學(xué)生思維空間的拓展

劉桂華

“植樹問題”是人教版教材四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”中的教學(xué)內(nèi)容，有線段上植樹和封閉圖形植樹兩類問題，其中線段上植樹通常包括下列三種情況，即兩端都植；兩端都不植；只在一端植，另一端不植。這一教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)在于讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況具體分析和判斷來解決“植樹問題”。針對“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)內(nèi)容，教師要滲透對應(yīng)與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生能夠從實(shí)際問題抽象出“植樹問題”的模型，準(zhǔn)確掌握段數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并利用這一規(guī)律靈活地解決實(shí)際問題。近期，筆者共聽了三節(jié)有關(guān)探討“線段上植樹問題”的課，感受頗深，為此，針對課堂教學(xué)如何拓展學(xué)生思維空間作出一定的思考。

一、案例描述與分析

案例一：

教師首先借助“手指數(shù)與指縫數(shù)關(guān)系”完成向“點(diǎn)數(shù)與段數(shù)關(guān)系”的轉(zhuǎn)化。然后給出“兩端都栽”的例題，以提問的方式，利用課件中的線段圖引發(fā)學(xué)生思考，總結(jié)得出“兩端都栽的段數(shù)=全長÷每段長度、棵數(shù)=段數(shù)+1”的結(jié)論。接著教師將例題分別改編成“兩端都不栽”、“只栽一端”的情況，分別總結(jié)出“棵數(shù)=段數(shù)-1”、“段數(shù)=棵數(shù)”的結(jié)論。最后，教師整理得出在“線段上植樹問題”的三種情況和解答方法。

現(xiàn)在，教師能夠站在學(xué)習(xí)者的角度分析當(dāng)時(shí)學(xué)生思維所處的狀況。從當(dāng)時(shí)的課堂觀察來看，學(xué)生在教師所提問題的引領(lǐng)下，從認(rèn)識“點(diǎn)數(shù)與段數(shù)關(guān)系”，借助教師制作的線段圖課件中的直觀演示，一步一步地掌握在“線段上植樹問題”的三種情況和解答方法。然而，這些思維含量不高的小問題來自教師，學(xué)生思維處于被動思考解答的狀態(tài)，缺少主動性。課堂顯得平穩(wěn)，缺少生機(jī)與活力。隨著教學(xué)推進(jìn)，學(xué)生獲得的是關(guān)于某一種植樹方式的具體解決方法。面對練習(xí)環(huán)節(jié)的實(shí)際問題，他們?nèi)鄙僬w思考，出現(xiàn)類型判斷上的錯(cuò)誤，會因?yàn)闆]有經(jīng)歷“畫示意圖、分析找方法”的過程而不得法。

案例二：

教師給出的是一個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生進(jìn)行探究：在一條長20米的路一側(cè)植樹，每隔5米植一棵，可以植幾棵？把你的想法用簡單的示意圖畫下來。

學(xué)生嘗試獨(dú)立畫圖解答后，首先要匯報(bào)個(gè)人的做法，集中大家的智慧，可以得到5棵、4棵、3棵三種不同的植法。這時(shí)教師會質(zhì)疑：“都是在20米路的一側(cè)植樹，為什么得到的答案不同？”然后讓學(xué)生到前面展示自己的植樹方案，說說自己的想法。學(xué)生結(jié)合自己畫的線段圖說出自己的植法和計(jì)算過程，教師追問“+1”、“-1”的理由。最后，教師利用線段圖（課件）歸納總結(jié)出三種植樹方法，讓學(xué)生給這三種不同的植法起名字，總結(jié)解答方法。

