a和b分別為依據(jù)偏好效用理論所設(shè)置的線性變換待定常數(shù)（其中b≥0保證的是同向偏好效用變換）；F為優(yōu)化控制的目標函數(shù)；Bi為保證最優(yōu)估計模型具有二次規(guī)劃數(shù)學結(jié)構(gòu)所引入的定義變量（Bi=bwi），并且由b≥0和wi≥0（i=1，2，3）可知Bi≥0，i= 1，2，3。

將上面得出的固權(quán)權(quán)重（即w1、w2和w3）值和表2中方案Ak在各個屬性上的單屬性偏好值代入到多屬性固權(quán)決策方法的表達式（1）中可得：U1= 0.7029，U2=0.2657，U3=0.2982，U4=0.3073，U5=0.2283。由此可知，各方案的優(yōu)劣排序為：

由此排序可以看出，多屬性固權(quán)決策方法并沒有較好地反映出決策者的定性偏好看法，例如，對數(shù)學成績和英語成績均比較差的A4，該方法給出了與決策者定性看法（2）明顯不符的排序結(jié)論。由此并結(jié)合前述多屬性相對變權(quán)決策方法應(yīng)用所得結(jié)論（或結(jié)合式（16）和式（18）中關(guān)于A4的排序位置差異）可知：多屬性相對變權(quán)決策方法相對于多屬性固權(quán)決策方法，在反映決策者具體偏好看法上具有明顯的比較優(yōu)勢。

依據(jù)屬性C1、C2、C3的固權(quán)權(quán)重值，利用關(guān)于狀態(tài)變權(quán)的式（4）和多因素變權(quán)決策方法，可得出該方法在參數(shù)α取不同數(shù)值時對方案所給出的綜合評價值（具體結(jié)果見表5）。由表5可知，在參數(shù)α取值大于10時，多因素變權(quán)決策方法給出的方案排序僅是趨向?qū)⒍鄶?shù)方案等同看待而已，因而其對方案優(yōu)劣的區(qū)分能力較差。在參數(shù)α取值小于等于10時，多因素變權(quán)決策方法與多屬性固權(quán)決策方法給出的方案排序結(jié)論非常類似，對數(shù)學成績和英語成績均比較差的A4，多因素變權(quán)決策方法同樣給出了與決策者定性看法（2）明顯不符的排序結(jié)論。由此并結(jié)合前述多屬性相對變權(quán)決策方法應(yīng)用所得結(jié)論可知：即使在參數(shù)α取值能夠保證多因素變權(quán)決策方法具有較好方案優(yōu)劣區(qū)分能力的條件下，多屬性相對變權(quán)決策方法相對于多因素變權(quán)決策方法，也在反映決策者具體偏好看法上具有明顯的比較優(yōu)勢。

表5 在α取不同數(shù)值時多因素變權(quán)方法對方案所給出的綜合評價值

6 結(jié)語

多屬性固權(quán)決策方法由于否定了現(xiàn)實決策中決策者在屬性偏好上可能存在的關(guān)聯(lián)依賴關(guān)系，因而在解決實際問題的適用范圍上受到了很大限制。而為解決該問題所提出的多屬性決策Choquet積分模型一方面不能反映決策者的點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為，另一方面還要受到屬性集模糊測度確定的指數(shù)復雜性限制。多因素變權(quán)決策理論方法雖然試圖解決多屬性固權(quán)決策方法相對屬性值及其偏好的變化而保持屬性權(quán)重固定不變的理論不足，在形式上可以反映決策者的點依賴偏好關(guān)聯(lián)行為，但該方法卻存在著需要決策分析者主觀武斷選擇變權(quán)參數(shù)的明顯缺陷。本文針對上述已有相關(guān)研究的不足，在借鑒SW方法和ANP方法有關(guān)技術(shù)要點的基礎(chǔ)上，運用DEA的相對評價思維及建模技術(shù)，提出了一種全新的評價與決策方法即多屬性相對變權(quán)決策方法。其技術(shù)優(yōu)勢在于：其一，相對于多因素變權(quán)決策方法，它可以直接反映決策者的點依賴偏好結(jié)構(gòu)，從而可以規(guī)避多因素變權(quán)決策方法在狀態(tài)變權(quán)向量確定上所存在的、源于決策分析者的武斷隨意性問題。其二，相對于多屬性決策Choquet積分模型，它既可以精細地反映決策者的點依賴偏好關(guān)聯(lián)關(guān)系，也可以在多數(shù)的實際決策場合較有效地規(guī)避多屬性決策Choquet積分模型在屬性集模糊測度判斷上所存在的指數(shù)復雜性難題。案例應(yīng)用驗證表明：多屬性相對變權(quán)決策方法可以給出與決策者關(guān)于偏好依賴關(guān)聯(lián)定性看法及客觀事實非常相符的選擇結(jié)論；多屬性相對變權(quán)決策方法相對于多屬性固權(quán)決策方法和多因素變權(quán)決策方法可以更好地反映決策者的具體偏好，從而具有更強的科學合理性。但是應(yīng)當指出，任何新決策方法的科學有效性都不能僅通過一次成功的案例應(yīng)用加以充分證實（在國內(nèi)外關(guān)于新決策理論方法的研究中正是由于這個原因才通常僅給出新理論方法的算例說明）。這顯然對多屬性相對變權(quán)決策方法也不例外，其進一步科學有效性尚需要大量實踐應(yīng)用的驗證。

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Model and Method of Multiple Attribute Decision Making with Relative Variable Weights

LI Chun-hao1，LI Meng-jiao1，MA Hui-xin1，DU Yuan-wei2，LI Jin-jin1
（1.School of Management，Jilin University，Changchun 130022，China；2.Faculty of Management and Economics，Kunming University of Science and Technology，Kunming，690093，China）

Both the multiple factor decision-making method based on variable weights（MFDMM-VW）and the Choquet integral model（CIM）for multiple attribute decision-making（MADM）cannot reflect reasonably the decision-maker's point-dependence preference in MADM.To overcome the mentioned shortcom-ing，a new MADM approach to evaluation and decision making，i.e.，the MADM model with relative variable weights（MADMM-RVW），and its corresponding method are presented based on the swing-weighting，the analytic network process，and the relative evaluation thought embodied in data envelopment analysis.Compared with the MFDMM-VW，the MADMM-RVW is able to reflect directly the decision-maker' s point-dependence preference structure，and thus overcome the arbitrariness of the MFDMM-VW in reflecting the decision-maker's point-dependence preference，resulted from decision analysts when the MFDMM-VW is applied.Compared with the CIM，the MADMM-RVW can not only reflect the decisionmaker's point-dependence preference but also avoid more efficiently the CIM's large-scale estimation problem of decision parameters in many MADM cases.Applied in a case study，the MADMM-RVW is showed to give decision conclusions well consistent with objective existence and the decision-maker's qualitative opinions on preference dependence，and thus be capable of better reflecting the decision-maker's specific preference behaviors.

MADM；decision making with variable weights；preference dependence；swing weighting；analytic network process；data envelopment analysis

C934；N94

：A

1003-207（2014）05-0104-11

2012-08-01；

2013-04-14

國家自然科學基金資助項目（71371083，71261011，70971054）；教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃（NCET -09-0419）；教育部人文社會科學研究規(guī)劃基金（09YJA630047）；吉林大學杰出青年基金（2010GL）；教育部人文社會科學研究青年基金（12YJC630090）

李春好（1967-），男（漢族），遼寧蓋州人，吉林大學管理學院，教授，博士生導師，博士/出站博士后（日本京都大學），研究方向：復雜系統(tǒng)管理決策.