這位教師創(chuàng)設(shè)了源于實(shí)際的具有開放性的問題情境，并放手讓學(xué)生嘗試自主探究，易于激發(fā)學(xué)生探索的欲望。面對這些實(shí)際問題，學(xué)生的思維是開放和發(fā)散的。當(dāng)學(xué)生個(gè)體自主探究出現(xiàn)分歧答案時(shí)，即出現(xiàn)“5棵、4棵、3棵”的不同結(jié)果時(shí)，學(xué)生會想方設(shè)法地闡述自己的道理，力求得到伙伴的認(rèn)可，借助線段圖的直觀效果，學(xué)生的思維實(shí)現(xiàn)積極的碰撞，可以分享彼此的智慧，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂。

相比案例一，學(xué)生的思維受到激發(fā)，活躍起來，自主思考與探索的空間加大。通過自己的畫圖分析與交流分享，他們獲得了對“植樹問題”幾種情況的整體認(rèn)識。面對練習(xí)環(huán)節(jié)的具體問題，這些學(xué)生能謹(jǐn)慎思考，作出判斷，并借助線段圖，給出相應(yīng)的解答。

案例三：

教師把這節(jié)課命名為“畫簡圖、找規(guī)律”，共安排3次探究活動。

（1）學(xué)習(xí)“畫簡圖、找規(guī)律”的方法

教師以“一根長繩剪1次成幾段？剪2次成幾段？”為題，引出畫簡圖的方式，讓學(xué)生說說黑板上兩個(gè)示意圖所表示的意思是什么，之后教師布置探究任務(wù)。

任務(wù)1：邊畫邊填，找規(guī)律

學(xué)生邊畫邊填。在匯報(bào)階段，在表格最后一組的空格處，教師問：“如果剪50次的話，是多少段；99段的話，要剪幾次？”學(xué)生可以順利、快速地說出正確的結(jié)果。教師問：你們發(fā)現(xiàn)了什么，進(jìn)而總結(jié)出“段數(shù)=次數(shù)+1”的規(guī)律和“畫簡圖、找規(guī)律”的方法。

（2）獨(dú)立探究植樹問題

這一步是學(xué)生自己獨(dú)立完成的。在交流階段，可能會出現(xiàn)三種情況，在學(xué)生說明理由的基礎(chǔ)上，教師用課件展示其合理性。

任務(wù)2：在馬路一邊種植7棵樹，你會怎么種？用畫簡圖的方式完成“小探究”。

小探究：

我發(fā)現(xiàn)：樹的棵樹是（ ）

段數(shù)是（ ）

我猜想：段數(shù)=棵樹

我驗(yàn)證：再按這樣的方式種些樹，看看猜想是否成立？

我的結(jié)論是： （3）交流合作、總結(jié)規(guī)律

任務(wù)3：小組合作完成填表

如果說案例二較好地解決了“植樹問題”解答方法的問題，那么，案例三是在教給學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)、解決問題的常用方法——畫簡圖、找規(guī)律，“植樹問題”就成為“畫簡圖、找規(guī)律”學(xué)習(xí)的載體。

課之伊始，教師直接揭示“畫簡圖”的方法，接著用這種方法完成任務(wù)1，讓學(xué)生一邊在線段上畫，一邊將結(jié)果記錄在表格中，發(fā)現(xiàn)“剪的次數(shù)”與“段數(shù)”間的關(guān)系。所以，一些學(xué)生只“剪”了幾次就不繼續(xù)“剪”了，直接在空格處填上自己的推想。

借助“剪”形成的“點(diǎn)”與種樹需要的“點(diǎn)”的相似性，教師再讓學(xué)生完成任務(wù)2，進(jìn)行獨(dú)立探究。學(xué)生根據(jù)教師提供的“發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論”這一探究思路，將三種植樹情況進(jìn)行展示交流，集中思考“棵數(shù)”與“段數(shù)“的關(guān)系。此外，教師要為學(xué)生提供具有研究性學(xué)習(xí)任務(wù)的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生的思維方向，邊做邊記錄，體驗(yàn)探索發(fā)現(xiàn)的樂趣。

在課堂小結(jié)談收獲時(shí)，教師在學(xué)生總結(jié)出“植樹問題”的三種情況與解答方法時(shí)強(qiáng)調(diào)“規(guī)律會忘記、畫個(gè)簡圖找一找”，從始至終圍繞學(xué)習(xí)“畫簡圖、找規(guī)律”的方法進(jìn)行。

二、案例反思

這三個(gè)案例，教師超越以往教“教材”的范式，進(jìn)行了自己獨(dú)具匠心的思考和設(shè)計(jì)，但他們的教學(xué)差異是顯而易見的，尤其是在學(xué)生思考空間方面。這就引發(fā)筆者進(jìn)一步地追問：怎樣才能拓展學(xué)生思維的空間？

1.教學(xué)定位

在課堂上學(xué)生獲得什么，這屬于教學(xué)目標(biāo)定位問題。案例三定位在“方法學(xué)習(xí)”，案例一、二定位在“解答植樹問題”，這就有了本質(zhì)的區(qū)別。學(xué)生掌握了“畫簡圖、找規(guī)律”的方法后，即使忘記了“植樹問題”的規(guī)律，畫個(gè)簡圖找一找就可以解決。

因?yàn)椤爸矘鋯栴}”是一類數(shù)學(xué)問題的模型，由植樹可以演變?yōu)榘矡?、鋸木頭、敲鐘、樓層高度等問題，包括總長、間隔、段數(shù)與點(diǎn)數(shù)四個(gè)要素。學(xué)生掌握這一類型的題目關(guān)鍵是進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷：總長÷間隔得到的段數(shù)是否與實(shí)際的點(diǎn)數(shù)吻合？“一端種”時(shí)“段數(shù)”與“點(diǎn)數(shù)”正好吻合。另外兩種情況需要調(diào)整，是+1，還是-1？因此，“植樹問題”是教師在向?qū)W生滲透研究問題的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和結(jié)合具體問題作出具體分析思考的方法和習(xí)慣，是對學(xué)生思維品質(zhì)和思維能力進(jìn)行訓(xùn)練的最好時(shí)機(jī)。

不僅是“植樹問題”，如果學(xué)生學(xué)會用“畫個(gè)簡圖找一找”這把金鑰匙，許多數(shù)學(xué)問題也會迎刃而解，避免出現(xiàn)“有點(diǎn)變化就不會、遇到新問題就束手無策”的情況。長此以往，學(xué)生的思維更加活躍起來，解決問題的能力就會提高，不再局限于“教師教”，學(xué)會“自己學(xué)”，激發(fā)自身的探究熱情，形成發(fā)展動力，這才是教育“為人的一生發(fā)展奠基”的價(jià)值所在。

怎樣才能像案例三中的教師那樣站得更高、挖掘得更深，使學(xué)習(xí)的價(jià)值更為豐厚，教學(xué)更有品位呢？教師要不斷地學(xué)習(xí)，提高對數(shù)學(xué)教育的認(rèn)識，用先進(jìn)的學(xué)科教學(xué)理念來統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。而且，教師也要練就對學(xué)科知識作出深刻解釋的功夫。教師對教材的解釋不應(yīng)局限在掌握概念、公式、性質(zhì)、法則等知識層面，要發(fā)現(xiàn)知識背后蘊(yùn)含的思想方法、興趣習(xí)慣等有價(jià)值的內(nèi)容，想方設(shè)法地優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)其價(jià)值。

因此，教師在分析教材時(shí)“想到什么”很關(guān)鍵，要明確學(xué)生可以從中學(xué)到什么是實(shí)現(xiàn)教學(xué)價(jià)值最大化的第一步。這一步邁得大、跨得高，教學(xué)境界才有可能得到提升。

2.問題的動力性

思維源于問題，問題具有啟動和導(dǎo)向的功能。教師提問的根本目的不僅僅是讓學(xué)生尋找到某種正確答案，而是要學(xué)生在尋找答案的過程中思維得到拓展。在案例一中，一問一答、層層推進(jìn)式教學(xué)，往往對問題的思維空間較小，思考價(jià)值低，能夠照顧全班學(xué)生“齊步走”，但難以激發(fā)學(xué)生愿意接受挑戰(zhàn)的激情，不能給學(xué)生提供探究和展示的機(jī)會。學(xué)習(xí)過程是認(rèn)知與情感雙輪驅(qū)動前行的過程，缺少情感參與，課堂就失去生命力。學(xué)生得到的知識、方法往往也是零零碎碎的，不成體系。

相對而言，案例二和案例三中教師提出的問題、布置的任務(wù)是有意思的、是開放的，容易調(diào)動學(xué)生參與的熱情。案例二在學(xué)生完成階段任務(wù)的基礎(chǔ)上，教師用“都是在20米路的一側(cè)植樹，怎么得到的答案不同？”有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步說理與展示，實(shí)現(xiàn)集體智慧的碰撞與分享。案例三中教師布置的任務(wù)2拋開“總長、間隔”這些解決植樹問題的非關(guān)鍵要素，僅保留“一邊種7棵”和“怎么種”這兩個(gè)核心要素。學(xué)生在嘗試解答的過程中扮演探索發(fā)現(xiàn)者的角色，獨(dú)立探究，組織小組合作填表，梳理形成對“植樹問題”的整體認(rèn)知，為靈活解決實(shí)際問題作好鋪墊，培養(yǎng)縝密性的思維。

3.材料與活動的選取

“植樹問題”是小學(xué)四年級學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，他們的現(xiàn)有基礎(chǔ)與要達(dá)到的目標(biāo)有一段差距?？s小差距的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)學(xué)生的現(xiàn)有起點(diǎn)，適應(yīng)他們的思維特點(diǎn)，提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料，組織恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生真正“動起來”。

三位教師都想到利用“線段圖”這一直觀手段，但用法不同，導(dǎo)致學(xué)生活動及其效果的差異。案例一，教師運(yùn)用自己做的課件，學(xué)生僅是觀察者，看到三種情況，但沒有親身體驗(yàn)；案例二，教師用“把你的想法用簡單的示意圖畫下來”、“結(jié)合自己畫的線段圖談自己的植法和計(jì)算過程”進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生要自己動腦算分幾段、種幾棵，自己動手畫、動口去表達(dá)自己的想法，用眼去觀察、用耳去傾聽他人的方法，這使得學(xué)生的感官被調(diào)動起來，思維處于活躍的狀態(tài)。教師的課件展示用于學(xué)生親身實(shí)踐后的總結(jié)梳理，便于讓學(xué)生形成整體認(rèn)識。

值得一提的是案例三，教師在此基礎(chǔ)上提供了一份學(xué)習(xí)材料，其中的三個(gè)任務(wù)并不復(fù)雜，簡單的文字和幾條線段，卻融入教師對學(xué)生學(xué)習(xí)路線的預(yù)測和引導(dǎo)，邊做邊填，思維是有序的，而且是在走科學(xué)家探索發(fā)現(xiàn)的道路，這對學(xué)生在有限的時(shí)間里積極地探索發(fā)現(xiàn)搭建了橋梁。

學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自主建構(gòu)的過程，離不開思維的積極參與。怎樣拓展學(xué)生的思維空間？教師要賦予知識載體以更豐富的內(nèi)涵，不斷地追問與探尋“學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識有什么用？”同時(shí)，教師要結(jié)合預(yù)設(shè)的目標(biāo)，針對學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，設(shè)計(jì)有價(jià)值的問題，提供有引導(dǎo)價(jià)值的學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生調(diào)動多種感官參與學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過程，積累活動經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟蘊(yùn)含的思想方法，形成探索興趣，愿意接受挑戰(zhàn)，學(xué)會協(xié)同合作等，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)未來生活的良好素養(yǎng)，提升教書育人的境界。

（作者單位：北京市昌平區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校教科室）

（責(zé)任編輯：孫建輝）